專題05全等模型-對(duì)角互補(bǔ)模型(原卷版+解析)

專題05全等模型-對(duì)角互補(bǔ)模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90°-90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°-60°對(duì)角互補(bǔ)模型、2α-（180°-2α）對(duì)角互補(bǔ)模型。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（90°--全等型）1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.例1．（2023·黑龍江黑河·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2022·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;例3．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)B，連接CB；過(guò)點(diǎn)C作，與MN交于點(diǎn)E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時(shí)，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____（直接寫(xiě)結(jié)果）；(4)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，直接寫(xiě)出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．例4.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過(guò)點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過(guò)觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫(xiě)出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；模型2、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（60°或120°--全等型）1）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.3）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2022四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．例2．（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．例3．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．例4．（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.模型3、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α對(duì)180°-2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。2）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例2.（2023·浙江金華·校考三模）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長(zhǎng)不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號(hào)為_(kāi)____．例3.（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2例4.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．試說(shuō)明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____．3.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OC，已知AC＝，OC＝，則另一直角邊BC的長(zhǎng)為．4．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．5．已知：，求證：．5．（2023·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．6．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．7．（2023?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說(shuō)明AD＝DC．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PE⊥PC．（1）求證：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的長(zhǎng)．9．（2023?阜新中考模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點(diǎn)M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．10．問(wèn)題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）11、在等邊中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．12、已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上，如圖2，直接寫(xiě)出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．13.如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，且與點(diǎn)B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC．上，且CF⊥BD時(shí)，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．14．已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫(xiě)出的值（用k的代數(shù)式表示）．15.綜合實(shí)踐初步探究：如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系為；解決問(wèn)題：(2)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為；拓展應(yīng)用：(4)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，請(qǐng)猜想四邊形CDOE的周長(zhǎng)與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；16．（2022山西省呂梁市八年級(jí)期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，…請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分．(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．(3)若，．①如圖3，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段、、有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．②如圖4，的一邊與的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，的一邊與的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段、、有什么數(shù)量關(guān)系．

專題05全等模型-對(duì)角互補(bǔ)模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90°-90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°-60°對(duì)角互補(bǔ)模型、2α-（180°-2α）對(duì)角互補(bǔ)模型。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（90°--全等型）1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.例1．（2023·黑龍江黑河·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE=a－b．∴．∴．∴結(jié)論②正確．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，ADEF相交于點(diǎn)O．∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD時(shí)取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時(shí)取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯(cuò)誤．∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③錯(cuò)誤．綜上所述，結(jié)論①②正確．故選C．例2．（2022·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點(diǎn),（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，求證：;【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（3）過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，證明△BME≌△AMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，；（2）證明：，，，在和中，，；（3）證明：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，則，，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)B，連接CB；過(guò)點(diǎn)C作，與MN交于點(diǎn)E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時(shí)，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____（直接寫(xiě)結(jié)果）；(4)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，直接寫(xiě)出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．【答案】(1)；(2)AE＝BD，BD﹣AB＝BC；(3)4；(4)BA+BD＝BC【分析】（1）由，，根據(jù)勾股定理可直接得出答案；（2）先證明△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形，即可得出答案；（3）先證明△ACE≌△DCB，CE＝BC，得到△BCE為等腰直角三角形，得到AB＝BD+BC，即可得出答案；（4）先證明△ACE≌△DCB，確定△ECB為等腰直角三角形即可得出答案．【詳解】（1）解：連接AD，設(shè)AC＝a，則DC＝a，∴AD＝，即AD是AC的倍，故答案為：．（2）如圖1，設(shè)AC與BD交于O，由題可知，∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°＝∠ACD，∵∠AOB＝∠DOC，∴∠BAC＝∠CDB，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE＝BC，∵BE＝AE﹣AB＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝BC；故答案為：AE＝BD；BD﹣AB＝BC；（3）解：如圖2，設(shè)CD與MN交于O，由題可知，∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°＝∠ACD，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠BAC＝∠CDB，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴BE＝BC，∵BE＝AB﹣AE＝AB﹣BD，∴AB=BD+BC，∵BD＝2，BC＝，∴AB＝BD+BC＝4，故答案為：4．（4）∴∠BCE＝90°＝∠ACD，∴∠ACE＝∠DCB，∠CEB+∠CBE＝90°，∵BD⊥MN，∴∠ABD＝90°，∴∠CBE+∠CBD＝90°，∴∠CEB＝∠CBD，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴CE＝BC，AE＝BD，∵∠BCE＝90°，∴BE＝BC，∵BE＝AE+BA＝BD+BA，∴BA+BD＝BC，故答案為：BA+BD＝BC．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例4.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過(guò)點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過(guò)觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫(xiě)出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O，證明，得到，，根據(jù)為等腰直角三角形，得到，再根據(jù)，即可解出答案.【詳解】解：（1）如圖1中，由題意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案為．（2）．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵.模型2、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（60°或120°--全等型）1）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.3）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2022四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OD+OE=；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE=2OH，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性質(zhì)求得OH=,CH=從而求得三角形面積，使問(wèn)題得到解決．【詳解】解：（1）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴(2)由（1）得△CDG≌△CEH∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH設(shè)OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC2∴∴(舍負(fù))∴OH=∴OD+OE=2OH=（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH∵,∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問(wèn)題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.例2．（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.【詳解】(1)∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.例3．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“邊角邊”證明△MND和△QND全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=QN，再根據(jù)AQ+AN=QN整理即可得證；（2）把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=DP，AN=BP，根據(jù)∠DAN=∠DBP=90°可知點(diǎn)P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MND和△MPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MP，從而得證；（3）過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以證明△BMG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BM=MG=BG，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠QND=∠MND，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根據(jù)等角對(duì)等邊可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角邊”證明△ANE和△GHE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=GE，再根據(jù)BG=AB-AE-GE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出BG，從而得到BM的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，根據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.8【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）作平行線并求出AN=GH是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．例4．（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的角平分線在中，，同理：（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)作于，于由（1）知，，且點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)（3）結(jié)論為：.理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α對(duì)180°-2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。2）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．證明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正確，在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正確，∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，∴S四邊形ABCP＝S四邊形KBDP＝2S△PBD．故④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例2.（2023·浙江金華·?？既＃┤鐖D，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長(zhǎng)不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號(hào)為_(kāi)____．【答案】（1）（4）【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正確，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四邊形PMON＝S四邊形PEOF＝定值，故（4）正確，∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）錯(cuò)誤，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△PMN是等腰三角形，形狀是相似的，因?yàn)镻M的長(zhǎng)度是變化的，所以MN的長(zhǎng)度是變化的，所以△OMN的周長(zhǎng)是變化的，故（3）錯(cuò)誤，故答案為：（1）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例3.（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的長(zhǎng)即可，注意到AC是角平分線，于是作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．例4.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．試說(shuō)明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到CE＝CF，根據(jù)余角的性質(zhì)可得到∠EBC＝∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，從而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．（2）已知EC＝CF，AC＝AC，則根據(jù)HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后證得AB+DF＝AF即可．【解答】證明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°∴∠EBC＝∠D在△CBE與△CDF中，∴△CBE≌△CDF；（2）在Rt△ACE與Rt△ACF中，∴△ACE≌△ACF∴AE＝AF∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，證明≌推出，，可得，由此即可解決問(wèn)題；【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作交DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如右圖所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4+4．【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長(zhǎng)＝BD+DC，代入求出即可．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案為4+4．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用三角形全等的性質(zhì)和解直角三角形，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是做輔助線.3.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OC，已知AC＝，OC＝，則另一直角邊BC的長(zhǎng)為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∵∠MON＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△BON中，∴△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．∴O點(diǎn)在∠ACB的平分線上，∴△OCM為等腰直角三角形．∵OC＝，∴CM＝ON＝1．∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，∴BC＝CN+NB＝1+＝．故答案為：．4．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．【答案】4．【分析】將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．證明△AEC是等邊三角形，四邊形ABCD面積等于△AEC面積，根據(jù)等邊△AEC面積特征可求解AC長(zhǎng)．【詳解】解：將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．∵四邊形內(nèi)角和360°，∴∠D+∠ABC＝180°．∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴E、B、C三點(diǎn)共線．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EAC＝60度，AE＝AC，∴△AEC是等邊三角形．四邊形ABCD面積等于△AEC面積，等邊△AEC面積，解得AC＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)AB=AD及∠BAD=60°，對(duì)△ACD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，把四邊形轉(zhuǎn)化為等邊三角形求解．5．已知：，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)F，根據(jù)證明得，再證明四邊形是正方形，由勾股定理進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)D作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)F，如圖．易知．∵，∴．又，∴．∵，∴．又，∴，∴又，，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，勾股定理等知識(shí)，由勾股定理得出是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．【答案】見(jiàn)解析【分析】先在線段BC上截取BE=BA,連接DE,根據(jù)BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,根據(jù),可判定△ABD≌△EBD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根據(jù)AD=CD,等量代換可得ED=CD,根據(jù)等邊對(duì)等角可得:∠DEC=∠C．由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．【詳解】證明:在線段BC上截取BE=BA,連接DE,如圖所示,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,在△ABD和△EBD中,,∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED．∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).6．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)DE至F，使得，連接AC，易證△ABC≌△AEF，得到，然后證明△ADC≌△ADF即可解決問(wèn)題．【詳解】延長(zhǎng)DE至F，使得，連接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴即AD平分∠CDE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.7．（2023?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說(shuō)明AD＝DC．【解答】證明：如圖，過(guò)D作DF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且PE⊥PC．（1）求證：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四邊形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE與△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）設(shè)EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．9．（2023?阜新中考模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點(diǎn)M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AM，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝PM，∵∠BMN＝∠AMP＝90°，∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN＝PB，∴AP＝AB+BP＝AB+AN，在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，∴AP＝AM，∴AB+AN＝AM；②如圖，在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝，∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，∴∠BMD＝90°﹣30°＝60°，在Rt△BDM中，DM＝＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣．10．問(wèn)題：如圖(1)，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）【答案】【發(fā)現(xiàn)證明】證明見(jiàn)解析；【類比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究應(yīng)用】109．2米．【詳解】【發(fā)現(xiàn)證明】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．【類比引申】延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．解：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．【類比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如圖（2），延長(zhǎng)CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．【探究應(yīng)用】如圖3，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AF．∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．又∵∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=80米．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：∠ADG=∠B=60°，又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即這條道路EF的長(zhǎng)約為109.2米．“點(diǎn)睛”此題主要考查了四邊形綜合題，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．11、在等邊中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)結(jié)合圖2說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由見(jiàn)解析；（3）4【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)∴∠DBC=30゜∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案為：DE=DF（2）仍有DE=DF；理由如下：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖2所示則∠AGD=∠ABC∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等邊三角形∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF∵D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF（3）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖3所示與（2）同理有：△DGE≌△DCF∴GE=CF設(shè)BC=a，則CF=8－a，∴由GE=CF，得：解得：a=412、已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上，如圖2，直接寫(xiě)出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)【解析】(1)證明：取AB的中點(diǎn)F，連接OF．∵△ABC是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O與點(diǎn)F分別是BC與AB的中點(diǎn)，∴，∴△BOF是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．(2)解：結(jié)論：．理由：∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：；(3)結(jié)論：．理由如圖2中，取的中點(diǎn)F，連接OF．同（1）中的方法可證是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴13.如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，且與點(diǎn)B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC．上，且CF⊥BD時(shí)，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．【答案】(1)①，；②存在，詳見(jiàn)解析(2)45°【解析】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：如圖2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交BC于E，∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°14．已知點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗(yàn)】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AC＝kDE，直接寫(xiě)出的值（用k的代數(shù)式表示）．【答案】(1)60°(2)證明見(jiàn)解析；(3)．【詳解】（1）解：在BD上取點(diǎn)E，使BE=CD，如圖1所示：∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴（SAS），∴，，∴，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADB=60°；故答案為：60°；（2）證明：在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使，如圖2所示：∴，∵，，∴，∵AB＝BC，，∴，又∵，即，∴，在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)DC至H，使CH=AC，連接BH，如圖3所示：圖3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∴，又∵，∴△BDH為等邊三角形，∴，∴．15.綜合實(shí)踐初步探究：如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系為；解決問(wèn)題：(2)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；(3)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為；拓展應(yīng)用：(4)當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，請(qǐng)猜想四邊形CDOE的周長(zhǎng)與OC的數(shù)