微積分習(xí)題講解與答案

微積分習(xí)題講解與答案（總23頁）-本頁僅作為文檔封面，使用時(shí)請(qǐng)直接刪除即可--內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小-#所以(1所以(1AC(X2+l)dr=C-X3+xi 心J2求解初值問題(1)〃3j(1)〃3j=^y233)=l,y'(3)=lJ(l+x)y"+V=ln(x+l)%(o)=o,y'(o)=o解⑴設(shè)y'=p,則/=〃?，代入原方程，得dp3dy2J分離變量得pdp=|j2dj積分得42=y3+。，即0?=了3+。由y(3)=l,V(3)=l得。=03 3則了=±y2,由y〃N0知.單調(diào)增加,于是y'=y2再積分一次，可得通解_±—2y2=x+q由y⑶=1得1=-5艮口y= 15-X)(2)令y'=p,則y〃=p',原方程化為(x+1)pr+p=ln(x+1)p'+工p=必=。屬于一階線性方程x+1x+1n—edxJjln(x+1)0百dxdx+Cpex+1j ex+1^^xicLx+1 1———卜ln(x+1)dx+C1—=ln(x+1)+~xx+1 1 x+1由y'(0)=0得C1—0xln(x+1) x+1—(x+1)ln(x+1)-2x+ln(1+x)+C2又由J(0)—0得C2—0初值問題的解為y—(x+1)ln(x+1)-2x+ln(1+x)習(xí)題.求下列方程通解⑴J〃-2j-3j—0 (2)J〃+7j，+12j—0J〃-6j，+9j―0 (例+jJj―0解⑴j〃-2j-3j—0解特征方程為入2—2X-3—0解得兩個(gè)不同實(shí)根九—3,九--1，所求方程的通解為1 2j―Ce3x+Ce-x

1 2其中C,C是任意常數(shù)12⑵J〃+7J'+12J—0解特征方程為入2+7X+12=0解得兩個(gè)不同實(shí)才以=—3,九=-4,所求方程的通解為1 2y=Ce-3x+Ce-4x

1 2其中C,C是任意常數(shù)12⑶y〃-6yJ9y=0解特征方程為入2-6X+9=0其特征根九八=3為二重實(shí)根，所求方程通解為12y=(C+Cx)e3x

12其中C,C是任意常數(shù)12y〃+y，+y=0解特征方程為入2+X+1=0解得兩個(gè)共軛虛才以=-1+Wi,X=-1-11i，所求方程通解為TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 2 2 23 3 -1xy=(Ccos——x+Csin——x)e2

12 22其中C,C是任意常數(shù)12.求方程y〃+2yJ3y=0滿足初始條件yI=1,y'I=1的特解x=0 x=0解特征方程為X2+2X+3=0解得兩個(gè)共軛虛根X=-1+<2i,X=-1-於i，所求方程通解為1 2y=(Ccos^/lx+Csinv,2x)^x1 2由初始條件yI=i,y'i=1得。=1x=0 x=0 1又由yf=(e-xcos^'2x)r+C(e-xsiny'2無)'_ 2 _ _ _ _=e-x(cossinJ2無)+Cx(-sin<2x+J2cosJJx)2由VI=L得。=42x=0 2于是滿足初始條件的特解為y=(cosv2x+*，2sinj2x)e-x.求微分方程y〃-2<-3y=3%+1的一個(gè)特解解/(x)=3x+1=(3x+l>ox,其中〃=I*=0不是特征方程九2一2入-3=0的根，得j*=ax+b為所給方程的一個(gè)特解，直接梅*代入原方程，得-3ax-2a-3b=3x+1比較系數(shù)得J—3〃=3

[-2a-3b=l解得〃=-1仍=;所以)*=-%+;即為所求特解.求微分方程P-2曠+y=12xex的通解解f(x)=12xex,其中〃=1*=1對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-2y'+y=0特征方程入2-2九-3=。有二重特征根九二1齊次方程通解為y=Cex+Cxex

1 2由于N=1是重特征根，所以設(shè)非齊次方程特解為y*=x2(ax+b)ex直接將y*代入原方程，得(2b+6ax)ex=12xex比較系數(shù)得J6a=12\2b=0從而所求方程通解解得a=2,b=0，因此y*=2x3ex為所給方程的一個(gè)特解,為從而所求方程通解y=Cex+Cxex+2x3ex

12其中C,C是任意常數(shù)1 2.求方程y〃+4y'+4y=cos2x的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程為y"+4y'+4y=0它的特征方程入2+4入+4=0有重根九=九=—2

12故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=e-2x(C+Cx)

12由于0土2i不是特征根，因此設(shè)所給方程的特解為y*=asin2x+bcos2x代入原方程得—8bsin2x+8acos2x=cos2x比較系數(shù)得I-8b=018a=111解得a=-,b=0，因此j*=-sin2x為所給方程的一個(gè)特解，從而通解為88-v=e-2x(C+Cx)+sin2x-28習(xí)題.設(shè)某種產(chǎn)品就要推向市場，t時(shí)刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品良好性能，每個(gè)產(chǎn)dx品都是一個(gè)宣傳品，t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長率口7與x(t)成正比，同時(shí)，考慮到dt產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N，統(tǒng)計(jì)表明寶與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的dt數(shù)量N-x(t)也成正比，試給出x(t)的方程，并求銷量達(dá)到多少時(shí)最為暢銷。解dx——=kx(N-x)dt其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可得Nx(t)二 +Ce-kNt由dx CN2ke-kNtdt (1+Ce-kNt)2以及d2xCN3k2e-kNt(Ce-kNt-1)dt2 (1+Ce-kNt)2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dx N當(dāng)x(t*)<N時(shí)，有丁>0，即銷量網(wǎng)t)單調(diào)增加；當(dāng)武t*)=-時(shí)，dt 2\o"CurrentDocument"d2x N d2x N d2x詈=0,?當(dāng)x(t*)>-時(shí)，產(chǎn)<0,?當(dāng)x(t*)<-時(shí)，產(chǎn)>0,?即當(dāng)銷量達(dá)dt2 2 dt2 2 dt2到最大需求量N的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，當(dāng)銷量不足N的一半時(shí)，銷售速度不斷增大，當(dāng)銷量超過一半時(shí)，銷售速度逐漸減少。2、某商品的價(jià)格由供求關(guān)系決定，若供給量S與需求量Q均是價(jià)格P的線性函數(shù)：S=-1+3P,Q=4—P若價(jià)格P是時(shí)間t(年)的函數(shù)，且已知在時(shí)刻t時(shí)，價(jià)格P的變化率與過剩需求Q-S成正比，比例系數(shù)為2,試求價(jià)格P與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系，且已知初始價(jià)格P=2元，問當(dāng)t=0.3年時(shí)價(jià)格應(yīng)為多少0解依題意，得去二2(Q-S)=2(5-4P)解得3由已知P0=2，代入得。=-彳53于是P=7十二e-8t44則當(dāng)t=0.3時(shí)，P(0.3)氏1.32習(xí)題1、計(jì)算下列各題的差分

y=f(n)=n2?3n (2)y=n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n n解(1)Ay=(n+1)2.3n+1—n2-3n=3n(2n2+6n+3)ny=n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n解Ay=(n+1)n(n—1)—(n—m+2)—n(n—1)(n—2)—(n—m+1)n=n(n—1)—(n—m+2)[(n+1)—(n—m+1)]=mn(n—1)—(n—m+2)2、求下列差分方程的通解2、求下列差分方程的通解\o"CurrentDocument"y—y=n+3

n+1 n(3)y +2y=3-2nn+1 ny—2y=2n2—1

n+1 n(4)y +5y=1n+1 n解(1)因a=-1,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為解(1)因a=-1,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C.1n=c(C為任意常數(shù))設(shè)y*(n)=a0n2+a1n代入原方程，有a(n+1)2+a(n+1)—an2—an=n+30 1 0 1比較系數(shù)得a=—,a=—，所以y*(n)=-n2+-n0212 2 2所求方程通解為C為任意常數(shù)(2)因a=—2，對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C2n(C為任意常數(shù))設(shè)y*(n)=an2+an+a代入原方程，有

0 12\o"CurrentDocument"a(n+1)2+a(n+1)+a—2an2—2an—2a=n2—10 1 20 12比較系數(shù)得a=—2,a=—4,a=—5

0 12故有y故有y*(n)=-2n2—4n—5所求方程通解為y(n)=C2n-2n2-4n-5(3)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C(-2)n(C為任意常數(shù))又f(n)=3.2n，即b―3,d—2，且a+d—4豐0，因此，原方程的特解為y*(n)―-^—dn—32na+d4故原方程通解為(4)對(duì)應(yīng)齊次方程通解為y=C(-5)n(C為任意常數(shù))又f(n)―1，即b―1,d=0，且a+d豐0，因此，原方程的特解為y*(n)——--dn

a+d故原方程通解為1y(n)=-+C(-5)n63、求下列二階差分方程的通解⑵y -2y +2yn+2 ⑵y -2y +2yn+2 n+1n+2 n+1 n(3)y(3)y+2y +y—3n+2 n+1 n(4)4y -4y+yn+2 n+1解⑴特征方程2M+入-1=0得特征根=—1,九=一2 2從而得到方程的通解y=C(-1)

n1其中CJC2為任意常數(shù)。(2)原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為入2—2X+2=0特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根且r=v2,tanP=1，即sin。=—,cosP=—,P=—TOC\o"1-5"\h\z2 2 4知方程有兩個(gè)特解(一)— (-)—y(n)=\2品cos—n,y(n)=\2品sinn1 4 2 4y(y(n)=(2)「一兀一.兀、Ccos—n+Csin—nI1 4 2 4)其中J,。2為任意常數(shù)。(3)特征方程為Q+2X+1=0解得重根于是原方程通解為=(C+Cn)(-11

1 2其中J,。2為任意常數(shù)。下面求非齊次方程特解因?yàn)閒因?yàn)閒(n)=3，則q=1且不是特征根則形式特解為J則形式特解為J*=An1no0)，代入原方程,一…3比較系數(shù)得％二-于是Jn二4原方程通解為3一一y*+y(n)= +(C+Cn)(-1)nn 4 12其中C,C為任意常數(shù)。1 2⑷特征方程為4M-4r+1=01解得重根九—2二-，于是原方程通解為(n=