微積分期末測試題及答案

歡迎下載 歡迎下載 #一單項選擇題(每小題3分,共15分)TOC\o"1-5"\h\z1.設(shè)limf(x)=k，那么點x=a是f(x)的( ).xfa①連續(xù)點 ②可去間斷點③跳躍間斷點④以上結(jié)論都不對f.f(a+h)-f(a—2h)2.設(shè)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，那么lim———片1 =().h—0 h①3f(a) ②2f(a) ③f(a) ④3f(a)3.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],則復(fù)合函數(shù)f(sinx)的定義域為()._ -兀兀- _ _①(-1,1) ②—~2，F(xiàn) ③(0,+8) ④(q^s)f(x)-f(a)4.設(shè)lim1——二—二1，那么f(x)在a處( ).x—a (x-a)2①導(dǎo)數(shù)存在，但①導(dǎo)數(shù)存在，但f(a)中0②取得極大值③取得極小值④導(dǎo)數(shù)不存在5.已知5.已知limf(x)=0及(x—x0①g(x)為任意函數(shù)時③僅當(dāng)limg(x)=0時)，則limf(x)g(x)=0.x—x0②當(dāng)g(x)為有界函數(shù)時④僅當(dāng)limg(x)存在時x—x0二填空題(每小題x—x0二填空題(每小題5分,共15分)x-x01.limx-sinxx+sinx2.lim(1+—)x+3=x-83.f(x)=Jsinx2，那么左導(dǎo)數(shù)f'(0)=，右導(dǎo)數(shù)f：(0)=三計算題(1-4題各5分,5-6題各10分,共40分)11.hm( --7)x-1lnxx-1d2ydx2Ixd2ydx2.\ ，求Iy=tet.y=ln(x+\；1+x2)，求dy和d2y.dx2dy.由方程ex+y-盯=0確定隱函數(shù)y=f(x)，求 .dxx.設(shè)x=1，x=1+——n-^-，求limx.n1+x nx-8n-1

.lim(3x—yax2+bx+c)=2，求常數(shù)a,b.xf8四證明題(每小題10分,共30分)f(x) f(x).設(shè)f(x)在(-8,+8)上連續(xù),且lim =lim =0,證明:存在工e(—8,+8),使xf+8xxf—8xf也)+己=0.f(x)八.若函數(shù)f(x)在［a,+8］上可導(dǎo)，對任意x￡(a,+8)，有|f(x)|<M,m是常數(shù)，則hm)一=0.xf+8x21.證明函數(shù)y=sm—在(c,1)內(nèi)一致連續(xù)，但在(0,1)內(nèi)非一致連續(xù).x答案一單項選擇題（每小題3分,共15分）④2.①3.④4.③5.②二填空題（每小題5分,共15分）1.limx1.limxf8x—sinxx+sinxlim(1+—)x+3=TOC\o"1-5"\h\zxf8 xf(x)=Jsinx2，那么左導(dǎo)數(shù)f'(0)=-1,右導(dǎo)數(shù)f'(0)= 1.— +三計算題(1-4題各5分,5-6題各10分,共40分)1,lim(—!———!—)xf1lnxx—1—-TOC\o"1-5"\h\z1 (x—1)—lnx x x—1解：lim(- )=lim =lim -x =lim xf1lnxx—1 xf1(x—1)lnx xf1［nx—(x-1) x-1xlnx-x+1xr1 “=lim =8xf1lnx+1—1

d2ydx2Ixd2ydx2\ ,求Iy=tetdy dydt 1解——=——? =(et+tet)?一=(t+1)dx dtdx etd(dy、d2y=小石)=1dx2 dx etdty=ln(x+J1+x2),求dy和dL.dX2解:dy=dln(x+\'1+x2)= . d(x+\；1+x2)x+<1+x2，一一， - 1 ,一x一、- -(dx+d(\'1+x2))- . ―(dx+—. -dx)x+v11+x2 x+<1+x2 <1+x21,-dx,v'1+x2d2ydr1 1 1八一x [ ] ，- -2x- -dx2 dxJ1+x2 2((1+x2)3 \：'(1+x2)3dy4.由方程ex+y-xy-0確定隱函數(shù)yfx),求 .dx解:方程兩邊求微分得d(ex+y一xy)-0,即dex+y-dxyex+y(dx+dy)-ydx+xdy所以,dy--+ldxex+y一x5.5.設(shè)x1=1,xnx—1+ n—1—1+xn一1，求limx.n

x-8證明：先證｛單調(diào)增加顯然x>x，設(shè)n=k時成立，即x>x,n 21 k k-1xx當(dāng)n=k+1時，x-x=(1+——k—)-(1+——k-^-)k+1k 1+x 1+xx(1+x)一x(1+x)一x(1+x)(1+x)(1+x)k-1x n一1—1+xn-1k k-1一x^x一->0,所以｛單調(diào)增加;(1+x)(1+x) nk-1<2,所以由單調(diào)增加有界數(shù)列必有極限得％收斂nx limx令limx=a,貝Ulimx=lim(1+——n—)=1+n>0nn-0n n-0n+1n-0 1+x 1+limx_n_ n-0n即 a=1+,得a=I+"(a=-_舍去).1+a 2 26.lim(3x-aax2+bx+c)=2，求常數(shù)a,b.x—8=limx-8解：顯然a>0,lim(3x-、；ax2+bx+=limx-8f(x)2.若函數(shù)f(x)在［af(x)2.若函數(shù)f(x)在［a,+8］上可導(dǎo)，對任意x￡(a,+8)，有|f'(x)|<M,M是常數(shù)，則lim八'=0.xf+8x2證明:因為f(x)在區(qū)間(a,+8)滿足If(x)|<M,所以滿足李普希茲條件，即對任意的x,xe(a,+8),有|f(x)-f(x)1<Mlx-xI.1 2 1 1 2 1 21令b>a,則xe(a,+8),有|f(x)-f(b)|<M|x-b|成立.我們知limXf+8fb=0,故要證limfx=0,只需證limf(X)-f(b)=0.x2x>b時,對任意給定的8>0,要使f(x)-f(b)=|f(x)-f(b)|<M\xx2只需x>2M即可,令X=max{b,8X2也}」,8Mx+Mb2M

< < <8x2x則當(dāng)x>X時,<s成立即limXf+8x2f(x)-f(b)=0,所以得證.x213.證明函數(shù)y=sm—在(c,1)內(nèi)一致連續(xù)，但在(0,1)內(nèi)非一致連續(xù).x證明:設(shè)0<c<x,x<1對,任意的8>0,要使0sin1-sinX=2cos(x0Xsin1-sinX=2cos(x0X+X 0-)sin(2xx0c.1.1=2cos(一+一2x2xx-x、 - 0)<22xx0)sin(X-_L)2x2x0x-x 02xx00x-x 0-<8,c2只需|x-x0只需|x-x0所以對任意的8>0,存在3=c28>0,當(dāng)I有sin--sinxx0〃 ;r,x人 兀nn兀+—21<8成立,故y=sin1在(c,1)(c>0)上是一致連續(xù)的,〃為正整數(shù),兀n兀一一2.1.1

sin-.1.1

sin--sin—x， x"n n=1-(-1)|=2x-x= f0,(nf8)nn 兀24n2兀2-一4所以對小于2的任意8>0,不能找到一致連續(xù)定義中的3，使得當(dāng)xn-x1<3時,.1.1_sin--sin—<8x， x"n n歡迎下載(3x-a：ax2+bx+c)(3x+：ax2+bx+c) 3+；a+b+￡3x+yax2+bx+c 、：xx2 0=lim =lim =2x-89x2-ax2-bx-c x-89x一ax一b一cx所以,9—a=0,3+、1"=2,得a=9,b=-3.-b四證明題(每小題10分，共30分)一 f(x) 一 f(x)1.設(shè)f(x)在(-8,+8)上連續(xù)，且lim-——=lim-——=0,證明:存在工e(-8,+8),使x-+8*********xx--8x證明:因為limfx=0,所以對s<1,存在X>0,使得當(dāng)x>X時，有x-+8xf(x)<e成立，即一xe<f(x)<xe,x故一x(e+1)<f(x)-x<x(e