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文檔簡介
2025屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙一中高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.2.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的()A.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度B.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度3.設(shè)且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.4.已知,,,,則()A. B. C. D.5.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x6.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.47.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.8.定義在上函數(shù)滿足,且對任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,則()A. B. C. D.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點(diǎn),點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn),,,若,則的取值范圍是_______.14.(5分)在長方體中,已知棱長,體對角線,兩異面直線與所成的角為,則該長方體的表面積是____________.15.一個(gè)算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的T的值為________.16.過動(dòng)點(diǎn)作圓:的切線,其中為切點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的最小值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大??;②在棱PC上存在點(diǎn)M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.18.(12分)[選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與曲線交于,兩點(diǎn),與曲線交于,兩點(diǎn),求取最大值時(shí)的值19.(12分)設(shè)函數(shù),,其中,為正實(shí)數(shù).(1)若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè),證明:對任意,都有.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.21.(12分)某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展,燈光展涉及到10000盞燈,每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為,并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時(shí)長(單位:),得到下面的頻數(shù)表:亮燈時(shí)長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長作為一盞燈的亮燈時(shí)長.(1)試估計(jì)的值;(2)設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差;②若隨機(jī)變量滿足,則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí),燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì),在一場燈光展中,處于最佳燈光亮度的時(shí)長(結(jié)果保留為整數(shù)).附:①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長與燈光展總時(shí)長的商;②若,則,,.22.(10分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和.若,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.2、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),故可得;再將向左平移個(gè)單位長度,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】項(xiàng),由得到,則,故項(xiàng)正確;項(xiàng),當(dāng)時(shí),該不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤;項(xiàng),當(dāng),時(shí),,即不等式不成立,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上所述,故選.4、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.5、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進(jìn)而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因?yàn)闈u近線方程為y=±bax點(diǎn)睛:已知雙曲線方程x2a26、D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.7、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.8、B【解析】
結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.9、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋室玫?,只需將向左平移個(gè)單位長度.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】
設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式,即可得解;【詳解】解:設(shè)∵,∴,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當(dāng)時(shí),代入可得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點(diǎn)斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由于點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),與軸的正方向的夾角在變,所以先設(shè),又由,可知,從而可得,而點(diǎn)在橢圓上,所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡可得結(jié)果.【詳解】設(shè),,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率,綜合性強(qiáng),屬于難題.14、10【解析】
作出長方體如圖所示,由于,則就是異面直線與所成的角,且,在等腰直角三角形中,由,得,又,則,從而長方體的表面積為.15、【解析】
由程序中的變量、各語句的作用,結(jié)合流程圖所給的順序,模擬程序的運(yùn)行,即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得:,執(zhí)行循環(huán)體,,不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,,此時(shí),滿足條件,退出循環(huán),輸出的值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序和算法,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識的考查.16、【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b?7=0.∴a,b滿足的關(guān)系為:4a+4b?7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小,由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+4b?7=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得:MN的最小值為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、Ⅰ詳見解析;Ⅱ①,②或.【解析】
Ⅰ可以通過已知證明出平面PAB,這樣就可以證明出;Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求出二面角的大??;求出平面PBC的法向量,利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明:Ⅰ在圖1中,,,為平行四邊形,,,,當(dāng)沿AD折起時(shí),,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由于平面ABCD則0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,設(shè)平面PBC的法向量為y,,則,取,得0,,設(shè)平面PCD的法向量b,,則,取,得1,,設(shè)二面角的大小為,可知為鈍角,則,.二面角的大小為.設(shè)AM與面PBC所成角為,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直線AM與平面PBC所成的角為,,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直,考查了利用向量數(shù)量積,求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點(diǎn)問題.18、(1)的極坐標(biāo)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【解析】
(1)先得到的一般方程,再由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式得到一般方程,將代入得,得到曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為,,將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得:,,,之后進(jìn)行化一,可得到最值,此時(shí),可求解.【詳解】(1)由得,將代入得:,故曲線的極坐標(biāo)方程為.由得,將代入得,故曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為,,將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得:,,則,其中為銳角,且滿足,,當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法,極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法,以及極坐標(biāo)中極徑的幾何意義,極徑代表的是曲線上的點(diǎn)到極點(diǎn)的距離,在參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程中,能表示距離的量一個(gè)是極徑,一個(gè)是t的幾何意義,其中極徑多數(shù)用于過極點(diǎn)的曲線,而t的應(yīng)用更廣泛一些.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求出滿足不等式的的取值范圍;(2)不等式整理為,由(1)可知當(dāng)時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立,從而證明對任意,都有.【詳解】(1)解:因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在的圖象的下方,所以在區(qū)間上恒成立.設(shè),其中,所以,其中,.①當(dāng),即時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,,故成立,滿足題意.②當(dāng),即時(shí),設(shè),則圖象的對稱軸,,,所以在上存在唯一實(shí)根,設(shè)為,則,,,所以在上單調(diào)遞減,此時(shí),不合題意.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)證明:由題意得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,所以.令,則,所以在上單調(diào)遞增,,即,所以,從而.由(1)知當(dāng)時(shí),在上恒成立,整理得.令,則要證,只需證.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增,所以,即在上恒成立.綜上可得,對任意,都有成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)最值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于難題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)求出導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因?yàn)?,則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立;又,所以,
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