2025屆江蘇省江都市大橋高中高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆江蘇省江都市大橋高中高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某個命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時，該命題不成立 B．當(dāng)時，該命題成立C．當(dāng)時，該命題不成立 D．當(dāng)時，該命題成立2．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級，一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.3．設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．34．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點，則此點取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A． B．C． D．6．已知焦點為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，點在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．或 C．或 D．7．命題：的否定為A． B．C． D．8．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個都小于的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．10．已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，其底面邊長為4，、、分別為側(cè)棱，，的中點.若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍，則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為（）A． B． C． D．11．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．128二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標(biāo)為，則的值為_________.14．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．15．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標(biāo)原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.16．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點,是上異于,的點,.（1）證明:平面平面;（2）若點為半圓弧上的一個三等分點(靠近點)求二面角的余弦值.20．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個，有個，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.21．（12分）中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求的大?。唬?）若，且為的重心，且，求的面積.22．（10分）如圖，設(shè)橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

寫出命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立，則當(dāng)時該命題也不成立”，由于當(dāng)時，該命題不成立，則當(dāng)時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.2、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．3、C【解析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出?！驹斀狻恳驗?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C?！军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。4、A【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可．【詳解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題．5、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的值.【詳解】根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：，，，執(zhí)行第一次循環(huán)時：，，所以：不成立．繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…，當(dāng)，時，成立，，由于不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，，，成立，，成立，輸出的的值為.故選：B．【點睛】本題考查的知識要點：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．6、A【解析】

過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，利用拋物線的定義可得，要使最大，則應(yīng)最大，此時與拋物線相切，再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，，則當(dāng)取得最大值時，最大，此時與拋物線相切，易知此時直線的斜率存在，設(shè)切線方程為，則.則，則直線的方程為.故選：A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到拋物線的定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.7、C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．8、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.9、D【解析】

由試驗結(jié)果知對0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿足，面積為1，再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對都小于的正實數(shù)對，即，對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.10、D【解析】

如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面，計算，由勾股定理解得，此外接球的體積為，三棱錐體積為，得到答案.【詳解】如圖，平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中，過作底面的垂線，垂足為，與平面交點記為，連接、.依題意，所以，設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理：，解得，此外接球的體積為，由于平面平面，所以平面，球心到平面的距離為，則，所以三棱錐體積為，所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選：D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.11、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結(jié)合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，結(jié)合判斷條件求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)，寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結(jié)論．【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，直線的方程為，據(jù)得.設(shè)，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關(guān)鍵．14、【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是．答案：15、或【解析】

用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.16、【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，，從而.當(dāng)時，此時，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，，由知.，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，.當(dāng)，即時，最大.故答案為：.【點睛】此題考查實際問題中導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進(jìn)行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)時，，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.當(dāng)時解法一：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，因為成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因為，，，所以，，又因為，所以，所以，原不等式得證.補(bǔ)充：解法三：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.18、(1)不能；(2)①；②分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可；計算K的觀測值K2，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結(jié)論．（2）由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）即可；【詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K”的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為，①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為；②的取值為10，20，30，40.,,,,所以的分布列為10203040.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，考查了概率分布列和期望，計算能力的應(yīng)用問題，是中檔題目．19、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）由直徑所對的圓周角為，可知，通過計算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形，所以有.由已知可以證明出，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;（2）以為坐標(biāo)原點，分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出平面的一個法向量和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積運算公式，可以求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）證明：因為半圓弧上的一點，所以.在中，分別為的中點，所以，且.于是在中，，所以為直角三角形，且.因為，,所以.因為，，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由已知，以為坐標(biāo)原點，分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，,,,.設(shè)平面的一個法向量為,則即，取,得.設(shè)平面的法向量,則即，取,得.所以，又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問題.20、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當(dāng)時根據(jù)題意有,共個；當(dāng)時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有