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文檔簡介
2025屆廣東省中山一中等七校聯(lián)合體重點(diǎn)中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.2.命題:存在實(shí)數(shù),對任意實(shí)數(shù),使得恒成立;:,為奇函數(shù),則下列命題是真命題的是()A. B. C. D.3.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.4.已知是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.5.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.8.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1610.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀(jì)最大,乙說:我年紀(jì)最大,丙說:乙年紀(jì)最大,丁說:我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.12.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.14.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時(shí)點(diǎn),,,在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為________.15.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個(gè)不等式應(yīng)該為__________.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)分別求數(shù)列,的前項(xiàng)和,.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交曲線于兩點(diǎn),為中點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)若,求的值.20.(12分)在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,運(yùn)城市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:.組別頻數(shù)(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求;(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:①得分不低于的可以獲贈次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈次隨機(jī)話費(fèi);②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:贈送話費(fèi)的金額(單位:元)概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:參考數(shù)據(jù)與公式:,若,則,,21.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.22.(10分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因?yàn)?,,,所以的周期?,故,故的虛部為2,A錯(cuò)誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,B錯(cuò)誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯(cuò)誤;,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】
分別判斷命題和的真假性,然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于命題,由于,所以命題為真命題.對于命題,由于,由解得,且,所以是奇函數(shù),故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查函數(shù)的奇偶性,考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.4、D【解析】
設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.6、D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.7、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.8、A【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個(gè)說的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故乙說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故丙在說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說謊,說明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.11、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長.【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
結(jié)合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題,邏輯推理,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可得,,解不等式可求.【詳解】解:由題意可得,,解可得,,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
分別取,的中點(diǎn),,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點(diǎn),,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對于第一個(gè)不等式,,則有,對于第二個(gè)不等式,,則有,對于第三個(gè)不等式,,則有,依此類推:第個(gè)不等式為:,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.16、6【解析】
已知,利用,求出通項(xiàng),然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴,故數(shù)列是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問題,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2);【解析】
(1),,可得為公比為2的等比數(shù)列,可得為公差為1的等差數(shù)列,再算出,的通項(xiàng)公式,解方程組即可;(2)利用分組求和法解決.【詳解】(1)依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,為公差為1的等差數(shù)列,由,得解得故數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為.(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.18、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標(biāo)方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1),;(2)或【解析】
(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再由,,可得點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)將曲線極坐標(biāo)方程求,與直線極坐標(biāo)方程聯(lián)立,消去,得到關(guān)于的二次方程,由的幾何意義可求出,而(1)可知,然后列方程可求出的值.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,圓的圓心為,設(shè),所以,則由,即為點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為,將與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得,,設(shè),所以,,由,即,令,上述方程可化為,解得.由,所以,即或.【點(diǎn)睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,利用極坐標(biāo)求點(diǎn)的軌跡方程,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.20、(1)(2)詳見解析【解析】
由題意,根據(jù)平均數(shù)公式求得,再根據(jù),參照數(shù)據(jù)求解.由題意得,獲贈話費(fèi)的可能取值為,求得相應(yīng)的概率,列出分布列求期望.【詳解】由題意得綜上,由題意得,獲贈話費(fèi)的可能取值為,,的分布列為:【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機(jī)變量的分布列及期望,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ),,兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,故,兩式相減可得,,故,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.22、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用
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