2023-2024學年北京一七一中初三（上）期中數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2023北京一七一中初三（上）期中數(shù)學（時長：120分鐘總分值：100分）一、單項選擇題（下列各小題均有四個選項，其中只有一個選項符合題意．共16分，每小題2分）1.下列標志中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.3.下列事件中是隨機事件的是（）A.明天太陽從東方升起B(yǎng).經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈C.平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是4.已知雙曲線的解析式為，則下列各點在此雙曲線上的是（）A. B. C. D.5.如圖，在中，是直徑，弦的長為5，點D在圓上，且，則的半徑為（）A. B.5 C. D.6.如圖，在等腰中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點的對應點落在上時，連接，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.7.若點三點在拋物線的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.8.如圖，小明在操場上勻速散步，某一段時間內(nèi)先從點出發(fā)到點，再從點沿半圓弧到點，最后從點回到點，能近似刻畫小明到出發(fā)點的距離與時間之間的關系的圖像是（）A. B. C. D.二、填空題（共16分，每小題2分．）9.若關于的函數(shù)是二次函數(shù)，則的取值范圍是______．10.在平面直角坐標系中，點關于原點對稱點的坐標是_____．11.已知是方程的一個根，則代數(shù)式等于___________．12.把拋物線向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為_______．13.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果．投籃次數(shù)50100150200300400500投中次數(shù)284978102153208255投中頻率0.560.490.520.510.510.520.51根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為______．（精確到0.1）14.弦的長為，圓心O到的距離為，那么的半徑為________cm．15.如圖，在的正方形網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點O，A，B為格點，即是小正方形的頂點，若將扇形圍成一個圓錐，則這個錐的底面圓的半徑為______．16.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E是正方形內(nèi)部一點，連接BE，CE，且，點F是AB邊上一動點，連接FD，F(xiàn)E，則的長度最小值為______．三、解答題（共64分17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分．）17.解方程：．18.已知一元二次方程（1）當時，求出此方程的根；（2）求證：不論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．19.下面是小李設計的“作圓的內(nèi)接等邊三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，．求作：等邊，使得等邊內(nèi)接于．作法：①如圖2，作半徑；②以M為圓心，長為半徑作弧，交于點A，B，連接；③以B為圓心，長為半徑作弧，交于點C；④連接，．∴就是所求作的等邊三角形．根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖2（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接，，，．由作圖可知，∴，是等邊三角形．∴．∴．∵，∴．（）（填推理的依據(jù)）∵，∴是等邊三角形．20.如圖，已知三個頂點的坐標分別為，，，在給出的平面直角坐標系中：（1）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的；并直接寫出、的坐標；（2）計算點旋轉(zhuǎn)到點位置時，經(jīng)過的路徑弧的長度．21.如圖，已知是反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象的兩個交點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集．22.如圖，在中，為弦的中點，連接并延長交于點，，求的半徑．23.下圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止后，若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字為止．（1）請你通過畫樹狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．（2）該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計出一種公平的游戲規(guī)則．24.如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離為米．（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；（2）求下邊緣拋物線與軸交點的坐標；（3）若米，灌溉車行駛時噴出的水______（填“能”或“不能”）澆灌到整個綠化帶．25.如圖，在中，，O是邊上一點，以O為圓心，為半徑的圓與相交于點D，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為1，求的長，26.在平面直角坐標系xOy中，點M（2，m），N（4，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求該拋物線的對稱軸；（2）已知點P（﹣1，P）在該拋物線上，設該拋物線的對稱軸為x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范圍．27.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN于點D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN于點E，進而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關系，并證明（3）拓展延伸在直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當△ABD面積取得最大值時，若CD長為1，請直接寫B(tài)D的長．28.在平面直角坐標系中，對于點和圖形，給出如下定義：若圖形上存在點，使點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到點，稱點為點關于圖形的“旋轉(zhuǎn)點”．特別地，若點與點重合，則點也是點關于圖形的“旋轉(zhuǎn)點”．如圖1，點．（1）在點中，是點關于軸的“旋轉(zhuǎn)點”的是；（2）若上存在點關于軸的“旋轉(zhuǎn)點”，求的半徑的取值范圍．（3）如圖2，的半徑為時，已知點，以線段為邊在x軸上方作正方形．若正方形上存在點關于的“旋轉(zhuǎn)點”，直接寫出符合題意的的取值范圍．

參考答案一、單項選擇題（下列各小題均有四個選項，其中只有一個選項符合題意．共16分，每小題2分）1.【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合的圖形是中心對稱圖形，進而分析及可.【詳解】A.不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B.是中心對稱圖形，故此選項正確；C.不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D.不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．【點睛】同學們要熟練掌握中心對稱圖形的概念即可解答.2.【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的頂點式解析式寫出頂點坐標即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關鍵．3.【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．明天太陽從東方升起，是必然事件，故本選項不符合題意；B．經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，故本選項符合題意；C．平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，是必然事件，故本選項不符合題意；D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是，是不可能事件，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關鍵．4.【答案】D【分析】只需把所給點的橫縱坐標相乘，結果是的，就在此函數(shù)圖象上．【詳解】∵反比例函數(shù)中，∴，∴只需把各點橫縱坐標相乘，結果為的點在函數(shù)圖象上，四個選項中只有D選項符合．故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數(shù)．5.【答案】B【分析】連接,由題意易得，在中解三角形求解．【詳解】連接,在中，是直徑，，在中，，，故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．6.【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，，故選：C．7.【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，先求出拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性求解．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：拋物線，開口向上，對稱軸為，點，，三點在拋物線的圖象上，點關于對稱軸的對稱點在拋物線的圖象上，，．故選：A．8.【答案】C【分析】可從MA，弧AB，BM三段去考慮小明到出發(fā)點M的距離的變化情況，由此選擇合適的圖像.【詳解】解：MA段小明距離M越來越遠，到點A是距離最遠，弧AB段，到M的距離始終不變，且這一段所用時間最長，BM段距離M越來越近，最終到達M點，由于小明勻速散步，MA=BM,MA段所用時間和BM段相同，綜上所述，C圖像符合題意.故答案為C【點睛】本題考查了函數(shù)圖像，結合實際情況選擇圖像時，關鍵是理清變量間的變化情況.二、填空題（共16分，每小題2分．）9.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列不等式求解即可．【詳解】∵函數(shù)是關于x的二次函數(shù)，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關鍵．10.【答案】【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)進行填空即可．【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查關于原點對稱點的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．11.【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義可得，整體代入，即可求解．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，得出是解題的關鍵．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．12.【答案】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進行計算即可．【詳解】解：拋物線，向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到即故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像的平移；熟記函數(shù)圖像的平移方式“上加下減，左加右減”是解題的關鍵．13.【答案】0.5【分析】本題考查了求概率，根據(jù)頻率估計概率的方法結合表格數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來越大時，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.51附近，∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為0.51，精確到0.1為0.5，故答案為：0.5．14.【答案】5【分析】過點作于點，連接，構造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和弦心距得到直角三角形直角邊長，利用勾股定理直接求圓的半徑即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，則，在中，即的半徑是．故答案為：5【點睛】此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、弦心距的計算的問題，常把半弦長，半徑，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形中的勾股定理求解，常見輔助線是過圓心作弦的垂線或連接半徑．15.【答案】【分析】根據(jù)弧長公式求出這個圓錐的底面圓的周長，進而即可求解；【詳解】解：這個錐的底面圓的周長為：；∴這個錐的底面圓的半徑為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查弧長公式的應用，正確計算是解題的關鍵．16.【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形APGB，則點D的對應點是P，連接PO交AB于F交圓O于E，則線段EP的長即為FD+FE的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形APGB，則點D的對應點是P，連接PO交AB于F，交半圓O于E，線段EP的長即為FD+FE的長度最小值，OE=4，∵∠G=90°，PG=BG=AB=4，∴OG=6，∴ОP=，∴EP=，∴FD+FE的長度最小值為，故答案為．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，點的運動軌跡，勾股定理，最小值問題，正確理解點的運動軌跡是解題的關鍵．三、解答題（共64分17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分．）17.【答案】,【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)的意義，利用公式法求解即可．【詳解】解：，∵，，，∴>0，∴，∴,．【點睛】主要考查了方程的系數(shù)的意義和一元二次方程的解法，要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解．18.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則；有兩個相等的實數(shù)根，則；沒有實數(shù)根，則．據(jù)此即可求解．【小問1詳解】解：當時，方程為即：【小問2詳解】解：∴此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查一元二次方程的求解和根的判別式．熟記相關結論即可．19.【答案】（1）見解析（2），同弧所對的圓周角等于圓心角的一半【分析】（1）按照作圖方法補全圖形即可；（2）連接，，，，證明，是等邊三角形．得到．由圓周角定理得到，由即可得到結論．【小問1詳解】如圖所示，【小問2詳解】證明：連接，，，．由作圖可知，∴，是等邊三角形．∴．∴．∵，∴．（同弧所對的圓周角等于圓心角的一半）∵，∴是等邊三角形．故答案為：，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半【點睛】此題考查了基本作圖、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等知識，準確作圖和證明是解題的關鍵．20.【答案】（1）圖見解析，，，（2）【分析】（1）分別作出點、繞點順時針旋轉(zhuǎn)所得對應點，再與點首尾順次連接即可得；（2）利用弧長的公式求解可得．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，其中，；【小問2詳解】解：，，弧的長度．【點睛】本題主要考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，解題的關鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應點及扇形的面積公式．21.【答案】（1），（2）或【分析】（1）先把代入得到，再把代入可求出，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；（2）觀察函數(shù)圖象得到當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象下方，即使．【小問1詳解】把代入得到，所以反比例函數(shù)解析式為，把代入得，解得，把和代入得，解得．所以一次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】與函數(shù)圖象如圖，當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象下方，此時，故答案為：或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了觀察函數(shù)圖象的能力以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．22.【答案】5【分析】連接，根據(jù)垂徑定理推論得出，由勾股定理可得出的長．【詳解】解：連接，如圖所示：∵為中點，，∴，，設的半徑為，則，∵，∴，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的半徑為．【點睛】題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理推論判斷出OC垂直平分AB是解答此題的關鍵．23.【答案】（1）（2）不公平，公平的游戲規(guī)則見詳解【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結果，然后根據(jù)概率公式求出小穎獲勝的概率即可；（2）判斷游戲的公平性，首先要計算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平；然后設計出公平的游戲規(guī)則（答案不唯一）．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，其中指針所指區(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種，∴小穎獲勝的概率為；【小問2詳解】該游戲規(guī)則不公平．由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為，故該游戲規(guī)則不公平．游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當兩個轉(zhuǎn)盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時，小亮獲勝；當兩個轉(zhuǎn)盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時，小穎獲勝；②當兩個轉(zhuǎn)盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小亮獲勝；當兩個轉(zhuǎn)盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時，小穎獲勝．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了列舉法求概率以及概率的應用，理解題意，正確作出樹狀圖或列表是解題關鍵．24.【答案】（1）噴出水的最大射程為米（2）（3）不能【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關鍵．（1）由頂點得，設，再根據(jù)拋物線過點，可得a的值，從而解決問題；（2）由對稱軸知點的對稱點為，則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移米得到的，可得點B的坐標；（3）根據(jù)米，米，米，可求得點F的坐標為，當時，求出y的值，再與0.9比較，從而得出答案．【小問1詳解】如圖2，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，設，又∵拋物線過點，∴，∴，∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為，當時，，解得（舍去），∴∴噴出水的最大射程為米；【小問2詳解】∵對稱軸為直線，∴點的對稱點為，∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移米得到的，∵向左平移米得到點B∴點B的坐標為；【小問3詳解】由題意得米，米，米，∴點F的坐標為，當時，，當時，y隨x的增大而減小，∴灌溉車行駛時噴出的水不能澆灌到整個綠化帶．故答案為：不能．25.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）連接，易得，，，根據(jù)等量代換可得，證明可得結論；（2）根據(jù)，，得出，，根據(jù)，，求出，得出，根據(jù)勾股定理得出．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：，，，，∵，∴，，，∵為半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．26.【答案】（1）x=3（2）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值相同的兩個點關于對稱軸對稱求解即可；（2）根據(jù)題意列出相應不等式，然后將不等式化簡為對稱軸的形式得出相應不等式解集，根據(jù)不等式解集的確定方法求解即可．【小問1詳解】解：當m=n時，對稱軸為；【小問2詳解】解：根據(jù)題意可得：m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，∵m<p<n，mn<0，∴m<0，n>0，∴4a+2b<0，16a+4b>0，化簡得：①，②，∵m<p<n，∴化簡③得，化簡④得，∵t=∴綜合①②③④可得：1<t．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及利用不等式確定解集，理解題意，掌握不等式的性質(zhì)及二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關鍵．27.【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關系（2）過點B作BE⊥BD，交MN于點E．AD交BC于O，證明，得到，，根據(jù)為等腰直角三角形，得到，再根據(jù)，