專題13 三角形與多邊形的有關概念及性質【考點精講】（解析版）

專題13三角形與多邊形的有關概念及性質一、三角形有關概念及性質1．三角形的分類（1）三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.（2）三角形按邊分類：①一般三角形：三邊都不等的三角形；②等腰三角形：兩邊相等的三角形；③等邊三角形：三邊都相等的三角形2．三角形的邊的關系（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊.（2）三角形任意兩邊之差小于第三邊3．三角形的角的關系（1）三角形三個內角的和等于180°；特別地，當有一個內角是90°時，其余的兩個內角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，三角形的任意一個外角大于任意一個和它不相鄰的內角4．三角形的中線（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.（2）一個三角形有三條中線，都在三角形的內部，三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心.（3）三角形的一條中線把原三角形分成面積相等的兩部分5．三角形的高（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高.（2）一個三角形有三條高，可能在三角形內部，也可能在三角形上，還可能在三角形的外部6．三角形的角平分線（1）在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.它區(qū)別于一個角的平分線在于它是線段，而一個角的平分線是射線.（2）三角形的內心：三角形的三條角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的內心.這個點也是這個三角形內切圓的圓心.三角形的內心到三角形三條邊的距離相等7．三角形的中位線（1）連接三角形兩邊的中點的線段叫做三角形的中位線.（2）一個三角形有3條中位線，都在三角形的內部.（3）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半二、多邊形1．多邊形的內角和、外角和n邊形的內角和為(n-2)·180°，外角和為360°.2．正多邊形：在平面內，各內角都相等，各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形.3．多邊形的對角線：在多邊形中，連接互不相鄰的兩個頂點的線段.【考點1】三角形的相關概念與計算【例1】（三角形的特性）（2022·湖南永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，故選D．【例2】（三角形三邊關系）（2022·四川涼山）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理（任意兩邊之和大于第三邊）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，不能組成三角形，此項不符題意；B、，不能組成三角形，此項不符題意；C、，能組成三角形，此項符合題意；D、，不能組成三角形，此項不符題意；故選：C．【例3】（三角形內角和）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=1：1：2；那么△ABC的形狀是（）A.銳角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【分析】由條件可分別設∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為x°、x°、2x°，根據(jù)三角形內角和定理可求得x，可求得三角形三個內角，可得出答案．【詳解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴設∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為x°、x°、2x°，根據(jù)三角形內角和定理可得x+x+2x=180，解得x=45，∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．三角形三邊關系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的應用（1）在實際應用中，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.（2）在實際應用中，已知兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差<第三邊<兩邊之和.（3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.1．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A.梯形 B.長方形 C.直角三角形 D.平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進行判斷即可得答案．【詳解】直角三角形具有穩(wěn)定性，梯形、長方形、平行四邊形都不具有穩(wěn)定性．故選：C2．有下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關系進行判斷．【詳解】A、，不能組成三角形；B、，不能組成三角形；C、，能組成三角形；D、，不能組成三角形；故選C．3．（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長，則等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．4．一個三角形三個內角的度數(shù)之比為2∶3∶5，這個三角形一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【分析】若三角形三個內角的度數(shù)之比為2：3：5，利用三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°，可求出三個內角分別是36°，54°，90°．則這個三角形一定是直角三角形．【詳解】設三角分別為2x，3x，5x，

依題意得2x+3x+5x=180°，

解得x=18°．

故三個角分別為：36°，54°，90°．

所以這個三角形一定是直角三角形，

故選B．【考點2】三角形的角平分線，中線，高，內心，外心【例4】（三角形的高）（2022·廣西玉林）請你量一量如圖中邊上的高的長度，下列最接近的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故選：D．【例5】（中線）如圖，已知點是中邊上的中線，若的面積是4，則的面積是（）A.4 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【分析】三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形．【詳解】解：∵點是中邊上的中線，∴S△BCD=S△ABD=S△ABC=2，故選C．1．如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點，且CF⊥AD于H，下列判斷，其中正確的個數(shù)是（）①BG是△ABD中邊AD上的中線；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分線，也是△ABE中∠BAE的角平分線；③CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中AH邊上的高線．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)三角形的高，中線，角平分線的定義可知．【解析】解：①G為AD中點，所以BG是△ABD邊AD上的中線，故正確；②因為∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分線，AG是△ABE中∠BAE的角平分線，故錯誤；③因為CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中AH邊上的高線，故正確．故選：C．2.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A. B. C.D.【答案】D【詳解】三角形的高線的定義可得，D選項中線段BE是△ABC的高．故選：D3．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【解析】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF＝CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，C說法錯誤，符合題意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．4．（2022·河北）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質可得，作出選擇即可．【詳解】解：如圖，∵由折疊的性質可知，∴AD是的角平分線，故選：D．5．（2022·黑龍江哈爾濱）在中，為邊上的高，，，則是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根據(jù)題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：①高在三角形內部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；②高在三角形邊上，如圖所示：可知，，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；綜上所述：或，故答案為：或．【考點3】三角形的中位線定理【例6】（中位線）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE，BE，點M在CB的延長線上，連接DM，若∠MDB＝∠A，則四邊形DMBE的周長為（）A．16 B．24 C．32 D．40【答案】C【分析】由中點的定義可得AE=CE，AD=BD，根據(jù)三角形中位線的性質可得DE//BC，DE=BC，根據(jù)平行線的性質可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可證明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可證明四邊形DMBE是平行四邊形，可得MD=BE，進而可得四邊形DMBE的周長為2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．【詳解】∵D，E分別是AB，AC的中點，∴AE=CE，AD=BD，DE為△ABC的中位線，∴DE//BC，DE=BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ADE=∠ABC=90°，在△MBD和△EDA中，，∴△MBD≌△EDA，∴MD=AE，DE=MB，∵DE//MB，∴四邊形DMBE是平行四邊形，∴MD=BE，∵AC＝18，BC＝14，∴四邊形DMBE的周長=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．故選：C．三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半1．（2020?內江）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，S四邊形BCED＝15，則S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質，證得：DE∥BC，DE=12BC，進而得出△ADE∽△【解析】∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∴S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故選：D．2．如圖，在中，是上一點，于點，點是的中點，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)可得△ACD為等腰三角形，再由結合“三線合一”性質可得E為CD的中點，從而得到EF為△CBD的中位線，最終根據(jù)中位線定理求解即可．【解析】∵，∴△ACD為等腰三角形，∵，∴E為CD的中點，（三線合一）又∵點是的中點，∴EF為△CBD的中位線，∴，故選：C．3．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在DC的延長線上取一點E，使CE＝CD，連接OE交BC于點F，若BC＝4，則CF＝_____．【答案】1【分析】作OG∥BC交DC于G點，則根據(jù)可得G為DC的中點，同理在△OGE中，運用中位線定理可得CF的長度．【解析】如圖，作OG∥BC交DC于G點，∵O為BD的中點，∴G為DC的中點，即OG是△BDC的中位線，∴，又∵，∴，即C為EG的中點，∵CF∥OG，∴CF為△OGE的中位線，∴，故答案為：1．4．如圖，在中，是邊的中線，是的中點，連接并延長交于點．求證：．【答案】見解析【分析】取的中點，連接，則DM是△ABF的中位線，利用中位線定理結合全等三角形的判定即可證得．【解析】證明：取的中點，連接，∵是邊的中線，∴是邊的中點，∴，．∴，．∵是的中點，∴，在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴．【考點4】多邊形的內角和與外角和【例7】（求內角和）一個n邊形的每個外角都是45°，則這個n邊形的內角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°【答案】A【分析】根據(jù)多邊形外角和及內角和可直接進行求解．【詳解】解：由一個n邊形的每個外角都是45°，可得：，∴這個多邊形的內角和為：，故選A．【例8】（判定多邊形的形狀）（1）過某個多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成5個三角形，則這個多邊形是________邊形．【答案】七【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可組成n-2個三角形，依此可得n的值，再由多邊形的內角和為：（n-2）×180°，可求出其內角和．【詳解】解：由題意得，n-2=5，解得：n=7，故答案為：七．（2）若一個多邊形的每一個外角都等于40°，則這個多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】9【詳解】解：360÷40=9，即這個多邊形邊數(shù)是9．故答案為：9．（1）多邊形的內角和：n邊形的內角和等于（n-2）·180°;（2）多邊形的外角和：360°.1．已知一個邊