四川省綿陽市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一診斷性考試數(shù)學(xué)試題含答案

秘密★啟用前【考試時(shí)間：2024年10月30日15：00—17：00】綿陽市高中2022級第一次診斷性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再根據(jù)集合交集運(yùn)算即可得答案【詳解】由，可得，所以，所以.故選：B2.“”，是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若，則，因此，當(dāng)，時(shí)，，所以“”，是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知，且滿足，則的最小值為（）A.3 B. C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得的范圍，從而求得的最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：D4.某公司根據(jù)近幾年經(jīng)營經(jīng)驗(yàn)，得到廣告支出與獲得利潤數(shù)據(jù)如下：廣告支出x/萬元258111519利潤y/萬元334550535864根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得利潤y關(guān)于廣告支出x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．據(jù)此經(jīng)驗(yàn)回歸方程，若計(jì)劃利潤達(dá)到100萬元，估計(jì)需要支出廣告費(fèi)（）A.30萬元 B.32萬元 C.36萬元 D.40萬元【答案】D【解析】【分析】先得求數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入得，再由求得即得.【詳解】，，因過點(diǎn)，故，得，故當(dāng)時(shí)，，得，故選：D5.下列選項(xiàng)中，既是增函數(shù)，也是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】對于A，令，，，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，令，，，所以是奇函數(shù)，又，所以是R上的增函數(shù)，故C正確；對于D，令，，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，但在定義域上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知為第一象限角，且，則（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角和正切公式結(jié)合已知條件可求出，再結(jié)合二倍角公式化簡求值，即可得答案.【詳解】由題意知第一象限角，且，故，解得或（舍去），則，故選：B7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（e是自然對數(shù)的底數(shù)，，k為正的常數(shù)）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.33h B.35h C.37h D.39h【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出常數(shù)，然后再令即可解出.【詳解】依題意，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以污消除60%的污染物需要的時(shí)間約為37h.故選：C8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有2個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，結(jié)合題意列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，h'x<0，則hx當(dāng)時(shí)，h'x>0，則hx令，則其圖象為開口向下，對稱軸為的拋物線；由關(guān)于x的不等式，可知，當(dāng)時(shí)，，即有；當(dāng)時(shí)，，即有；作出函數(shù)圖象如圖：要使關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有2個(gè)，顯然不能滿足題意，故需滿足，即，解得，即的取值范圍為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)圖象，從而列出相應(yīng)不等式組，求得答案.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.存在大于1的整數(shù)n，k，使得【答案】AB【解析】【分析】通過與的關(guān)系，作差得到數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，可得兩式相減可得：，又，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，所以，A正確；，所以，B正確；由，可得，顯然，可判斷不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；若，即，也即，顯然不存在大于1的整數(shù)，使得等式成立，D錯(cuò)誤；故選：AB10.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.令，存在，使得為偶函數(shù)C.函數(shù)在上可能有3個(gè)或4個(gè)極值點(diǎn)D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，根據(jù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，可確定，進(jìn)而解得，再根據(jù)其范圍結(jié)合函數(shù)圖象和平移知識等逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，∴，故A正確；對于B，，為偶函數(shù)，則，即，∵∴取，為偶函數(shù),滿足題意，故B正確；對于C，x∈0,π，∵，，∴函數(shù)在上可能有4個(gè)或5個(gè)極值點(diǎn)，故C不正確；對于D，若，則，∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.故D正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，不恒為0，且，則（）A.可以等于零 B.的解析式可以為：C.曲線fx-1為軸對稱圖形 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法可得或，分類討論可得，判斷A；.有一只判斷出函數(shù)的奇偶性，可判斷B；結(jié)合B的分析以及圖象的平移可判斷C；判斷出是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可判斷D.【詳解】令，可得，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，則可得，則，與不恒為0矛盾，所以，故A錯(cuò)誤；令，可得，所以為偶函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的解析式可以為：，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于直線對稱，所以曲線為軸對稱圖形，故C正確；令，則可得，所以，又，解得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：采用賦值法是解抽象函數(shù)的一種有效方法，多領(lǐng)會其思路.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.記內(nèi)角，，對邊分別為，，．已知，則______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式與余弦定理計(jì)算即可得解.【詳解】由，故，則，故.故答案為：.13.已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點(diǎn)之和為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性，再結(jié)合零點(diǎn)的意義即可求解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令函?shù)，，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，令其橫坐標(biāo)從左到右依次為，觀察圖象得，所以的零點(diǎn)之和為.故答案為：14.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論，再結(jié)合的根，分類討論，分析函數(shù)的極大值點(diǎn)即可得出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，可得，若，即時(shí)，則時(shí)，f'x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，f'x<0，函數(shù)所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；若即時(shí)，則時(shí)，f'x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，f'x<0，函數(shù)所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；若即時(shí)，則時(shí)，f'x≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，不符合題意.綜上，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn).故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先觀察導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)單調(diào)性判斷是否為極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)的兩根大小分類，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性判斷極大值點(diǎn)是否為2.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.近年來，解放軍強(qiáng)軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學(xué)子獻(xiàn)身國防，投身軍營.2024年高考，很多高考畢業(yè)學(xué)生報(bào)考了軍事類院校．從某地區(qū)內(nèi)學(xué)校的高三年級中隨機(jī)抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報(bào)考軍事類院校意向的男生、女生各100名．（1）完成給出的列聯(lián)表，并分別估計(jì)該地區(qū)高三男、女學(xué)生有報(bào)考軍事類院校意向的概率；有報(bào)考意向無報(bào)考意向合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．參考公式及數(shù)據(jù)：．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，男生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為，女生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為（2）能認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）先填寫列聯(lián)表，再根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）計(jì)算的知識，從而作出判斷.【小問1詳解】根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表如下：有報(bào)考意向無報(bào)考意向合計(jì)男學(xué)生100400500女學(xué)生100300400合計(jì)200700900男生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為，女生有報(bào)考軍事類院校意向的概率為.【小問2詳解】，所以能認(rèn)為學(xué)生有報(bào)考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，且，（1）求的面積；（2）若，求A．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.（2）利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小問1詳解】在中，由余弦定理及，得，整理得，而，所以的面積.【小問2詳解】由（1）及正弦定理得，即，于是，即，整理得，即，因此，即，由，得，解得或，所以或.17.已知數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng)．（1）若，求的值；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）求．【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）【解析】【分析】（1）先得，，利用是與的等比中項(xiàng)可得；（2）（ⅰ）先求得，利用是與的等比中項(xiàng)可得，由累乘法可得，進(jìn)而可得；（ⅱ）先得，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得.【小問1詳解】由可得，，由題意可知是與的等比中項(xiàng)，故，可得，即，又因，故，故【小問2詳解】（ⅰ）由得，由題意可得，得，故，故，，故，（ⅱ），18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，則過點(diǎn)的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）有3條切線，（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)得出切線斜率，列方程組分析解得個(gè)數(shù)即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對分類討論即可得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，利用極大值建立不等式求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)0,2，所以切線斜率存在，故可設(shè)切線方程為，則，化簡可得，即，由的判別式知方程有2個(gè)不等實(shí)根且不為1，故有3個(gè)不等的實(shí)根，所以切線有3條，其中一條切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故，所以切線方程為.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以或時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，，所以或時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，若有唯一零點(diǎn)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值為，同理，若有唯一零點(diǎn)，則，解得，故，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于含參數(shù)的函數(shù)，研究單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵在于對導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)分析，本題導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，所以分析的重點(diǎn)在于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，在根據(jù)函數(shù)有唯一零點(diǎn)求參數(shù)的時(shí)候，利用函數(shù)的極大值點(diǎn)建立不等式是解題關(guān)鍵.19.已知函數(shù)，在上的最大值為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若數(shù)列滿足，且．（?。┊?dāng)時(shí)，比較與1的大小，并說明理由；（ⅱ）求證：．【答案】（1）a=2（2）(1)，理由見詳解；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求出最大值得解；（2）（i）由已知結(jié)合基本不等式可得，利用數(shù)學(xué)