北師大版九年級下冊試卷合集【1-3章單元試卷含期中期末試卷】

北師大版九年級下冊試卷合集

【1-3章單元試卷，含期中期末試卷】

單元測試卷（一）

一、選擇題

1.計算：cos2450+sin245°=（）

A.1B.1C.1D.返

242

2.在RtZXABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）

A.都擴大兩倍B,都縮小兩倍C.不變D,都擴大四倍

3.如圖，在Rt^ABC中，4C二Rt乙，a、b、c分別是4A,ZB,4C的對邊，

下列結(jié)論正確的是（）

B

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

4.如圖，在aABC中，乙BAC=90。，AB=AC,點D為邊AC的中點，DE_LBC

于點E,連接BD,則tan乙DBC的值為（）

5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則乙ABC

的正切值是（）

6.已知在RtaABC中，乙090。，sinA二W,貝IJtanB的值為（）

5

A.-1B.-1C."D.1

3544

7.如圖，一個小球由地面沿著坡度i=l：2的坡面向上前進了10m,此時小球

距離地面的高度為（）

7777777777777777777777^

A.5mB.2V5mC.mD.—m

3

8.如圖，在菱形ABCD中，DE1AB,cosA二±BE=2,貝1Jtan/DBE的值（）

5

A.上B.2C.逅D.逅

225

9.直角三角形兩直角邊和為7,面積為6,則斜邊長為（）

A.5B.V37C.7D.V38

10.如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C,此時飛行高度

AC=1200m,從飛機上看地平面指揮臺B的俯角a二30。，則飛機A與指揮臺B

的距離為（）

A.1200mB.1200V2mC.1200V3mD.2400m

二、填空題

11.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米.

12.如圖，有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則

乙A的度數(shù)約為（用科學(xué)計算器計算，結(jié)果精確到01。）.

13.小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得仰角為30。，再往塔的方

向前進50m至B處，測得仰角為60。，那么塔高約為m.（小蘭身高忽略

不計，取每1.732）

14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為1,則它的底角等于.

15.如圖，已知RQABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=-l,貝ljAC二_______

5

A

BDC

16.如圖，4ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA二

17.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾

何圖形，已知BC=BD=15cm,乙CBD=40。，則點B至ijCD的距離為cm（參

考數(shù)據(jù)sir20°=0.342,cos20°?0.940,sin40°?0.643,cos40°?0.766,結(jié)果精

確到0.1cm,可用科學(xué)計算器）.

18.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60°,4B=4D=90°,BC=6,CD=9,則

AB=

BC

三、解答題

19.計算下列各題：

(1)V2(2cos450-sin60°)+恒;

4

⑵(-2)°-3tan30°+lV3-2|.

20.在數(shù)學(xué)活動課上，九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測量校園內(nèi)一棵大

樹（如圖）的高度，設(shè)計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：

⑴在大樹前的平地上選擇一點A,測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；

⑵在點A和大樹之間選擇一點B（A,B,D在同一直線上），測得由點B看大樹

頂端C的仰角恰好為45°；

⑶量出A,B兩點間的距離為4.5米.

請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：

sin35°?0.57,cos35°?0.82,tan35°?0.70)

21.每年的5月15日是“世界助殘日”，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面

1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，

輪椅行走斜坡的坡角不得超過9。，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8

米（斜坡不能修在人行道上），問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：

sin9°=0.1564,cos90=0.9877,tan90=0.1584)

一一--------米

8米

22.如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑

物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進了100m,此時自B處測

得建筑物頂部的仰角是45。.已知測角儀的高度是1.5m,請你計算出該建筑物的

高度.（取加=1.732,結(jié)果精確到1m）

23.已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為30。的斜

角前進400米處到B處（即/BAC=30。，AB=400米）,測得D的仰角為60。,

求山的高度CD.

24.一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正弦值為

0.6,現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達

到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

25.如圖，已知RtZ^ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點A作

AE1CD,AE分別與CD、CB相交于點H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

(2)如果CD=V5,求BE的值.

26.如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船

c的求救信號.已知A、B兩船相距100(V3+3)海里，船C在船A的北偏東60°

方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D,測得船C正好在觀測

點D的南偏東75。方向上.

⑴分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD(如果運算結(jié)果有根號，請保

留根號).

⑵已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁若巡邏船A沿直線AC去營救船C,

在去營救的途中有無觸暗礁危險？(參考數(shù)據(jù)：&=1.41,V3-1.73)

N

參考答案與試題解析

1.計算：cos245°+sin2450=()

A.1B.1C.1D.返

242

【考點】T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】選擇題

【分析】首先根據(jù)cos4根二sin45°=噂,分別求出3^45。、勺吊45。的值是多少;

然后把它們求和，求出8$245。+。吊45。的值是多少即可.

【解答】解：?.?煙45?！?5。二返，

2

cos245°+sin245°

=（喙）\（孚）2

=W

=1.

故選B.

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)

鍵是要明確：（1）30。、45。、60。角的各種三角函數(shù)值；（2）一個角正弦的平方

加余弦的平方等于1.

2.在ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）

A.都擴大兩倍B,都縮小兩倍C.不變D.都擴大四倍

【考點】T1:銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴大后的三角形與原三角形

相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答.

【解答】解：二?各邊的長度都擴大兩倍，

擴大后的三角形與Rt^ABC相似，

?二銳角A的各三角函數(shù)值都不變.

故選C.

【點評】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關(guān),

與三角形中所對應(yīng)的邊的長度無關(guān)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在RtaABC中，4C二Rt乙，a、b、c分別是4A,ZB,4C的對邊,

下列結(jié)論正確的是（）

B

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

【考點】T1:銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：A、在Rt^ABC中，乙090。，

sinA=—,csinA二a,正確；

c

B、在Rt^ABC中，乙090°,

cosB=—,本項錯誤；

c

C、在ABC中，^C=90°,

tanA=—,btanA=a,本項錯誤；

b

D、在RtaABC中，乙090。，

tanB=2本項錯誤，

a

故選A.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.解答此題關(guān)鍵是正確理解和運用銳角

三角函數(shù)的定義

4.如圖，在4ABC中，ZBAC=90°tAB=AC,點D為邊AC的中點，DE1BC

于點E,連接BD,則tan乙DBC的值為（）

【考點】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【專題】選擇題

【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=V2AC,DE二EC二*DC.然

后通過解直角4DBE來求tan/DBC的值.

【解答】解：二,在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,

/.AABC=AC=45°,BC=V2AC.

又???點D為邊AC的中點，

??.AD=DC口AC.

2

???DE_LBC于點E,

ZCDE=ZC=45°,

「.DE二EC二返DC二返A(chǔ)C.

24

亞AC

tan乙DBC=—=---------7=—=—

BEgC與C3

故選A.

E

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì).通過解直角

三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值.

5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為L點A,B,C都在格點上，則乙ABC

5

【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.

【專題】選擇題

根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案.

由勾股定理，得

AC=V2.AB=2V2,BC=V10,

「.△ABC為直角三角形，

.,.tanZB=—,

AB2

故選D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù).

6.已知在RtZ\ABC中，乙090。，sinA=A貝ljtanB的值為（）

5

A.AB.9C."D.W

3544

【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義；T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

【專題】選擇題

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函

數(shù)關(guān)系式求解.

【解答】解：解法1：利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.

???在RtAABC中,乙090°,

.*.sinA=—,tanB=—^0a2+b2=c2.

a

???sinA二旦設(shè)a=3x,則c=5x,結(jié)合a?+b2=c2得b=4x.

5

「?tanB=?=我.

a3x3

解法2：利用同角、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解.

??,AsB互為余角,

**.cosB=sin(90°-B)=sinA=—.

5

X,-,sin2B+cos2B=l,

??sinB=^1_C0S2B=l

_4_

.?.tanB二皿4a

cosBA3

5

故選A.

【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的

方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

7.如圖，一個小球由地面沿著坡度i=l：2的坡面向上前進了10m,此時小球

距離地面的高度為（）

7^77777777777777777777^

A.5mB.2V5mC.4MmD.—m

3

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】選擇題

【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長.

【解答】解：???AB=10米，tanA二效二上.

AC2

?二設(shè)BC=x,AC=2x,

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2100=X2+4X2,解得X=2M,

AC=4V5,BC=2V5^.

故選B.

B

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，能從實際問題中

整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在菱形ABCD中，DE1AB,COSA=ABE=2,則tan乙DBE的值（）

5

A」B.2C.逅D.逅

225

【考點】T7：解直角三角形；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】選擇題

【分析】在直角三角形ADE中，cosA=W=杷#BE求得AD,AE.再求得

5ADAD

DE,即可得至"tan乙DBE=班.

BE

【解答】解：設(shè)菱形ABCD邊長為t.

???BE=2,

.*.AE=t-2.

cosA=—,

5

,.?—AE=—3?

AD5

?t-2-3

""T7'

**.t=5.

/.AE=5-2=3.

*<,DE=7AD2-AE2=752-32=4.

/.tanADBE=—=—=2.

BE2

故選B.

【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的

關(guān)系

9.直角三角形兩直角邊和為7,面積為6,則斜邊長為（）

A.5B.V37C.7D.V38

【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用；KQ：勾股定理.

【專題】選擇題

【分析】可設(shè)直角三角形一直角邊為X,則另一直角邊為7-X,由面積為6作為

相等關(guān)系列方程求得x的值，進而求得斜邊的長.

【解答】解：設(shè)直角三角形一直角邊為x,則另一直角邊為7-X,

根據(jù)題意得工x（7-x）=6,

2

解得x=3或x=4,

所以斜邊長為序不二5.

故選A.

【點評】可根據(jù)直角三角形的面積公式列出關(guān)于直角邊的方程，解得直角邊的長

再根據(jù)勾股定理求斜邊的長.熟練運用勾股定理和一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C,此時飛行高度

AC=1200m,從飛機上看地平面指揮臺B的俯角a=30°,則飛機A與指揮臺B

的距離為（）

力

1200??

---------°C

A.1200mB.1200V2mC.1200“mD.2400m

【考點】TA:解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】選擇題

【分析】首先根據(jù)圖示，可得/ABC二乙。二30。，然后在RtaABC中，用AC的

長度除以sin30。，求出飛機A與指揮臺B的距離為多少即可.

【解答】解：v2LABC=Za=30°,

「.AB=一A^_=1^2_=2400(m),

sin30°1

2

即飛機A與指揮臺B的距離為2400m.

故選D.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要熟練掌握，解

答此題的關(guān)鍵是要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題

加以解決.

11.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，間小鳥至少飛行10米.

【考點】KU：勾股定理的應(yīng)月.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行,

所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出.

【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB=12m,

小樹高為CD=6m,

過C點作CE_LAB于E,貝IJ四邊形EBDC是矩形,

連接AC,

AEB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),

在RtAAEC中,

AC=5y62+g2=10(m).

故小鳥至少飛行10m.

故答案為：10.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生解決

實際問題的能力.

12.如圖，有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則

4A的度數(shù)約為27.8。(用科學(xué)計算器計算，結(jié)果精確到0.1。),

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】填空題

【分析】直接利用坡度的定義求得坡角的度數(shù)即可.

【解答】解：?「tan乙A=弛二&i=0.5283,

AC5.3

ZA=27.8°,

故答案為：27.8°.

【點評】本題考查了坡度坡角的知識，解題時注意坡角的正切值等于鉛直高度與

水平寬度的比值，難度不大.

13.小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得仰角為30。，再往塔的方

向前進50m至B處，測得仰角為60°,那么塔高約為43.3m.（小蘭身高忽

略不計，取心L732）

D

ARC

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】填空題

【分析】從題意可知AB=BD二50m,至B處，測得仰角為60。，sin60°=—.

BD

求出塔高.

【解答】解：...乙DAB=30°,乙DBC二60°,

BD=AB=50m.

???DC=BD?sin600=50x返=43.3.

2

故答案為:43.3.

【點評】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形各邊之間的

聯(lián)系，從而求解.

14.等腰三角形的腰長為2,腰上的高為L則它的底角等于15?；?5。..

【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【專題】填空題

【分析】此題分兩種情況，當頂角為銳角時，利用勾股定理，AD的長，然后即

可得出乙ABD二60。，可得頂角度數(shù).同理即可求出頂角為鈍角時，底角的度數(shù).

【解答】解；如圖L4ABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為銳角，

vAD2=AB2-BD2,

.?，AD2=4-1=3,

.--AD=V3.

ZABD=60°,

???頂角為30。，底角為75。；

如圖2,AABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為鈍角

同理可得，底角為15。.

故答案為：15。或75。.

【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是

利用分類討論的思想進行分析，對頂角為銳角和頂角為鈍角時分別進行分析.

15.如圖，已知RtAABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=-l,貝I」AC=5.

5

JA

【考點】T7：解直角三角形.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題.根據(jù)角的正弦值與三角形

邊的關(guān)系，可求出AC.

【解答】解：,?,在RSABC中，cosB=-l,

5

「.sinB二旦tanB二皇坦二工.

5cosB4

???在RtAABD中AD=4,

5

在RtAABC中,

?/tanB=—,

AB

.?.AC=Wx延5.

43

【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的

關(guān)系.

16.如圖，AABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA二丑.

一5一

【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】填空題

【分析】在直角^ABD中利用勾股定理求得AD的長，然后利用正弦的定義求解.

【解答】解：在直角4ABD中，BD=1,AB=2,

AD=22=22=

貝IJ7AB+BDV2+1A^'

貝ljsinA二?二返

ADV55

故答案是：逅.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為

對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

17.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾

何圖形，已知BC=BD=15cm,ZCBD=40°,則點B至ijCD的距離為14.1cm

（參考數(shù)據(jù)sis20°=0.342,cos20°?0.940,sin40°?0.643,cos40°?0.766,結(jié)

果精確到0.1cm,可用科學(xué)計算器）.

圖1圖2

【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】填空題

【分析】作BEJ_CD于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和4CBD=40。，求出乙CBE的

度數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出BE的長.

【解答】解：如圖2,作BELCD于E,

VBC=BD,ACBD=40°,

??./CBE=20°,

在RtZXCBE中，cosZCBE二典,

BC

BE=BOcos/CBE

=15x0.940

=14.1cm.

故答案為：14.1

圖1圖2

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的

關(guān)鍵，作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).

18.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,則AB二

8V3_.

D

BC

【考點】KQ：勾股定理；K0：含30度角的直角三角形.

【專題】填空題

【分析】過點D作DELAB于點E,CFJ_DE于F,可得四邊形BCFE為矩形，根

據(jù)乙A二60。，可得出乙ADE二30°,根據(jù)乙D=90°,可求得乙CDE二60。，乙DCF二30。，

在4CDF中，根據(jù)CD=9,分別求出CF,DF的長度，然后在4ADE中，求出AE

的長度，繼而可求出AB的長度.

【解答】解：過點D作DEJLAB于點E,CF1DE于F,

則有四邊形BCFE為矩形，BC=EF,BE=CF,

?「ZA=60°,

Z.ADE=30°,

AD=90°,

乙CDE=60°,ZDCF=30°,

SACDF中，

vCD=9,

.?.CF'CD二kCF二返CD二

2222

???EF=BC=6,

「.DE=EF+DF=6+2=馬

22

貝

IJAE=DE=±73I

V32

「?AB=AE+BE=-^=873.

22

故答案為：84.

A

BC

【點評】本題考查了勾股定理的知識以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，注意

掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，難度一般.

19.計算下列各題：

（1）V2（2cos45°-sin60°）+返；

4

（2）（-2）°-3tan300+lV3-2|.

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)鬲；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解答題

【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并同類二次根式化簡得到結(jié)

果；

⑵原式第一項利用零指數(shù)哥法則計算，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，

最后一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：（D原式-加、（2乂返-返）+2/1-2-返+逅-2；

22422

⑵原式二1-3x?2-擇3-2V3.

3

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，涉及的知識有：零指數(shù)、負指數(shù)累，特殊角的

三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.在數(shù)學(xué)活動課上，九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測量校園內(nèi)一棵大

樹（如圖）的高度，設(shè)計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：

⑴在大樹前的平地上選擇一點A,測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；

⑵在點A和大樹之間選擇一點B（A,B,D在同一直線上），測得由點B看大樹

頂端C的仰角恰好為45°；

⑶量出A,B兩點間的距離為4.5米.

請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：

sin35°?0.57,cos35°?0.82,tan35°?0.70）

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】首先分析圖形：本題涉及到兩個直角三角形4DBC、AADC,應(yīng)利用其

公共邊CD構(gòu)造等量關(guān)系，借助AB=AD-DB=4.5構(gòu)造方程關(guān)系式，進而可求出

答案.

【解答】解：設(shè)CD=x米；

?/乙DBO45。，

DB=CD=x,AD=x+4.5；

在RtZ\ACD中，tan乙A二型，

AD

/.tan35°=—-—;

x+4.5

解得：x=10.5；

所以大樹的高為10.5米.

解法2:在RtAACD中，tan乙A二四，「.AD二一；

ADtan35

在RQBCD中，tan乙CBD=型，/.BD=—；

BDtan450

而AD-BD=4.5,

即_嗎------^_=4.5,

tan35tan45

解得：CD=10.5；

所以大樹的高為10.5米.

【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角

形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

21.每年的5月15日是”世界助殘日"，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面

1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，

輪椅行走斜坡的坡角不得超過9。，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8

米（斜坡不能修在人行道上），問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：

sin9°=0.1564,cos90=0.9877,tan90=0.1584）

8米

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】先求得拆除臺階換成斜坡后的坡角，與9。比較，再判斷是否能把樓梯

換成斜坡.

【解答】解：由于臺階共高出地面1.2米，商場門前的人行道距門前垂直距離為

8米，

則拆除臺階換成斜坡后的坡角的正切值為tana=上2=0.15<ran9°,

因此，此商場能把臺階換成斜坡.

【點評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力.

22.如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑

物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進了100m,此時自B處測

得建筑物頂部的仰角是45。.已知測角儀的高度是1.5m,請你計算出該建筑物的

高度.(取加=1.732,結(jié)果精確到1m)

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】根據(jù)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=(x+100)m,再利用解直角

得出x的值，即可得出CD的長.

【解答】解：設(shè)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=(x+lCO)m.

在RtZXAEC中，tan乙CAE二烏，

AE

即tan30°=一一，

x+100

.x_V3

-x+100=3'

3x=V3(x+100),

解得x=50+50加工136.6,

「?CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1*138(m).

答：該建筑物的高度約為138m.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)tan乙CAE二金得出x的值

是解決問題的關(guān)鍵.

23.已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為30。的斜

角前進400米處到B處（即/BAC=30。，AB=400米），測得D的仰角為60。,

求山的高度CD.

【考點】TA:解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】在RQAFB中，根據(jù)AB=400米，乙BAF=30°,求出BF、AF的長度,

然后證明四邊形BFCE是矩形，設(shè)BE二x米，在Rt^BDE中，用x表示出DE的長

度，然后根據(jù)AC=DC,代入求出x的值，繼而可求得山高.

【解答】解：過B作BFJLAC于F,

在RtAAFB中，

???AB=400米，^BAF=30°,

BF'AB'X400=200（米），

22

AF=AB*cos30°=200V3（米），

vBF1AC,BE1DC,

???四邊形BFCE是矩形，

EC=BF=200米,

設(shè)BE=x米，則FC=x米,

在RtADBE中,

ZDBE=60°,

/.DE=tan600-BE=V3x（米），

vZDAC=45°,ZC=90°,

AADC=45°,

???AC=DC,

?/AC=AF+FC=（200加+x）米，

DC=DE+EO（V3X+200）米，

解得：x=200,

「.DC=DE+EC=200V^200（米）.

答：山的高度BC約為（200V3+200）米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角

三角形，利用三角函數(shù)的知識解直角三角形，難度一般.

24.一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角。的正弦值為

0.6,現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達

到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

圖1圖2

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】由已知可求EC=40m.在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的

前提下進行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD面積二梯形ABCQ面積，可

再求出EC尸80(m),即可求出改建后的坡度i=B1E：ECk20：80=1：4.

【解答】解：由圖可知：BE1DC,BE=30m,sina=0.6,

在RtABEC中，

?/sina=—,

BC

...BC=BE=3°=50行)，

sinQ.0.6

在RTABEC中EC2=BC2-BE2,BE=30m,

由勾股定理得,EC=40m.

在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造，使坡度變

小，

則梯形ABCD面積二梯形AiBiCiD面積，

Alx(20+60)x30=lx20(20+20+ECO

22

解得EC尸80(m),

???改建后的坡度i=B1E：EC尸20:80=1：4.

【點評】此題主要是運用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實際生活中的問題.分

析梯形ABCD面積二梯形面積，是解題的關(guān)鍵；還要熟悉坡度公式.

25.如圖，已知Rt^ABC中，乙ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過點A作

AE1CD,AE分別與CD、CB相交于點H、E,AH=2cH.

⑴求sinB的值；

⑵如果CD=V5,求BE的值.

【考點】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜邊上的中線.

【專題】解答題

【分析】⑴根據(jù)乙ACB=90。，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD二BD,則4B二

乙BCD,再由AE_LCD,可證明乙B二乙CAH,由AH二2CH,可得出CH：AC=1：

V5,即可得出sinB的值；

⑵根據(jù)SinB的值，可得出AC：AB=1：泥，再由AB=2的，得AO2,貝IJCE=1,

從而得出BE.

【解劄解：⑴,.2ACB=90。,CD是斜邊AB上的中線,

CD=BD,

???AB=ZBCD,

?/AEICD,

4CAH+/ACH=90。，

又乙ACB=90°

「?乙BCD+乙ACH=90°

乙B二4BCD二4CAH,即乙B二乙CAH,

vAH=2CHl

」?由勾股定理得AC二道CH,

」.CH：AC=1：V5,

「?sinB二乂5;

5

⑵「sinB二返，

5

???AC：AB=1：V5.

/.AC=2.

4CAH二4B,

sinZ.CAH=sinB二亞^3，

5V5

設(shè)CE=x(x>0),則AE=V^x,MX2+22=(倔)2

CE=x=l,AC=2,

在Rt^ABC中，AC2+BC2=AB2,

VAB=2CD=2V5,

BCE,

ABE=BC-CE=3.

【點評】本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的

應(yīng)用，難度不大.

26.如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船

c的求救信號.已知A、B兩船相距100（加+3）海里，船C在船A的北偏東60°

方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D,測得船C正好在觀測

點D的南偏東75。方向上.

⑴分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保

留根號）.

⑵已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁若巡邏船A沿直線AC去營救船C,

在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：加=1.41,5=1.73）

【考點】TB：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【專題】解答題

【分析】（1）作CE_LAB于點E,貝IJ乙ABC=45°,乙BAC=60°,設(shè)AE二x海里，在

RtAAEC中，CE=AE*tan60°,在RtABCE中，BE=CE=V3x,SAE+BE=x+V3x=100

（3+神）求出x的值，再根據(jù)AC=2x得出AC的值，在4ACD中，由乙DAC=60°,

ZADC=75°WH1^ACD=45ODDF1ACT*F,設(shè)AF=y,則DF=CF=V3y,

根據(jù)AC=y+無y=200加求出v的值，故可得出AD的長，進而得出結(jié)論；

⑵根據(jù)⑴中的結(jié)論得出DF的長，再與200相比較即可.

【解答】解：⑴作CE_LAB于點E,則乙ABC二45。，乙BAC二60。，設(shè)AE=x海里,

?.?在RtZ\AEC中，CE=AE*tan60°=V3x,

在RQBCE中，BE=CE二小，

??.AE+BE=x+心二100（3+V3）,解得x=100“，

.?.AC=2x=200V3.

SAACD中，

vrDAC=60°,ZADC=75°,

AACD=45°.

過點D作DF_LAC于點F,設(shè)AF=y,則DF=CF二加y,

??AC=y+V3y=2OOV3i解得y=100(3-V3)1

「?AD=2y=200(3-5).

答:A與C之間的距離AC為200%海里,A與D之間的距離AD為200(3-立)

海里；

(2)二,由(1)可知，DF=V3AF=V3><100(3-V3)^219.

?/219>200,

「?巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中無觸暗礁危險.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題,根據(jù)題意作出輔助線,

構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

單元測試（一）

一、選擇題

1.二次函數(shù)尸ax?+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a>0B.當-寸，y>0

C.c<0D.當時，y隨x的增大而增大

2.二次函數(shù)尸ax?+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

3.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aKO）的圖象經(jīng)過點（xltC）、（2,0）,且-2

<Xi<-1,與y軸正半軸的交點在（0,2）的下方，則下列結(jié)論：①abc<0；

②b?>4ac；③2a+b+l<0；④2a+c>0,則其中正確結(jié)論的序號是（）

A.（D?B.（2X3）c.D.?（2X3）@

4.已知二次函數(shù)y二ax，bx+c（a#0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=O的一個根

C.a+b+c=O

D.當時，y隨x的增大而減小

5在反比例函數(shù)y=皿中，當x>0時,y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)y=mx^+mx

x

下列結(jié)論正確的是（）

B.b2-4ac<0

C.當-l<x<3時，y>0D.-工二1

2a

7.已知二次函數(shù)尸ax?+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，則下列五個結(jié)論中：①

a+b+c<0;(2)a-b+c>0；③2a-b<0；④abc<0；⑤4a+2b+c>0,錯誤的個數(shù)

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,其頂點的坐標為（春,

1）,下列結(jié)論：①c>0；②b?-4ac>0；③a+b=O;@4ac-b2>4a,其中錯誤的

是（）

A.①B.②C.③D.?

9.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別為（-1.0),(3,0),對

于下列結(jié)論:?2a+b=0;②abc<0;③a+b+c>0;④當x>1時，y隨x的增大

而減??；其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aX0）的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是（）

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.-^-<Q

2a

11.如圖是二次函數(shù)y=ax'+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=-l,且過點（-

3,0）.下列說法：

①abc<0;

②2a-b=0；

③4a+2b+c<0；

④若（-5,yj,停y2）是拋物線上兩點，則y1>y2.

其中說法正確的是（）

A.?2）B.（2X3）c.（iW）D.（2W

12.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a^0）的圖象如圖所示，則下列選項正確的是（）

A.a>0B.c>0C.ac>0D.be<0

13.函數(shù)y=x2+bx+c與y=x的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：

?b2-4c>0；②b+c+l=0；③3b+c+6=0；④當1<x<3時，x2+(b-1)x+c<0.

其中正確的個數(shù)為（）

y

14.拋物線尸ax?+bx+c的頂點為D（-1.2）,與x軸的一個交點A在點（-3,

0）和（-2,0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：

?b2-4ac<0；②a+b+c<0；③c-a二2；④方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實

數(shù)根.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

15.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象如圖所示.下列結(jié)論:

①abc>0；②2a-b<0；③4a-2b+c<0；@（a+c）2<b2

其中正確的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

16.已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y=a(x-h)?+k在坐標平面上的圖形通

過(0.5)、(10,8)兩點.若a<0,0<h<10,則h之值可能為下列何者？()

A.1B.3C.5D.7

二、填空題

17.如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，給出下列說法：

①ab>0；

2

②方程ax+bx+c=0的根為;<i=-1,X2=3；

③a+b+c>0；

④當x>l時，隨x值的增大而增大.

其中正確的說法有.

18.拋物線y=ax?+bx+c(a#0)經(jīng)過點(1,2)和(-1,-6)兩點，則a+c=.

19.如圖，P是拋物線y=-x?+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和v

軸引垂線，垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長的最大值為.

20.二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經(jīng)過

第

_________象限.

三、解答題

21.如圖，拋物線y=a(x-1)44與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,過點

C作CD〃x軸交拋物線的對稱軸于點D,連接BD,已知點A的坐標