電磁學(xué)第二版答案解析

第一章靜電場

§1.1靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律

思考題：

1、給你兩個金屬球，裝在可以搬動的絕緣支架上，試指出使這兩個球帶等址異號電荷的

方向。你可以用絲綢摩擦過的玻璃棒，但不使它和兩球接觸。你所用的方法是否要求兩球

大小相等？

答：先使兩球接地使它們大帶電，再絕緣后讓兩球接觸，將用絲綢摩擦后帶正電的玻璃棒

靠近金屬球一側(cè)時，由于靜電感應(yīng)，靠近玻璃棒的球感應(yīng)負(fù)電荷，較遠(yuǎn)的球感應(yīng)等量的正

電荷。然后兩球分開，再移去玻璃棒，兩金屬球分別帶等量異號電荷。本方法不要求兩球

大小相等。因為它們本來大帶電，根據(jù)電荷守恒定律，由于靜電感應(yīng)而帶電時，無論兩球

大小是否相等，其總電荷仍應(yīng)為零，故所帶電量必定等量異號。

2、帶電棒吸引干燥軟木屑，木屑接觸到棒以后，往往又劇烈地跳離此棒。試解釋之。

答：在帶電棒的非均勻電場中，木屑中的電偶極子極化出現(xiàn)束縛電荷，故受帶電棒吸引。

但接觸棒后往往帶上同種目荷而相互排斥。

3、用手握銅棒與絲綢摩擦，銅棒不能帶電。戴上橡皮手套，握著銅棒和絲綢摩擦，銅棒

就會帶電。為什么兩種情況有不同結(jié)果？

答：人體是導(dǎo)體。當(dāng)手直接握銅棒時，摩擦過程中產(chǎn)牛的中荷通過人體流入大地，不能保

持電荷。戴上橡皮手套，銅棒與人手絕緣，電荷不會流走，所以銅棒帶電。

7、兩個點電荷帶電2q和q,相距1,第三個點電荷放在何處所受的合力為零？

解：設(shè)所放的點電荷電量為Q。若Q與q同號，則三者互相排斥，不可能達(dá)到平衡；故Q

只能與q異號。當(dāng)Q在2q和q聯(lián)線之外的任何地方，也不可能達(dá)到平衡。由此可知，只

有Q與q異號，且處于兩點荷之間的聯(lián)線上，才有可能達(dá)到平衡。設(shè)Q到q的距離為X.

8、三個相同的點電荷放置在等邊三角形的各頂點上。在此三角形的中心應(yīng)放置怎樣的電

荷，才能使作用在每一點旦荷上的合力為零？

解：設(shè)所放電荷為Q,Q應(yīng)與頂點上電荷q異號。中心Q所受合力總是為零，只需考慮q受

力平衡。

平衡與三角形邊長無關(guān)，是不穩(wěn)定平衡。

9、電量都是Q的兩個點電荷相距為1,聯(lián)線中點為6有另一點電荷q,在聯(lián)線的中垂面上

距0為r處。(1)求4所受的力；(2)若q開始時是靜止的，然后讓它自己運(yùn)動，它將如何

運(yùn)動？分別就q與Q同號和異號兩種情況加以討論。

解：

(1)

(2)q與Q同號時，F(xiàn)背離0點，q將沿兩Q的中垂線加速地趨向無窮遠(yuǎn)處。

q與Q異號時，F(xiàn)指向0點，q將以0為中心作周期性振動，振幅為r?

v討論》：設(shè)q是質(zhì)量為m的粒子，粒子的加速度為

因此，在rvvl和q與Q異號的情況下，m的運(yùn)動近似于簡諧振動。

10'兩小球質(zhì)量都是m,都用長為1的細(xì)線掛在同一點，若它們帶上相同的電童，平衡

時兩線夾角為20。設(shè)小球的半徑都可以略去不計，求每個小球上的電量。

解：小球靜止時，作用其上的庫侖力和重力在垂直于懸線方向上的分量必定相等。

§1.2電場電場強(qiáng)度

思考題：

I'在地球表面上通常有一豎直方向的電場，電子在此電場中受到一個向上的力，電場強(qiáng)

度的方向朝上還是朝下？

答：電子受力方向與電場強(qiáng)度方向相反，因此電場強(qiáng)度方向朝下。

2、在一個帶正電的大導(dǎo)體附近P點放置一個試探點電荷qO（q0>0）,實際測得它受刀F。

若考慮到電荷量qO不是足夠小的，則F/qO比P點的場強(qiáng)E大還是小？若大導(dǎo)體帶負(fù)

電，情況如何？

答：qO不是足夠小時，會彩響大導(dǎo)體球上電荷的分布。由于靜電感應(yīng)，大導(dǎo)體球上的正電

荷受到排斥而遠(yuǎn)離P點，而F/qO是導(dǎo)體球上電荷重新允年后測得的P點場強(qiáng)，因此比P點

原來的場強(qiáng)小。若大導(dǎo)體球帶負(fù)電，情況相反，負(fù)電荷受吸引而靠近P點，P點場強(qiáng)增

大。

3、兩個點電荷相距一定距離，已知在這兩點電荷連線中點處電場強(qiáng)度為零。你對這兩個

點電荷的電荷量和符號可作什么結(jié)論？

答：兩電荷電量相等，符號相反。

4、一半徑為R的圓環(huán)，其上均勻帶電，圓環(huán)中心的電場強(qiáng)度如何？其軸線上場強(qiáng)方向如

何？

答：由對稱性可知，圓環(huán)白心處電場強(qiáng)度為零。軸線上場強(qiáng)方向沿軸線。當(dāng)帶電為正時，

沿軸線向外；當(dāng)帶電為負(fù)時，沿軸線向內(nèi)，

計算題：：

3、在早期（1911年）的一連串實驗中，密立根在不同時刻觀察單個油滴上呈現(xiàn)的電荷,

其測量結(jié)果（絕對值）如二：

6.568X10-19庫侖13.13X10-19庫侖19.71X10/9庫侖

8?204X10-19庫侖16.48X10-19庫侖22.89X10-19庫侖

11.50X10-19庫侖18.08X10-19庫侖26.13X10-19庫侖

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以推得基本電荷e的數(shù)值為多少？

解：油滴所帶電荷為基本口荷的整數(shù)倍。則各實驗數(shù)據(jù)可表示為kic。取各項之差點兒

5、兩個點電荷，ql=+8微庫沿,q2=-16微庫侖（1微庫侖=10?6庫侖），相距20厘米。求

離它們都是20厘米處的電場強(qiáng)度。

解：

與兩電荷相距20cm的點在一個圓周上，各點E大小相等，方向在圓錐在上。

7、把電偶極矩P二ql的電偶極子放在點電荷Q的電場內(nèi),P的中心。到Q的距離為

r（r?l）,分別求：（1）P//QO和（2）P_LQ0時偶極子所受的力F和力矩L。

解：⑴

F的作用線過軸心0,力矩為零

（2）

:電細(xì)棒（1）在通過自身端點的垂直面上和（2）在自身的延長線上的場強(qiáng)分布，設(shè)棒長

為21,帶電總量為q?

解：（1）一端的垂直面上任一點A處

<2）延長線上任一點B處11、兩條平行的無限長宜均勻帶電線，相距為瓦電荷線密度分

別為十He.（1）求這兩線構(gòu)成的平面上仟一點（設(shè)這點到其中一線的垂直距離為Q的場

強(qiáng)；（2）求兩線單位長度間的相互吸引力。

解：（1）根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，任一點場強(qiáng)為兩無限長直帶電線產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和

12、如圖所示，一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷總量為q。（1）求軸線上離環(huán)中心

。為x處的場強(qiáng)E；（2）畫出E-x曲線；（3）軸線上什么地方場強(qiáng)最大？其值是多少？

解：（1）由對稱性可知，所求場強(qiáng)E的方向平行于圓環(huán)的軸線

2）由場強(qiáng)表達(dá)式得到E?X曲線如圖所示

（3）求極大值：

13、半徑為R的圓面上均勻帶電，電荷面密度為oe,（1）求軸線上離圓心的坐標(biāo)為x

處的場強(qiáng)；6）在保持證不變的情況下，當(dāng)R-0和R-8時結(jié)果各如何？（3）在保持總電

荷Q”R2oe不變的情況下，當(dāng)R-0和R-oo時結(jié)果各如何？

解：（I）由對稱性可知，場強(qiáng)E沿軸線方向

利用上題結(jié)果

（2）保持。e不變時，

（3）保持總電量不變忙，

14、一均勻帶電的正方形細(xì)框，邊長為1,總電量為q，求這正方形軸線上離中心為x

處的場強(qiáng)。

解：根據(jù)對稱性，所求場強(qiáng)沿正方形的軸線方向

對于一段長為1的均勻帶電直線，在中垂面上離中點為a處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

正方形四邊在考察點產(chǎn)生的場強(qiáng)為

15、證明帶電粒子在均勻外電場中運(yùn)動時，它的軌跡一般是拋物線.這拋物線在什么

情況下退化為直線？

解：（I）設(shè)帶電粒子的初速度方向與電場方向夾角為E,其運(yùn)動方程為

（2）當(dāng)E為均勻電場且粒子的初速度為零時，或初速度平行于電場方向時，初速度沒有

垂直于場強(qiáng)方向的分量，拋物線退化為宜線。

6、如醫(yī)所示，示波管偏轉(zhuǎn)電極的長度l=L5cm,兩極間電場是均勻的，

E=1.2X104V/m（E方向垂直于管軸），一個電子以初速度vO=2.6X107ni/s沿管軸注入。已

知電子質(zhì)量m=9.1X10-31kg,電荷為e=-l.6X10-19.C.

（1）求電子經(jīng)過電極后所發(fā)生的偏轉(zhuǎn)；

（2）若可以認(rèn)為一出偏轉(zhuǎn)電極的區(qū)域后，電場立即為零。設(shè)偏轉(zhuǎn)電極的邊緣到熒光屏

的距離D=10厘米，求電子打在熒光屏上產(chǎn)生的光點偏離中心O的距離。

解：（1）電子的運(yùn)動方程得

（2）

§13高斯定理

思考題：

1'一般地說，電力線代表點電荷在電場中運(yùn)動的軌跡嗎？為什么？

答：一般情況下，電力線式代表點電荷在電場中運(yùn)動的軌跡。因為電力線一?般是曲線，若

電荷沿電力線作曲線運(yùn)動'應(yīng)有法向力存在；但電力線上各點場強(qiáng)只沿切線方向，運(yùn)動電

荷必定偏離彎曲的電力線。僅當(dāng)電力線是直線，且不考慮重力影響時，初速度為零的點電

荷才能沿著電力線運(yùn)動。若考慮重力影響時，靜止的點電荷只能沿豎直方向電力線運(yùn)動。

2、空間里的電力線為什么不相交？

答：電力線上任一點的切線方向即為該點場強(qiáng)方向。如果空間某點有幾條電力線相交，過交

點對每條電力線都可作一條切線，則交點處的場強(qiáng)方向不唯一，這與電場中任一點場強(qiáng)有

確定方向相矛盾。

3、一個點電荷q放在球形高斯面的中心處，試問在下列情況下，穿過這高斯面的電通量

是否改變？

(1)如果第二個點電荷放在高斯球面外附近；

(2)如果第二個點電荷放在高斯球面內(nèi)；

(3)如果將原來的點電荷移離了高斯球面的球心，但仍在高斯球面內(nèi)。

答：由于穿過高斯面的電通童僅與其內(nèi)電量的代數(shù)和有關(guān)，與面內(nèi)電荷的分布及面外電荷

無關(guān)，所以

⑴；(2);(3)

4、(1)如果上題中高斯球面被一個體積減小一半的立方體表面所代替，而點電荷在立方體

的中心，則穿過該高斯面的電通量如何變化？(2)通過這立方體天個表面之一的電通量是

多少？

答：(1)立方形高斯面內(nèi)電荷不變，因此電通量不變；

(2)通過立方體六個表面之一的電通量為總通量的1/6。即

5、附圖所示，在一個絕緣不帶電的導(dǎo)體球的周圍作一同心高斯面S。試定性地回答，在將

一正點荷q移至導(dǎo)體表面的過程中，

(1)A點的場強(qiáng)大小和方向怎樣變化？

(2)B點的場強(qiáng)大小和方向怎樣變化？

(3)通過S面的電通量如何變化？

答：由于電荷q的作用'導(dǎo)體上靠近A點的球面感應(yīng)電荷?遠(yuǎn)囹八點的球面感應(yīng)等量

的+q，，其分布與過電荷q所在點和球心O的聯(lián)線成軸對稱，故土q，在A、B兩點的場強(qiáng)

E沿AOB方向。

(1)E=EO+EZ,q移至1JA點前，E。和E,同向，隨著q的移近不斷增大，總場強(qiáng)EA也

不斷增大。q移過A點后，E0反向，且E0>E,,EA方向與前相反。隨著q的遠(yuǎn)離A點，E0

不斷減小，土q，和E,增大，但因E,始終小于E0,所以EA不斷減小。

(2)由于q及土”在B點的場強(qiáng)始終同向，且隨著q移近導(dǎo)體球，二者都增大，所以

EB不斷增大。

(3)q在0面外時，面內(nèi)電荷代數(shù)和為零，故0=0：q在S面內(nèi)時，0>=q/e0：當(dāng)q在S

面上時，它已不能視為點電荷，因高斯面是無厚度的幾何面，而實際電荷總有一定大小，此

時0>=Aq/e0,Aq為帶電體處于S面內(nèi)的那部分電量。

6、有一個球形的橡皮氣球，電荷均勻分布在表面上，在此氣球被吹大的過程中，下列各處

的場強(qiáng)怎樣變化？

(1)始終在氣球內(nèi)部的點；(2)始終在氣球外部的點；(3)被氣球表面掠過的點。

答：氣球在膨脹過程中，電荷始終均勻分布在球面上，即電荷成球?qū)ΨQ分布，故場強(qiáng)分布也

呈球?qū)ΨQ。由高斯定理可知：

始終在氣球內(nèi)部的點，E=0,且不發(fā)生變化：

始終在氣球外的點，場強(qiáng)相當(dāng)于點電荷的場強(qiáng)，也不發(fā)生變化；

被氣球表面掠過的點，當(dāng)它們位于面外時，相當(dāng)于點電荷的場強(qiáng)；當(dāng)位于面內(nèi)時，E=0,所以

場強(qiáng)發(fā)生躍變。

7、求均勻帶正電的無限大平面薄板的場強(qiáng)時，高斯面為什么取成兩底面與帶電面平行且

對稱的柱體的形狀？具體地說，

（I）為什么柱體的兩底面要對于帶電面對稱？不對稱行不行？

（2）柱體底面是否需要是圓的？面積取多大合適？

（3）為了求距帶電平面為x處的場強(qiáng)，柱面應(yīng)取多長？

答：（1）對稱性分析可知，兩側(cè)距帶電面等遠(yuǎn)的點，場強(qiáng)大小相等，方向與帶電面垂直。

只有當(dāng)高斯面的網(wǎng)底面對衿電面對稱時，才有E1=E2_E,從而求得E。如果網(wǎng)底在不對

稱，由于不知EI和E2的關(guān)系，不能求出場強(qiáng)。若已先證明場強(qiáng)處處相等，就不必要求兩

底面ffi。

（2）底面積在運(yùn)算中被消去，所以不一定要求柱體底面是圓，面積大小也任意。

（3）求距帶電面x處的場強(qiáng)時，柱面的每一底應(yīng)距帶電面為x,柱體長為2xo同樣'若

已先證明場強(qiáng)處處相等，則柱面的長度可任取。

17、求一對帶等量異號或等量同號電荷的無限大平行平面板之間的場強(qiáng)時，能否只取

一個高斯面？

答：如果先用高斯定理求出單個無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)，再利用疊加原理，可以得到

兩個無限大均勻帶電平面間的場強(qiáng)。在這樣的計算過程中，只取了一個高斯面。

18、已知一高斯面上場強(qiáng)處處為零，在它所包圍的空間內(nèi)任一點都沒有電荷嗎？

答：不一定。高斯面上E=0,S內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，有兩種可能：一是面內(nèi)無電荷，如高斯

面取在帶電導(dǎo)體內(nèi)部；二是面內(nèi)有電荷，只是正負(fù)電荷的電量相等，如導(dǎo)體空腔內(nèi)有電荷

q時，將高斯面取在導(dǎo)體中，S包圍導(dǎo)體內(nèi)表面的情況。

19、要是庫侖定律中的指數(shù)不恰好是2（譬如為3），高斯定理是否還成立？

答：不成立。設(shè)庫侖定律中指數(shù)為2+8,

穿過以q為中心的球面上的電通量為，此時通量不僅與面內(nèi)電荷有關(guān)，還與球面半徑有

吳，高斯定理不再成立。

習(xí)題：

1'設(shè)一半徑為5厘米的圓形平面，放在場強(qiáng)為300N/C的勻強(qiáng)電場中，試計算平面法

線與場強(qiáng)的夾角。取下列數(shù)值時通過此平面的電通量。（1）0=00；（2）9=

300；（3）0=900：（4）9=1200；（5）0=1800.

解：

2、均勻電場與半徑為a的半球面的軸線平行，試月面積分計算通過此半球面的電通

量。

解：通過半球面的電通量與通過半球面在

垂直于場強(qiáng)方向上的投影面積的電通量相等。

3、如附圖所示，在半徑為R1和R2的兩個同心球面上，分別均勻地分布著電荷Q

1和Q2,求：

（1）I、u、m三個區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布；

（2）若Q1=-Q2,情況如何？畫出此情形的E-r曲線。

解：（I）應(yīng)用高斯定理可求得三個區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)為

E-r曲線（rvRI）;（Rl<r<R2）

（r>R2）

(2)若QI=-Q2,E1=E3=O,

E-r曲線如圖所示。

4、根據(jù)量子理論，氫原子中心是一個帶正電子qe的原子核(可以看成是點電荷)，

外面是帶負(fù)電的電子云。在正常狀態(tài)(核外電子處在S態(tài))下，電子云的電荷密度分布是

球?qū)ΨQ的：

式中aO為一常數(shù)(它相當(dāng)于經(jīng)典原子模型中s電子圓形軌道的半徑，稱為玻爾半

徑)。求原子內(nèi)電場的分布。

解：電子云是球?qū)ΨQ分布，核外電子的總電荷量為

可見核外電荷的總電荷量等于電子的電荷量。

應(yīng)用高斯定理：核外電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為

原子核與核外電荷產(chǎn)生的總場強(qiáng)為

5、實驗表明：在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場，E垂直于地面向下，大小約為100

N/C：在離地面1.5千米高的地方，E也是垂直地面向下的，大小約為25N/Co

(1)試計算從地面到此高度大氣中電荷的平均密度；

(2)如果地球卜.的電荷全部均勻分布在表面，求地面上電荷的面密度。

解：(1)以地心為心作球形高斯面，恰好包住地面，由對稱性和高斯定理得

(2)以地球表面作高斯面

6、半徑為R的無窮長直圓筒面上均勻帶電，沿軸線單位長度的電量為人-求場強(qiáng)分

布，并畫出E-r曲線。

解：應(yīng)用高斯定理，求得場強(qiáng)分布為

E=0r<R

r>R

E-r曲線如圖所示。

7、一對無限長的共軸直圓筒，半徑分別為R1和R2,筒面上都均勻帶電。沿軸線單位

長度的電量分別為人1和X2,

(I)求各區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布；

(2)若X1=-X2,情況如何？畫出此情形的E-r曲線。

解：(1)由高斯定理，求得場強(qiáng)分布為

r<RIEI=0

Rl<r<R2

r>R2

(2)若入1二一入2,E1=E3=0,E2不變。此情形的E-r曲線如圖所示。

8、半徑為R的無限長直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為R求場強(qiáng)分布，并畫出

E?r曲線。

解：應(yīng)用高斯定理，求得場強(qiáng)分布為

圓柱體內(nèi)

圓柱體外

E—r曲線如圖所示

9、設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布可用下式表示，式中r是到

軸線的距離，P0是軸線上的密度值，a是常數(shù)，求場強(qiáng)的分布。

解：應(yīng)用高斯定理，作同軸圓柱形閉合柱面為高斯面。

E方向沿矢徑r方向。

10、兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為土。，求各區(qū)域的場強(qiáng)分布。

解：無限大均勻帶電平面所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

根據(jù)場強(qiáng)的疊加原理，各區(qū)域場強(qiáng)分別為

可見兩面外電場強(qiáng)度為零'兩面間電場是均勻電場。平行板電容器充電后，略去邊緣效應(yīng)，

其電場就是這樣的分布。

11>兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度都是。，求各區(qū)域的場強(qiáng)分布。

解：與上.題同理，無限大均勻帶由平面所產(chǎn)牛的電場強(qiáng)摩為

應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理，場強(qiáng)在各區(qū)域的分布為

可見兩面間電場強(qiáng)度為零'兩面外是均勻電場，電場強(qiáng)度大小相等，方向相反。

13、一厚度為d的無限大平板，平板體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為P,求板內(nèi)、板外

場強(qiáng)的分布。

解：根據(jù)對稱性，板內(nèi)外的電場強(qiáng)度方向均垂直于板面，并對中心對稱。

應(yīng)用高斯定理可求得：

板內(nèi)(rvd/2)

板外(r>d/2)

15、如果在上題中電荷的體分布為

結(jié)外p(x)=0

?xnWxWxpp(x)=-eax(線性緩變結(jié)模型)

這里a是常數(shù)，xn=xp(為什么？)，統(tǒng)一用xm/2表示。試證明電場分布為

并畫出P和E隨x變化的曲線。

解：正負(fù)電荷代數(shù)和仍為零，P?n結(jié)外E=0

作高斯面

P和E隨x變化的掙線如圖所示。

§1.4電位及其梯度

思考題：

1、假如電場力的功與路徑有欠，定義電位差的公式還有沒有意義？從原則上說，這

時還能不能引入電位差、可位的概念？

答：如果電場力的功與路徑有關(guān)，積分在未指明積分路徑以前就沒有意義，路徑不同，積

分結(jié)果也不同，相同的位置，可以有無限多取值，所以就沒有確定的意義，即不能根據(jù)它

引入電位、電位差的概念來描寫電場的性質(zhì)。

2、⑴在附圖a所示的情形里，把一個正電荷從P點移動到Q,電場力的功APQ是正

還量負(fù)？它的電位能是增加還是減少？P、Q兩點的電位哪里高？(2)若移動負(fù)電荷，情況

怎樣？⑶若電力線的方向如附圖b所示，情況怎樣？

答：(1)正電荷在電場中任一點受電場力F=qE,方向與該點E方向相同，在PQ路徑上取任

一微元，dA>0

P「Q,電場力的功APQ>0,

APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>O,Af以電位能減少，

q>o,A>0,所以UP>UQ

(2)負(fù)電荷受力與電場方向相反,P?Q,電場力的功APQvO,電位能增加,但仍有UP>UQ(3)

由于場強(qiáng)方向與前述相反，則所有結(jié)論與(1)(2)相反。

3、電場中兩點電位的高低是否與試探電荷的正負(fù)有關(guān)?電位差的數(shù)值是否與試探電

荷的電量有關(guān)？

答：電位高低是電場本身的性質(zhì)，與試探電荷無關(guān)。電位差的數(shù)值也與試探電荷的電量無

關(guān)。

4、沿著電力線移動負(fù)試探電荷時，它的電位能是增加還是減少？

答：沿著電力線移動負(fù)試探電荷時，若dl與E同向，電場力作負(fù)功，電位能增加；反之電

位能減少。

5、說明電場中各處的電位永遠(yuǎn)逆著電力線方向升高。

答：在任何惰況下，電力線的方向總是正電荷所受電場力的方向，將單位正電荷逆著電力線

方向由一點移動到另一點時，必須外力克服電場力作功，電位能增加。電場中某點的電位，

在數(shù)值上等于單位正電荷在該點所具有的電位能，因此，電位永遠(yuǎn)逆著電力線方向升高。

6、(1)將初速度為零的電子放在電場中時，在電場力作用下，這電子是向電場中高電

位處跑還是向低電位處跑。為什么？(2)說明無論對正負(fù)電荷來說，僅在電場力作用下移

動時，電荷總是從電位能高處移向電位能低處。

答：(I)電子帶負(fù)電，被電場加速，逆著電力線方向運(yùn)動，而電場中各點的電位永遠(yuǎn)逆著電

力線方向升高“電子向高目位處移動。

(2)若電子初速度為零，無論正負(fù)電荷，單在電場力作用下移動，電場力方向與位移方向總

是一致的，電場力作正功'電位能減少，所以電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。

7、可否規(guī)定地球的電位為+100次，而不規(guī)定它為零？這樣規(guī)定后，對測黃電位、電位

差的數(shù)值有什么影響？

答：可以。因為電位零點的選擇是任意的，假如選取地球的電位是100V而不是0V,測量的

電位等于以地為零電位的數(shù)值加上100V,而對電位差無影響。

8、若甲、乙兩導(dǎo)體都帶負(fù)電，但甲導(dǎo)體比乙導(dǎo)體電位高，當(dāng)用細(xì)導(dǎo)線把二者連接起來

后，試分析電荷流動的情況。

答：在電場力作用下，電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。負(fù)電荷由乙流向甲，直至

電位相等。

9、在技術(shù)工作中有時把整機(jī)機(jī)殼作為電位零點。若機(jī)殼未接地，能不能說因為機(jī)殼電

位為零，人站在地上就可以任意接觸機(jī)殼？若機(jī)殼接地則如何？

答：把整機(jī)機(jī)殼作為零電位是對機(jī)上其他各點電位而言，并非是對地而言。若機(jī)殼未接地,

它與地之間可能有一定的目位差，而人站在地上，與地等電位，這時人與機(jī)殼接觸，就有一

定電位差加在人體上。當(dāng)口壓較高時，可能造成危險，所以一般機(jī)殼都要接地，這樣人與

機(jī)殼等電位，人站在地上可以接觸機(jī)殼。

10、(1)場強(qiáng)大的地方，是否電位就高？電位高的地方是否場強(qiáng)大？

(2)帶正電的物體的電位是否一定是正的？電位等于零的物體是否一定不帶電？

(3)場強(qiáng)為零的地方，電位是否一定為零？電位為零的地方，場強(qiáng)是否一定為零？

(4)場強(qiáng)大小相等的圮方電位是否相等？等位面上場強(qiáng)的大小是否相等？

以上各問題分別舉例說明之。

答：

(1)不一定。E僅與電勢的變化率有關(guān)，場強(qiáng)大僅說明U的變化率大，但U本身并不一定

很大。例如平行板電容器'B板附近的電場可以很強(qiáng)，但電位可以很低。同樣電位高的地

h，場強(qiáng)不一定大，因為弓位高不一定電位的變化率大。如平行板電容器A板的電位遠(yuǎn)高

于B板電位，但A板附近場強(qiáng)并不比B板附近場強(qiáng)大。

(2)當(dāng)選取無限遠(yuǎn)處電位為零或地球電位為零后，孤立的帶正電的物體電位恒為正，帶負(fù)

電的物體電位恒為負(fù)。但目位的正負(fù)與零電位的選取有關(guān)。假如有兩個電位不同的帶正電

的物體，將相對于無限遠(yuǎn)旦位高者取作零電位，則另一帶電體就為負(fù)電位，由引可說明電

位為零的物體不一定不帶口。

(3)不一定。場強(qiáng)為零僅說明U的變化率為零，但U本身并不一定為零。例如兩等量同

號電荷的連線中點處，E=0而U為零時，U的變化率不一定為零，因此E也不一定為零。

例如兩等量異號電荷的連線中點處，*0而EHO

(4)場強(qiáng)相等的地方電位不一定相等。例如平行板電容器內(nèi)部，E是均勻的，但U并不

相等。等位面上場強(qiáng)大小不一定相等。如帶電導(dǎo)體表面是等位面，而表面附近的場強(qiáng)與面

電荷密度及表面曲率有關(guān)。

II、兩個不同電位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以與自身相交？

答：在零電位選定之后，每一等位面上電位有一確定值，不同等位面U值不同，故不能相

交。同一等位面可與自身相交。如帶電導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零，電位為一常量，在導(dǎo)體內(nèi)任意作

兩個平面或曲面讓它們相交，由于其上各點的電位都相同，等于導(dǎo)體的電位，這種情況就

屬于同一等位面自身相交。

習(xí)題：

1、在夏季雷雨中，通常一次閃電里兩點間的電位差約為1OOMV(十0優(yōu)特人通過的電

量約為30C。問一次閃電消耗的能量是多少？如果用這些能量來燒水，能把多少水從OOC

加熱到1OOOC?

解：一次閃電消耗的能量為W=QU=30X109=3X1010(J)

所求的水的質(zhì)量為M=W/J=72(0

2、已知空氣的擊穿場強(qiáng)為2X106V/m,測得某次閃電的火花長100米，求發(fā)生這次閃

電時兩端的電位差。

解：U=2X106X100=2X108(V)

3、證明：在真空靜電場中凡是電力線都是平行直線的地方，電場強(qiáng)度的大小必定處

處相等；或者凡是電場強(qiáng)度的方向處處相同的地方，電場強(qiáng)度的大小必定處處相等。證

明：在電場中作任意矩形閉合回路abed.

移動電荷q一周,電場力作功為

9、兩個點電荷的電量都是q,相距為1,求中垂面上到兩者聯(lián)線中點為x處的電位。

解：根據(jù)電勢的疊加原理

10、有兩個異號點電荷me和-e(n>l)4fi距為a,

(1)證明電位為零的等位面是一個球面；

(2)證明球心在這兩個點電荷的延長線上，且在?e點電荷的外邊；

(3)這球的半徑是多少？

解：以?c為原點O,兩電荷的聯(lián)線為x軸，取坐標(biāo)系如圖所示。根據(jù)電勢疊加原理，空

間任一點的電勢為

12、證明如圖所示電四極子在它的軸線延長線上的電位為，并由梯度求場強(qiáng)。

解：取坐標(biāo)系如圖所示，杈據(jù)電勢的疊加原理

13、一電四極子如圖所示，證明：當(dāng)r?l時，它在P90)點產(chǎn)生的電位為圖中的極軸通

過正方形中心。點，且與一邊平行。

解：(1)根據(jù)電勢疊加原理

當(dāng)r?l時，

（2）由電勢梯度求場強(qiáng)

此題也可以將平面電四極子當(dāng)作兩個電偶極子，由電偶極子產(chǎn)生的電勢疊加求U及

E。

14、求均勻帶電圓環(huán)軸線上電位的分布，并畫曲線。

解：（1）P點的電勢及場強(qiáng)為

（2）由電勢表達(dá)式得

因此得“曲線為

、求均勻帶電圓面軸線上的電位分布，并畫u?x曲線。

解：（1）利用上題結(jié)果，求得電位及場強(qiáng)分布為

（2）由電勢表達(dá)式得

U-X曲線如圖所示

16、求兩個均勻帶電的同心球面在三個區(qū)域內(nèi)的電位分布，并畫U?r曲線。

解：（1）已知均勻帶電球面產(chǎn)生的電場中電位的分布為

由電勢疊加原理可知：

（2）U-r曲線如圖所示

17、夜上邀廬，保持內(nèi)球上電量Q1不變，當(dāng)外球電量Q2改變時，試討論二個區(qū)域內(nèi)的

電位有何變化？兩球面之間的電位差有何變化？

解：保持Q1不變，當(dāng)外球電量Q2變化時，各區(qū)域電位隨之變化

18、求均勻帶電球體的電位分布。并畫曲線。

解：（I）由高斯定理可求得場強(qiáng)分布為

（2）由場強(qiáng)求得電勢為

（3）U-r曲線如圖所示

19'金原子核可當(dāng)作均勻帶電球，半徑約為6.9X10-15米,電荷為Ze=79X1.6X10-19C,

求它表面上的電位。

解：

20'（1）一質(zhì)子（電荷為e=L6X10-19C,Jffi量為1.67X10-27kg），以1.2X102m/s

的初

速從很遠(yuǎn)的地方射向金原工核，求它能達(dá)到金原子核的最近距離。

21、在氫原子中，正常狀態(tài)下電子到質(zhì)子的距離為5.29X10/U11,已知?dú)湓雍耍ㄙ|(zhì)子）

和電子帶電各為土e。把氫原子中的電子從正常狀態(tài)下離核的最近距離拉開到無窮遠(yuǎn)處所

需的能量，叫做氫原子核的電離能。求此電離能是多少電子伏和多少焦耳。

解：設(shè)電子的質(zhì)量為m,速度為v,氫原子基態(tài)的能量為

負(fù)號是因為，以電子和質(zhì)子相距無窮遠(yuǎn)時為電勢能的零點，要把基態(tài)氫原子的電子

和質(zhì)子分開到相距無窮近處，需要外力做功。這功的最小值便等于氫原子的電離能量E

E=-W=-13.6eV

一摩爾氫原子的電離能量為

Emol=NAE=8.19eV=1.31x106（J）

22、輕原子核（如氫及其同位素笊、赧的原子核）結(jié)合成為較重原子核的過程，叫做核聚

變。核聚變過程可以釋放巳大量能量。例如，四個氫原子核（質(zhì)子）結(jié)合成一個氮原子核

（a粒子）時，可釋放出28McV的能量。這類核聚變就是太陽發(fā)光、發(fā)熱的能量來源。如

果我們能在地球上實現(xiàn)核聚變，就可以得到非常豐富的能源。實現(xiàn)核聚變的困難在于原子核

都帶正電，互相排斥，在一般情況下不能互相靠近而發(fā)生結(jié)合。只有在溫度非常高時，熱

運(yùn)劫的速度非常大，才能沖破庫侖排斥力的壁壘，碰到一起發(fā)生結(jié)合。這叫做熱核反應(yīng)。根

據(jù)統(tǒng)計物理學(xué)，絕對溫度為T時，粒子的平均平動動能為，k=1.38X10-23J/K.?計算：

(1)一個質(zhì)子以怎樣的動能(以eV表示)才能從很遠(yuǎn)的地方達(dá)到與另一個質(zhì)子接觸的

距離？

(2)平均熱運(yùn)動動能達(dá)到此數(shù)值時，溫度(以K表示)需為多少？

解：(1)設(shè)兩個質(zhì)子迎頭相碰，碰撞時兩者中心距離為2r

實際上，由于童子力學(xué)的隧道效應(yīng)，使質(zhì)子不需要那么大的動能就可以穿過靜電壁壘而

達(dá)到互相接觸，故發(fā)生熱核聚變所需的溫度可以低一些，據(jù)估算，108K即可。

23、在絕對溫度為T時，微觀粒子熱運(yùn)動能量具有KT的數(shù)量級。有時人們把能量KT折合

成電子伏，就說溫度T為若干電子伏。問：

(1)T=lcV相當(dāng)于多少開？

(2)T=50keV相當(dāng)于多少開？

(3)室溫(T=300K)相當(dāng)于多少eV?

太陽表面溫度約為6000K,T=O.52eV

熱核反應(yīng)時溫度高達(dá)108K,T=8.6(keV)

24、電量q均勻地分布在長為21的細(xì)直線上，求下列各處的電位

(1)中垂面上離帶電線段中心。為r處，并利用梯度求Er;

(2)延長線上離中心。為Z處，并利用梯度求EZ；

(3)通過一端的垂面上離該端點為r處，并利用梯度求Er.

解：(1)中垂面上離中心為rl處，

2)延長線上離中心為r2處

(3)端垂面上離該端為r3處，

25、如圖所示，電量q均勻地分布在長為21的細(xì)直線上，

(1)求空間任一點P(r,z)的電位U(0<r<+?o「8vzv8)；

(2)利用梯度求任一點P(r,z)的場強(qiáng)分量Er和EZ;

(3)將所得結(jié)果與上題中的特殊位置相比較。

解：(1)在圖示坐標(biāo)系中，

(2)由電勢梯度求場強(qiáng)

(3)與上題比較：

r=rl,z=OBL得中垂面上任一點的電位與場強(qiáng)

廠0,Z=r2時，得延長線上任一點的電位與場強(qiáng)r=r3,Z=lH時，得端面上任一點的

電位與場強(qiáng)

27、如附圖所示，兩條均勻帶電的無限長平行直線(與圖紙垂直)，電荷的線密度分別為

土八，相距為2億求空間任一點P(x,y)的電位。

解：取。點為電勢零點時：空間任一點的電勢為兩無限長帶電線電勢的疊加

若以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點，一條無限長帶電線所產(chǎn)生的電勢是無窮大，但兩條無限

長帶等量異號電荷的直線產(chǎn)生的電勢是有限值，因為單位長度的電荷量大小相等而符號相

反，結(jié)果電勢在相加時，消去無窮大，而成為有限值。

28、證明在上題中電位為U的等位面是半徑為的圓筒面，筒的軸線與兩直線共面，位置

在處，其中。u=o的等位面是什么形狀？

解：P點的電勢為

由于對稱性，1)與2無關(guān)。

為方便，令，

在三維空間，這是一個圓柱同，軸線在z-xYffi內(nèi)并與Z軸平行，位置在處，其巨徑

為。

U=o的等位面為X”的Y-Z平面。

29、求兩無限長共軸圓筒間的電勢分布和兩筒間的電位差（設(shè)〉，并畫出U?r曲線.

解：根據(jù)高斯定理可求得兩筒間的電場強(qiáng)度為

30、求無限長直圓柱體的電位分布（以軸線為參考點，設(shè)它電位為零）。

解：由高斯定理可求得圓柱體內(nèi)的場強(qiáng)分布為

31、求電荷密度為的無限長等離子體柱的電勢分布（以軸線為參考點，設(shè)它的電位為

零）

解：由高斯定理可求得場強(qiáng)分布為

以軸線為電勢零點，其電位分布為

32、一電子二極管由半徑a=0?50mm的圓柱形陰極K和套在陰極外同軸圓筒

形的陽極A構(gòu)成，陽極半徑R=0.45cmo陽極電位比陰極電位高300V.設(shè)電子從陰極發(fā)

射出來時速度很小，可忽略不計。求：

（1）電子從K向A走過2.0mm時的速度；

（2）電子到達(dá)A時的速度。

解：設(shè)離陰極K的軸線為r處的電勢為U,則

33、如圖所示，一對均勻、等量異號的平行帶電平面。若其間距離d遠(yuǎn)小于帶電平

面的線度時，這對帶電面可看成是無限大的.這樣的模型可叫做電偶極層。求場強(qiáng)和電位

沿垂直兩平面的方向x的分布，并畫出E-x曲線和U?x曲線（取離兩平面等距的0點為

參考點5令該處的電位為零

解：由高斯定理可求得電偶極層內(nèi)部

電偶極層外部以O(shè)點為電勢的參考點

E-x曲線為U-x曲線為

34、證明半導(dǎo)體突變型p?n結(jié)內(nèi)的電位分布為

n區(qū)，

P區(qū)這公式是以哪里作為電位參考點的？P?n結(jié)兩側(cè)的電位差是多少？解：n區(qū)

P區(qū)

以交界面處為電勢的零點。P?n結(jié)兩側(cè)的電勢差為

35、證明半導(dǎo)體線性緩變pm結(jié)內(nèi)的電位分布為

這公式是以哪里作為電位參考點的？P*n結(jié)兩側(cè)的電位差是多少？解：（1）

此電位是以0點為參考點的。

（2）p?n結(jié)兩側(cè)的電位差為

36、在示波管中，若已知的不是偏轉(zhuǎn)電極間的場強(qiáng)E,而是兩極板間的距離

d=1.0cm和電壓120伏，其余尺寸相同。求偏轉(zhuǎn)距離y和『?

解：示波器內(nèi)部

（與§2習(xí)題16結(jié)果相同）

37、電視顯象管的第二和第三陽極是兩個直徑相同的同軸金屬圓筒。兩電極間的電場即

為顯象管中的主聚焦電場。圖中所示為主聚焦電場中的等位面，數(shù)字表示電位值。試用直

尺量出管軸上各等位面間的距離，并求出相應(yīng)的電場強(qiáng)度。

解：用直尺量出管軸上各等位

面間的距離

根據(jù)

可求出各等位間的電場強(qiáng)度”

場強(qiáng)分布是非均勻電場，但具有對稱性。從左至右各等位面間的場強(qiáng)分布為（單

位：伏/米）

4.449.0922.2233.3350665033.3322.229.094.44

38、帶電粒子經(jīng)過加速電壓加速后，速度增大。已知電子的質(zhì)量為，電荷絕對值為

（1）設(shè)電子質(zhì)量與速度無關(guān)，把靜止電子加速到光速c=3Xl08m/s要多高的電壓？

（2）對于高速運(yùn)動的物體來說，上面的算法不對，因為根據(jù)相對論，物體的動能式是，

而是。按照這公式，靜止目子經(jīng)過上述電壓加速后，速度V是多少？它是光速C的百分之

幾？

(3)按照相對論，要把電子從靜止加速到光速，需要多高的電壓？這可能嗎？解：

(I)根據(jù)能量守恒定律

(2)對于高速運(yùn)動的物體，杈據(jù)能量守恒定律

(3)根據(jù)

所需電壓為

因此，根據(jù)狹義相對論，不可能把帶電粒子加速到光

速。

§1.5帶電體系的靜電能

思考題：

1、為什么在點電荷組相互作用能的公式中有因子1/2，而點電荷在外電場中的電位

能公式W(P尸qU(P)中沒有這個因子？

答：在計算點電荷組的相互作用能時，每一對點電荷之間的相互作用能計算了兩兩次，所

以求和公式中有因子1/2。點電荷在外電場中的電位能公式?jīng)]有重復(fù)計算。

2、在電偶極子的位能公式W=-P?E中是否包括偶極子的正、負(fù)電荷間的相互作用

能？

答：公式中的電場是外電場，因此此位能不包括偶極子王負(fù)電荷之間的相互作用能。

習(xí)題：

第二章靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

§2.1靜電場中的導(dǎo)體

思考題：

1、試想放在勻強(qiáng)外電場中的不帶電導(dǎo)體單獨(dú)產(chǎn)生的電場E的電力線是什么樣子(包括導(dǎo)體

內(nèi)和導(dǎo)體外的空間)。如果撤去外電場E。，E的電力線還會維持這個樣子嗎？

答：電場E的特征有：(1)靜電平衡時，在導(dǎo)體內(nèi)部，E。和E”的矢量和處處為零。因

此E的電力線在導(dǎo)體內(nèi)部是與E)反向的平行直線；(2)導(dǎo)體上的等量異號電荷，在離

導(dǎo)體足夠遠(yuǎn)處激發(fā)的場，等效于一個電偶極子激發(fā)的場，因此其電力線也等效于電偶

極子電場的電力線；⑶導(dǎo)體上電荷密度大的地方，電力線的數(shù)密度較大；⑷在導(dǎo)體

表面附近，E。和E，的矢量和的方向一定垂直于導(dǎo)體表面。因此，E，的方向相對于&

一定位于表面法線的另一側(cè)。

E，的電力線分布如圖所示。值得注意的是，單獨(dú)考慮感應(yīng)

電荷的場E'時，導(dǎo)體并非等位體，表面也并非等位面，所以

感應(yīng)電荷激發(fā)的場的電力線在外表面上會有一些起于正電荷而

止于負(fù)電荷。

如果撤去外電場&,靜電平衡被破壞，，E的電力淺不會維

持這個樣子。最后E，將因?qū)w上的正、負(fù)電荷中和而消失。

2、無限大帶電面兩側(cè)的場強(qiáng)E=這個公式對于靠近有限

大小帶電面的地方也適用.這就是說，根據(jù)這個結(jié)果，導(dǎo)體表面元As上的電荷在緊靠

它的地方產(chǎn)生的場強(qiáng)也應(yīng)是0726,它比導(dǎo)體表面處的揚(yáng)強(qiáng)小一半。為什么？

答：可以有兩種理解：（1）為了用高斯定理求場強(qiáng)，需作高斯面。在兩種情形下，通過

此高斯面的電通量都是但在前一種情況，由于導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零，通過位于導(dǎo)體內(nèi)部

的底面的電通童為零，因而造成兩公式不同：（2）如果兩種情況面電荷密度相同，無限

大帶電平面的電力線對稱地分布在帶電面兩側(cè)，而導(dǎo)體表面電力線只分布在導(dǎo)體外

側(cè)，因此電力線的密度前者為后者的二分之一，故場強(qiáng)也為后者的二分之一。

3、根據(jù)式若一帶電導(dǎo)體面上某點附近電荷面密度為。，這時該點外側(cè)附近場強(qiáng)

為丘?；?如果將另一帶電體移近，該點的場強(qiáng)是否改變？公式￡=blj是否仍成立？

答：場強(qiáng)是所有電荷共同激發(fā)的。另一帶電體移近時，由于它的影響和導(dǎo)體上電荷分布的

變化，該點的場強(qiáng)E要發(fā)生變化。當(dāng)達(dá)到靜電平衡時，因為表面附近的場強(qiáng)總與導(dǎo)體

表面垂直，應(yīng)用高斯定理，可以證明仍然成立，不過此時的。是導(dǎo)體上的電荷重新分布

后該點的電荷密度。

4、把一個帶電物體移近一個導(dǎo)體殼，帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場是否等于零？靜

電屏蔽效應(yīng)是怎樣體現(xiàn)的？

答：帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)不為零。靜電平衡的效應(yīng)表現(xiàn)在，這個場強(qiáng)與導(dǎo)

體外表面感應(yīng)電荷激發(fā)的場強(qiáng)，在空腔內(nèi)的矢量和處處為零，從而使空腔內(nèi)的場不受

殼外帶電體電場的影響。

5、萬有引力和靜電力都服從平方反比定律，都存在高斯定理。有人幻想把引力場屏旅起來，

這能否作到？引力場和靜電力有什么重要差別？

答：產(chǎn)生靜電平衡的關(guān)鍵，在于導(dǎo)體中存在兩種電荷，而且員電荷（電子）在電場力作，書下

能夠自由移動，因此在外電場作用下，能夠形成一附加電場，使得在導(dǎo)體殼內(nèi)總場強(qiáng)

為零。引力場與此不同，引力場的源只有一種，因此在外部引力場的作用下不可能產(chǎn)

生一附加引力場，使得物質(zhì)殼內(nèi)部的引力場處處為零，所以屏蔽引力場是不可能的。

兩種場的重要差別在于：青爭電場的源有兩種，相應(yīng)的電荷之間的作用力也有兩種，引

力初立7；引力場的源只有一種，相應(yīng)的物質(zhì)的引力相互作用只有一種引力。

6、（1）將一個帶正電的導(dǎo)體A移近一個不帶電的絕緣導(dǎo)體B時，導(dǎo)體B的電位是升高還是

降低？為什么？

（2）試論證：導(dǎo)體B上每種符號感應(yīng)電荷的數(shù)量不多于A上的電量。

答：（1）A移近時，B的電位將升高。因為帶電體A移近時，B上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，靠近A

的一邊感應(yīng)電荷為負(fù)，遠(yuǎn)離A的一邊為正。從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止

于負(fù)的感應(yīng)電荷上，正的感應(yīng)電荷發(fā)出的電力線延伸至無限遠(yuǎn)，由于同一電力線其起

點的電位總是高于終點的電位，若選取無限遠(yuǎn)處的電位為零，則正的感應(yīng)電荷所在處

得體B）的電位大于零。靜電平衡時，導(dǎo)體B為等位休，因此整個導(dǎo)體B的電位大于

零，而在A未移近之前，B的電位為零?？梢?，當(dāng)A移近時，B的電位升高了。

(2)從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止于B上，其余延伸至無限遠(yuǎn)處，因此B上

的負(fù)電荷電量小于A上的正電荷電量，且B上感應(yīng)電荷總是等量異號的，所以B導(dǎo)體上

每種電荷的電量均少于A上的電荷。

7、將一個帶正電的導(dǎo)體A移近一個接地的導(dǎo)體B時，導(dǎo)體B是否維持零電位？其上是否

帶電？

答：導(dǎo)體B與大地等電位'電位仍為零。不論B導(dǎo)體原來是否帶電，由于A所帶電荷的符

號、大小和位置的影響，B將帶負(fù)電。

8、一封閉的金屬殼內(nèi)有一個帶電量q的金屬物體。試證明：要想使這金屬物體的電位與金

屬殼的電位相等，唯一的辦法是使q"。這個結(jié)論與金屬殼是否帶電有沒有關(guān)系？

答：若qHO.金屬殼的電位與帶電金屬物體的電位不等。應(yīng)用高斯定理可證明，金屬殼內(nèi)

表面上帶負(fù)電，電量為-q，從帶電的金屬物體上發(fā)出的電力線終止于金屬殼的內(nèi)表面

上，因此帶電金屬物體的電位高于金屬殼的電位。反之，若q=0,金屬殼和金屬物體之

間無電場,電荷從它們中的一個移向另一個的過程中，沒有電場力做功，所以它們之間

無電位差。

由于青爭電屏蔽效應(yīng)，金屬殼帶電與否，不會影響金屬殼表面上所包圍區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)和

電位差，所以，金屬殼是否帶電對以上證明的結(jié)論沒有影響。

9、有若干個互相絕緣的不帶電導(dǎo)體A、B、C、…，它們的電位都是零。如果把其中任一個

如A帶上正電，證明：

(1)所有這些導(dǎo)體的電位都高于零；

(2)其他導(dǎo)體的電位都低于A的電位。

答：(1)與6題解釋相同。當(dāng)選無限遠(yuǎn)處電位為零時，一個不帶電的絕緣導(dǎo)體附近放入一個

帶正電的物體時，這個導(dǎo)體的電位將升高。因此電位不為零的帶正電絕緣導(dǎo)體A將使B-

C、…的電位高于零。

(2)由A發(fā)出的電力線總有一部分終止在其他各導(dǎo)體的負(fù)的感應(yīng)電荷上，由于電力線指

向電位降低的方向，所以其他導(dǎo)體的電位都會低于A的電位。

10、兩導(dǎo)體上分別帶有電量-q和2q,都放在同一個封閉的金屬殼內(nèi)。證明：電荷為+2q

的導(dǎo)體的電位高于金屬殼的電位。

答：應(yīng)用高斯定理可證明，金屬殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷為一q。從電荷2q的導(dǎo)體表面發(fā)出的

電力線將有一部分終止于金屬殼內(nèi)表面的負(fù)電荷上，根據(jù)電力線起點電位高于終點電

位的性質(zhì)，電荷為2q為導(dǎo)體的電位高于金屬殼的電位。

11、一封閉導(dǎo)體殼C內(nèi)有一些帶電體，所帶電量分別為0、①、…，C外也有一些帶電

體，所帶電量分別為8、QA…。問：

⑴①、①、…的大小對C外電場強(qiáng)度和電位有無影響？

(2)當(dāng)①、①、??口的大小不變時，它們的分布形狀對C外的電場強(qiáng)度和電位影響如

何？

(3)Qi、Q2、…的大小對C內(nèi)的電場強(qiáng)度和電，立有無影響？

(4)當(dāng)0、Q2、…的大小不變時，它們的分布形狀對C內(nèi)的電場強(qiáng)度和電位影響

如何？

答：(1)有影響。殼內(nèi)電荷在殼的外表面產(chǎn)生等童同號的感應(yīng)電荷，這些感應(yīng)電荷將要影響

殼外的電場強(qiáng)度和電位。

(2)沒有影響。腔內(nèi)帶電體上發(fā)出的電力線全部終止于內(nèi)表面的等量異號的感應(yīng)電荷

上，空腔內(nèi)電荷分布發(fā)生變化時，內(nèi)表面上感應(yīng)電荷的分布也隨之發(fā)生變化，但力線不

穿過導(dǎo)體殼，因此只要腔內(nèi)帶電體的總電量不變，導(dǎo)體殼外表面的電荷量就一定'而這

些電荷的分布狀態(tài)僅取決于外表面的形狀。形狀一定，電荷分布就一定，殼外電場和相

對于殼外任意點的電位也就一定。

(3)對C內(nèi)的電場強(qiáng)度無影響，對電位有影響，但對兩點之間的電位差無影響。因為

外面電荷的場強(qiáng)與導(dǎo)體殼上感應(yīng)電荷的場強(qiáng)在腔內(nèi)的矢量和處處為零，因此外部電荷對

控內(nèi)的電場強(qiáng)度沒有影響，因而對C內(nèi)兩點之間的電位差也無影響。但是導(dǎo)體殼相對

于殼外任意點的電位要受殼外電場，即殼外電荷大小的影響，而腔內(nèi)各點的電位與導(dǎo)

體殼的電位有關(guān)，所以腔內(nèi)的電位受外部電荷大小的影響。

(4)對C內(nèi)的場強(qiáng)無影響，對電位差也沒有影響，但對電位有影響。理由同上。

12、若上題中C接地，情況如何？

答：當(dāng)C接地時，導(dǎo)體殼內(nèi)和導(dǎo)體殼外將不發(fā)生任何互相影響。

13(1)一個孤立導(dǎo)體球帶電Q,其表面場強(qiáng)沿什么方向？Q在其表面上的分布是否均

勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導(dǎo)體內(nèi)任一點P的場強(qiáng)是多少？為什么？

(2)當(dāng)把另一帶電體移近這個導(dǎo)體球時，球表面場強(qiáng)沿什么方向？其上的電荷分布是否均

勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導(dǎo)體內(nèi)任一點P的場強(qiáng)有無變化？為什

么？

答：(1)一個孤立帶電導(dǎo)體球，其表面場強(qiáng)必與表面垂直，即沿半徑方向，否則不會處于

靜電平衡狀態(tài)。場的分布具有球?qū)ΨQ性，球面上各點的電場強(qiáng)度數(shù)值相同，根據(jù)

E〃球面上各點的電荷密度也相同，即電荷分布是均勻的。既然場強(qiáng)總是垂直

于球面，所以球面是等位面。導(dǎo)體內(nèi)任一點P的場強(qiáng)為零。

(2)當(dāng)把另一帶電體移近時，達(dá)到靜電平衡后，球面的場強(qiáng)仍與表面垂直，否則將不會處

于靜電平衡狀態(tài)。這時，場的分布不再具有球?qū)ΨQ性，球面附近各點的場強(qiáng)數(shù)值不同，

因而電荷分布不是均勻的。既然導(dǎo)體表面處的場強(qiáng)仍處處垂直于導(dǎo)體表面，故表面仍

為等位面。導(dǎo)體球的電位將升高。導(dǎo)體內(nèi)任一點P的場強(qiáng)仍為零。

14、(1)在兩個同心導(dǎo)體球B、C的內(nèi)球上帶電Q,Q在其表面上的分布是否均勻?

(2)當(dāng)從外邊把另一帶電體A移近這一對同心球時，內(nèi)球C上的電荷分布是否均勻？

為什么？

答：(1)具有球?qū)ΨQ性，Q在內(nèi)球的表面上分布是均勻的。

(2)A的移近使外球的外表面上感應(yīng)出等量異號的感應(yīng)電荷，但內(nèi)部的電場不受A的

影響，仍具有球?qū)ΨQ性，內(nèi)球上的電荷分布仍是均勻的。

15、兩個同心球狀導(dǎo)體，內(nèi)球帶電Q,外球不帶電，試問：

(1)外球內(nèi)表面電量Qi=?外球外表面電量Q2=?

(2)球外P點總場強(qiáng)是多少？

(3)Q2在P點產(chǎn)生的場強(qiáng)是多少？Q是否在P點產(chǎn)生場強(qiáng)？Q］是否在P點產(chǎn)生

場？如果外面球殼接地，情況有何變化？

答：⑴外球內(nèi)表面電SQi=-Q；外球外表面電fi6=Q。

-10

(2)設(shè)球外P點到球心的距離為!■，則P點的總場強(qiáng)為E=—

4庇。r

(3)Q2在P點產(chǎn)生的場強(qiáng)是E=A2九Q和Q】都要在P點激發(fā)電場，不過，

4庇?！?/p>

其場強(qiáng)的矢量和為零。如果外面球殼接地，則Q2=0,仍有Q,=-Q,P點的場強(qiáng)為零。

16、在上題中當(dāng)外球接地時，從遠(yuǎn)處移來一個帶負(fù)電的物體，內(nèi)、外兩球的電位增高還是

降低？兩球間的電場分布有無變化？

答：這時，內(nèi)外兩球的電位卻不增高也不降低,外球仍與大地等電位。由于靜電屏蔽效衣，兩

球間的電場分布沒有變化。

I7、在上題中若外球不接地，從遠(yuǎn)處移來一個帶負(fù)電的物體，內(nèi)、外兩球的電位增高還是

降低？兩球間的電場分布有無變化？兩球間的電位差有無變化？

答：這時，內(nèi)外兩球的電位要降低。由于靜電屏蔽效應(yīng)，兩球間的電場無變化，兩球間各

點相對于地的電位要變化。因為每點的電位與外殼的電位有關(guān)。但是，任意兩點之間

的電位差沒有變化，因為兩點之間的電位差只由場強(qiáng)分布決定，場強(qiáng)分布不變時，電

位差不變。

I8、如圖所示，在金屬球A內(nèi)有兩個球形空腔。此金屬球整體上不帶電。在兩空腔中心

各放置一點電荷qi和q2。此外在金屬球A之外遠(yuǎn)處放置一點電荷q(q至A的中心距

離r?AA的半徑R)-作用在A、q?和q四物體上的靜電力各多大？

1??…q

答：電荷qi在其所在上感應(yīng)出一qi的電荷，在A的外表面上感應(yīng)出+qi的電荷;

q2在其所在空腔內(nèi)壁上感應(yīng)出一q?的電荷，在A的外表面上感應(yīng)出+q?的電荷；因此

A的外表面上感應(yīng)電荷的總電量為qi+q2o(r?R,q在球面上的感應(yīng)電荷不計)qi和一qi

在空腔外產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢：f【和為零,因此,它門對A球面上的電荷qi+q

2以及電荷q、q2沒有作用力。同樣，q2和一q2也是如此。電荷q和A球