電磁學第二版答案解析

第一章靜電場

§1.1靜電的基本現象和基本規(guī)律

思考題：

1、給你兩個金屬球，裝在可以搬動的絕緣支架上，試指出使這兩個球帶等址異號電荷的

方向。你可以用絲綢摩擦過的玻璃棒，但不使它和兩球接觸。你所用的方法是否要求兩球

大小相等？

答：先使兩球接地使它們大帶電，再絕緣后讓兩球接觸，將用絲綢摩擦后帶正電的玻璃棒

靠近金屬球一側時，由于靜電感應，靠近玻璃棒的球感應負電荷，較遠的球感應等量的正

電荷。然后兩球分開，再移去玻璃棒，兩金屬球分別帶等量異號電荷。本方法不要求兩球

大小相等。因為它們本來大帶電，根據電荷守恒定律，由于靜電感應而帶電時，無論兩球

大小是否相等，其總電荷仍應為零，故所帶電量必定等量異號。

2、帶電棒吸引干燥軟木屑，木屑接觸到棒以后，往往又劇烈地跳離此棒。試解釋之。

答：在帶電棒的非均勻電場中，木屑中的電偶極子極化出現束縛電荷，故受帶電棒吸引。

但接觸棒后往往帶上同種目荷而相互排斥。

3、用手握銅棒與絲綢摩擦，銅棒不能帶電。戴上橡皮手套，握著銅棒和絲綢摩擦，銅棒

就會帶電。為什么兩種情況有不同結果？

答：人體是導體。當手直接握銅棒時，摩擦過程中產牛的中荷通過人體流入大地，不能保

持電荷。戴上橡皮手套，銅棒與人手絕緣，電荷不會流走，所以銅棒帶電。

7、兩個點電荷帶電2q和q,相距1,第三個點電荷放在何處所受的合力為零？

解：設所放的點電荷電量為Q。若Q與q同號，則三者互相排斥，不可能達到平衡；故Q

只能與q異號。當Q在2q和q聯(lián)線之外的任何地方，也不可能達到平衡。由此可知，只

有Q與q異號，且處于兩點荷之間的聯(lián)線上，才有可能達到平衡。設Q到q的距離為X.

8、三個相同的點電荷放置在等邊三角形的各頂點上。在此三角形的中心應放置怎樣的電

荷，才能使作用在每一點旦荷上的合力為零？

解：設所放電荷為Q,Q應與頂點上電荷q異號。中心Q所受合力總是為零，只需考慮q受

力平衡。

平衡與三角形邊長無關，是不穩(wěn)定平衡。

9、電量都是Q的兩個點電荷相距為1,聯(lián)線中點為6有另一點電荷q,在聯(lián)線的中垂面上

距0為r處。(1)求4所受的力；(2)若q開始時是靜止的，然后讓它自己運動，它將如何

運動？分別就q與Q同號和異號兩種情況加以討論。

解：

(1)

(2)q與Q同號時，F背離0點，q將沿兩Q的中垂線加速地趨向無窮遠處。

q與Q異號時，F指向0點，q將以0為中心作周期性振動，振幅為r?

v討論》：設q是質量為m的粒子，粒子的加速度為

因此，在rvvl和q與Q異號的情況下，m的運動近似于簡諧振動。

10'兩小球質量都是m,都用長為1的細線掛在同一點，若它們帶上相同的電童，平衡

時兩線夾角為20。設小球的半徑都可以略去不計，求每個小球上的電量。

解：小球靜止時，作用其上的庫侖力和重力在垂直于懸線方向上的分量必定相等。

§1.2電場電場強度

思考題：

I'在地球表面上通常有一豎直方向的電場，電子在此電場中受到一個向上的力，電場強

度的方向朝上還是朝下？

答：電子受力方向與電場強度方向相反，因此電場強度方向朝下。

2、在一個帶正電的大導體附近P點放置一個試探點電荷qO（q0>0）,實際測得它受刀F。

若考慮到電荷量qO不是足夠小的，則F/qO比P點的場強E大還是小？若大導體帶負

電，情況如何？

答：qO不是足夠小時，會彩響大導體球上電荷的分布。由于靜電感應，大導體球上的正電

荷受到排斥而遠離P點，而F/qO是導體球上電荷重新允年后測得的P點場強，因此比P點

原來的場強小。若大導體球帶負電，情況相反，負電荷受吸引而靠近P點，P點場強增

大。

3、兩個點電荷相距一定距離，已知在這兩點電荷連線中點處電場強度為零。你對這兩個

點電荷的電荷量和符號可作什么結論？

答：兩電荷電量相等，符號相反。

4、一半徑為R的圓環(huán)，其上均勻帶電，圓環(huán)中心的電場強度如何？其軸線上場強方向如

何？

答：由對稱性可知，圓環(huán)白心處電場強度為零。軸線上場強方向沿軸線。當帶電為正時，

沿軸線向外；當帶電為負時，沿軸線向內，

計算題：：

3、在早期（1911年）的一連串實驗中，密立根在不同時刻觀察單個油滴上呈現的電荷,

其測量結果（絕對值）如二：

6.568X10-19庫侖13.13X10-19庫侖19.71X10/9庫侖

8?204X10-19庫侖16.48X10-19庫侖22.89X10-19庫侖

11.50X10-19庫侖18.08X10-19庫侖26.13X10-19庫侖

根據這些數據，可以推得基本電荷e的數值為多少？

解：油滴所帶電荷為基本口荷的整數倍。則各實驗數據可表示為kic。取各項之差點兒

5、兩個點電荷，ql=+8微庫沿,q2=-16微庫侖（1微庫侖=10?6庫侖），相距20厘米。求

離它們都是20厘米處的電場強度。

解：

與兩電荷相距20cm的點在一個圓周上，各點E大小相等，方向在圓錐在上。

7、把電偶極矩P二ql的電偶極子放在點電荷Q的電場內,P的中心。到Q的距離為

r（r?l）,分別求：（1）P//QO和（2）P_LQ0時偶極子所受的力F和力矩L。

解：⑴

F的作用線過軸心0,力矩為零

（2）

:電細棒（1）在通過自身端點的垂直面上和（2）在自身的延長線上的場強分布，設棒長

為21,帶電總量為q?

解：（1）一端的垂直面上任一點A處

<2）延長線上任一點B處11、兩條平行的無限長宜均勻帶電線，相距為瓦電荷線密度分

別為十He.（1）求這兩線構成的平面上仟一點（設這點到其中一線的垂直距離為Q的場

強；（2）求兩線單位長度間的相互吸引力。

解：（1）根據場強疊加原理，任一點場強為兩無限長直帶電線產生場強的矢量和

12、如圖所示，一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷總量為q。（1）求軸線上離環(huán)中心

。為x處的場強E；（2）畫出E-x曲線；（3）軸線上什么地方場強最大？其值是多少？

解：（1）由對稱性可知，所求場強E的方向平行于圓環(huán)的軸線

2）由場強表達式得到E?X曲線如圖所示

（3）求極大值：

13、半徑為R的圓面上均勻帶電，電荷面密度為oe,（1）求軸線上離圓心的坐標為x

處的場強；6）在保持證不變的情況下，當R-0和R-8時結果各如何？（3）在保持總電

荷Q”R2oe不變的情況下，當R-0和R-oo時結果各如何？

解：（I）由對稱性可知，場強E沿軸線方向

利用上題結果

（2）保持。e不變時，

（3）保持總電量不變忙，

14、一均勻帶電的正方形細框，邊長為1,總電量為q，求這正方形軸線上離中心為x

處的場強。

解：根據對稱性，所求場強沿正方形的軸線方向

對于一段長為1的均勻帶電直線，在中垂面上離中點為a處產生的電場強度為

正方形四邊在考察點產生的場強為

15、證明帶電粒子在均勻外電場中運動時，它的軌跡一般是拋物線.這拋物線在什么

情況下退化為直線？

解：（I）設帶電粒子的初速度方向與電場方向夾角為E,其運動方程為

（2）當E為均勻電場且粒子的初速度為零時，或初速度平行于電場方向時，初速度沒有

垂直于場強方向的分量，拋物線退化為宜線。

6、如醫(yī)所示，示波管偏轉電極的長度l=L5cm,兩極間電場是均勻的，

E=1.2X104V/m（E方向垂直于管軸），一個電子以初速度vO=2.6X107ni/s沿管軸注入。已

知電子質量m=9.1X10-31kg,電荷為e=-l.6X10-19.C.

（1）求電子經過電極后所發(fā)生的偏轉；

（2）若可以認為一出偏轉電極的區(qū)域后，電場立即為零。設偏轉電極的邊緣到熒光屏

的距離D=10厘米，求電子打在熒光屏上產生的光點偏離中心O的距離。

解：（1）電子的運動方程得

（2）

§13高斯定理

思考題：

1'一般地說，電力線代表點電荷在電場中運動的軌跡嗎？為什么？

答：一般情況下，電力線式代表點電荷在電場中運動的軌跡。因為電力線一?般是曲線，若

電荷沿電力線作曲線運動'應有法向力存在；但電力線上各點場強只沿切線方向，運動電

荷必定偏離彎曲的電力線。僅當電力線是直線，且不考慮重力影響時，初速度為零的點電

荷才能沿著電力線運動。若考慮重力影響時，靜止的點電荷只能沿豎直方向電力線運動。

2、空間里的電力線為什么不相交？

答：電力線上任一點的切線方向即為該點場強方向。如果空間某點有幾條電力線相交，過交

點對每條電力線都可作一條切線，則交點處的場強方向不唯一，這與電場中任一點場強有

確定方向相矛盾。

3、一個點電荷q放在球形高斯面的中心處，試問在下列情況下，穿過這高斯面的電通量

是否改變？

(1)如果第二個點電荷放在高斯球面外附近；

(2)如果第二個點電荷放在高斯球面內；

(3)如果將原來的點電荷移離了高斯球面的球心，但仍在高斯球面內。

答：由于穿過高斯面的電通童僅與其內電量的代數和有關，與面內電荷的分布及面外電荷

無關，所以

⑴；(2);(3)

4、(1)如果上題中高斯球面被一個體積減小一半的立方體表面所代替，而點電荷在立方體

的中心，則穿過該高斯面的電通量如何變化？(2)通過這立方體天個表面之一的電通量是

多少？

答：(1)立方形高斯面內電荷不變，因此電通量不變；

(2)通過立方體六個表面之一的電通量為總通量的1/6。即

5、附圖所示，在一個絕緣不帶電的導體球的周圍作一同心高斯面S。試定性地回答，在將

一正點荷q移至導體表面的過程中，

(1)A點的場強大小和方向怎樣變化？

(2)B點的場強大小和方向怎樣變化？

(3)通過S面的電通量如何變化？

答：由于電荷q的作用'導體上靠近A點的球面感應電荷?遠囹八點的球面感應等量

的+q，，其分布與過電荷q所在點和球心O的聯(lián)線成軸對稱，故土q，在A、B兩點的場強

E沿AOB方向。

(1)E=EO+EZ,q移至1JA點前，E。和E,同向，隨著q的移近不斷增大，總場強EA也

不斷增大。q移過A點后，E0反向，且E0>E,,EA方向與前相反。隨著q的遠離A點，E0

不斷減小，土q，和E,增大，但因E,始終小于E0,所以EA不斷減小。

(2)由于q及土”在B點的場強始終同向，且隨著q移近導體球，二者都增大，所以

EB不斷增大。

(3)q在0面外時，面內電荷代數和為零，故0=0：q在S面內時，0>=q/e0：當q在S

面上時，它已不能視為點電荷，因高斯面是無厚度的幾何面，而實際電荷總有一定大小，此

時0>=Aq/e0,Aq為帶電體處于S面內的那部分電量。

6、有一個球形的橡皮氣球，電荷均勻分布在表面上，在此氣球被吹大的過程中，下列各處

的場強怎樣變化？

(1)始終在氣球內部的點；(2)始終在氣球外部的點；(3)被氣球表面掠過的點。

答：氣球在膨脹過程中，電荷始終均勻分布在球面上，即電荷成球對稱分布，故場強分布也

呈球對稱。由高斯定理可知：

始終在氣球內部的點，E=0,且不發(fā)生變化：

始終在氣球外的點，場強相當于點電荷的場強，也不發(fā)生變化；

被氣球表面掠過的點，當它們位于面外時，相當于點電荷的場強；當位于面內時，E=0,所以

場強發(fā)生躍變。

7、求均勻帶正電的無限大平面薄板的場強時，高斯面為什么取成兩底面與帶電面平行且

對稱的柱體的形狀？具體地說，

（I）為什么柱體的兩底面要對于帶電面對稱？不對稱行不行？

（2）柱體底面是否需要是圓的？面積取多大合適？

（3）為了求距帶電平面為x處的場強，柱面應取多長？

答：（1）對稱性分析可知，兩側距帶電面等遠的點，場強大小相等，方向與帶電面垂直。

只有當高斯面的網底面對衿電面對稱時，才有E1=E2_E,從而求得E。如果網底在不對

稱，由于不知EI和E2的關系，不能求出場強。若已先證明場強處處相等，就不必要求兩

底面ffi。

（2）底面積在運算中被消去，所以不一定要求柱體底面是圓，面積大小也任意。

（3）求距帶電面x處的場強時，柱面的每一底應距帶電面為x,柱體長為2xo同樣'若

已先證明場強處處相等，則柱面的長度可任取。

17、求一對帶等量異號或等量同號電荷的無限大平行平面板之間的場強時，能否只取

一個高斯面？

答：如果先用高斯定理求出單個無限大均勻帶電平面的場強，再利用疊加原理，可以得到

兩個無限大均勻帶電平面間的場強。在這樣的計算過程中，只取了一個高斯面。

18、已知一高斯面上場強處處為零，在它所包圍的空間內任一點都沒有電荷嗎？

答：不一定。高斯面上E=0,S內電荷的代數和為零，有兩種可能：一是面內無電荷，如高斯

面取在帶電導體內部；二是面內有電荷，只是正負電荷的電量相等，如導體空腔內有電荷

q時，將高斯面取在導體中，S包圍導體內表面的情況。

19、要是庫侖定律中的指數不恰好是2（譬如為3），高斯定理是否還成立？

答：不成立。設庫侖定律中指數為2+8,

穿過以q為中心的球面上的電通量為，此時通量不僅與面內電荷有關，還與球面半徑有

吳，高斯定理不再成立。

習題：

1'設一半徑為5厘米的圓形平面，放在場強為300N/C的勻強電場中，試計算平面法

線與場強的夾角。取下列數值時通過此平面的電通量。（1）0=00；（2）9=

300；（3）0=900：（4）9=1200；（5）0=1800.

解：

2、均勻電場與半徑為a的半球面的軸線平行，試月面積分計算通過此半球面的電通

量。

解：通過半球面的電通量與通過半球面在

垂直于場強方向上的投影面積的電通量相等。

3、如附圖所示，在半徑為R1和R2的兩個同心球面上，分別均勻地分布著電荷Q

1和Q2,求：

（1）I、u、m三個區(qū)域內的場強分布；

（2）若Q1=-Q2,情況如何？畫出此情形的E-r曲線。

解：（I）應用高斯定理可求得三個區(qū)域內的場強為

E-r曲線（rvRI）;（Rl<r<R2）

（r>R2）

(2)若QI=-Q2,E1=E3=O,

E-r曲線如圖所示。

4、根據量子理論，氫原子中心是一個帶正電子qe的原子核(可以看成是點電荷)，

外面是帶負電的電子云。在正常狀態(tài)(核外電子處在S態(tài))下，電子云的電荷密度分布是

球對稱的：

式中aO為一常數(它相當于經典原子模型中s電子圓形軌道的半徑，稱為玻爾半

徑)。求原子內電場的分布。

解：電子云是球對稱分布，核外電子的總電荷量為

可見核外電荷的總電荷量等于電子的電荷量。

應用高斯定理：核外電荷產生的場強為

原子核與核外電荷產生的總場強為

5、實驗表明：在靠近地面處有相當強的電場，E垂直于地面向下，大小約為100

N/C：在離地面1.5千米高的地方，E也是垂直地面向下的，大小約為25N/Co

(1)試計算從地面到此高度大氣中電荷的平均密度；

(2)如果地球卜.的電荷全部均勻分布在表面，求地面上電荷的面密度。

解：(1)以地心為心作球形高斯面，恰好包住地面，由對稱性和高斯定理得

(2)以地球表面作高斯面

6、半徑為R的無窮長直圓筒面上均勻帶電，沿軸線單位長度的電量為人-求場強分

布，并畫出E-r曲線。

解：應用高斯定理，求得場強分布為

E=0r<R

r>R

E-r曲線如圖所示。

7、一對無限長的共軸直圓筒，半徑分別為R1和R2,筒面上都均勻帶電。沿軸線單位

長度的電量分別為人1和X2,

(I)求各區(qū)域內的場強分布；

(2)若X1=-X2,情況如何？畫出此情形的E-r曲線。

解：(1)由高斯定理，求得場強分布為

r<RIEI=0

Rl<r<R2

r>R2

(2)若入1二一入2,E1=E3=0,E2不變。此情形的E-r曲線如圖所示。

8、半徑為R的無限長直圓柱體內均勻帶電，電荷的體密度為R求場強分布，并畫出

E?r曲線。

解：應用高斯定理，求得場強分布為

圓柱體內

圓柱體外

E—r曲線如圖所示

9、設氣體放電形成的等離子體圓柱內的體電荷分布可用下式表示，式中r是到

軸線的距離，P0是軸線上的密度值，a是常數，求場強的分布。

解：應用高斯定理，作同軸圓柱形閉合柱面為高斯面。

E方向沿矢徑r方向。

10、兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為土。，求各區(qū)域的場強分布。

解：無限大均勻帶電平面所產生的電場強度為

根據場強的疊加原理，各區(qū)域場強分別為

可見兩面外電場強度為零'兩面間電場是均勻電場。平行板電容器充電后，略去邊緣效應，

其電場就是這樣的分布。

11>兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度都是。，求各區(qū)域的場強分布。

解：與上.題同理，無限大均勻帶由平面所產牛的電場強摩為

應用場強疊加原理，場強在各區(qū)域的分布為

可見兩面間電場強度為零'兩面外是均勻電場，電場強度大小相等，方向相反。

13、一厚度為d的無限大平板，平板體內均勻帶電，電荷的體密度為P,求板內、板外

場強的分布。

解：根據對稱性，板內外的電場強度方向均垂直于板面，并對中心對稱。

應用高斯定理可求得：

板內(rvd/2)

板外(r>d/2)

15、如果在上題中電荷的體分布為

結外p(x)=0

?xnWxWxpp(x)=-eax(線性緩變結模型)

這里a是常數，xn=xp(為什么？)，統(tǒng)一用xm/2表示。試證明電場分布為

并畫出P和E隨x變化的曲線。

解：正負電荷代數和仍為零，P?n結外E=0

作高斯面

P和E隨x變化的掙線如圖所示。

§1.4電位及其梯度

思考題：

1、假如電場力的功與路徑有欠，定義電位差的公式還有沒有意義？從原則上說，這

時還能不能引入電位差、可位的概念？

答：如果電場力的功與路徑有關，積分在未指明積分路徑以前就沒有意義，路徑不同，積

分結果也不同，相同的位置，可以有無限多取值，所以就沒有確定的意義，即不能根據它

引入電位、電位差的概念來描寫電場的性質。

2、⑴在附圖a所示的情形里，把一個正電荷從P點移動到Q,電場力的功APQ是正

還量負？它的電位能是增加還是減少？P、Q兩點的電位哪里高？(2)若移動負電荷，情況

怎樣？⑶若電力線的方向如附圖b所示，情況怎樣？

答：(1)正電荷在電場中任一點受電場力F=qE,方向與該點E方向相同，在PQ路徑上取任

一微元，dA>0

P「Q,電場力的功APQ>0,

APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>O,Af以電位能減少，

q>o,A>0,所以UP>UQ

(2)負電荷受力與電場方向相反,P?Q,電場力的功APQvO,電位能增加,但仍有UP>UQ(3)

由于場強方向與前述相反，則所有結論與(1)(2)相反。

3、電場中兩點電位的高低是否與試探電荷的正負有關?電位差的數值是否與試探電

荷的電量有關？

答：電位高低是電場本身的性質，與試探電荷無關。電位差的數值也與試探電荷的電量無

關。

4、沿著電力線移動負試探電荷時，它的電位能是增加還是減少？

答：沿著電力線移動負試探電荷時，若dl與E同向，電場力作負功，電位能增加；反之電

位能減少。

5、說明電場中各處的電位永遠逆著電力線方向升高。

答：在任何惰況下，電力線的方向總是正電荷所受電場力的方向，將單位正電荷逆著電力線

方向由一點移動到另一點時，必須外力克服電場力作功，電位能增加。電場中某點的電位，

在數值上等于單位正電荷在該點所具有的電位能，因此，電位永遠逆著電力線方向升高。

6、(1)將初速度為零的電子放在電場中時，在電場力作用下，這電子是向電場中高電

位處跑還是向低電位處跑。為什么？(2)說明無論對正負電荷來說，僅在電場力作用下移

動時，電荷總是從電位能高處移向電位能低處。

答：(I)電子帶負電，被電場加速，逆著電力線方向運動，而電場中各點的電位永遠逆著電

力線方向升高“電子向高目位處移動。

(2)若電子初速度為零，無論正負電荷，單在電場力作用下移動，電場力方向與位移方向總

是一致的，電場力作正功'電位能減少，所以電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。

7、可否規(guī)定地球的電位為+100次，而不規(guī)定它為零？這樣規(guī)定后，對測黃電位、電位

差的數值有什么影響？

答：可以。因為電位零點的選擇是任意的，假如選取地球的電位是100V而不是0V,測量的

電位等于以地為零電位的數值加上100V,而對電位差無影響。

8、若甲、乙兩導體都帶負電，但甲導體比乙導體電位高，當用細導線把二者連接起來

后，試分析電荷流動的情況。

答：在電場力作用下，電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。負電荷由乙流向甲，直至

電位相等。

9、在技術工作中有時把整機機殼作為電位零點。若機殼未接地，能不能說因為機殼電

位為零，人站在地上就可以任意接觸機殼？若機殼接地則如何？

答：把整機機殼作為零電位是對機上其他各點電位而言，并非是對地而言。若機殼未接地,

它與地之間可能有一定的目位差，而人站在地上，與地等電位，這時人與機殼接觸，就有一

定電位差加在人體上。當口壓較高時，可能造成危險，所以一般機殼都要接地，這樣人與

機殼等電位，人站在地上可以接觸機殼。

10、(1)場強大的地方，是否電位就高？電位高的地方是否場強大？

(2)帶正電的物體的電位是否一定是正的？電位等于零的物體是否一定不帶電？

(3)場強為零的地方，電位是否一定為零？電位為零的地方，場強是否一定為零？

(4)場強大小相等的圮方電位是否相等？等位面上場強的大小是否相等？

以上各問題分別舉例說明之。

答：

(1)不一定。E僅與電勢的變化率有關，場強大僅說明U的變化率大，但U本身并不一定

很大。例如平行板電容器'B板附近的電場可以很強，但電位可以很低。同樣電位高的地

h，場強不一定大，因為弓位高不一定電位的變化率大。如平行板電容器A板的電位遠高

于B板電位，但A板附近場強并不比B板附近場強大。

(2)當選取無限遠處電位為零或地球電位為零后，孤立的帶正電的物體電位恒為正，帶負

電的物體電位恒為負。但目位的正負與零電位的選取有關。假如有兩個電位不同的帶正電

的物體，將相對于無限遠旦位高者取作零電位，則另一帶電體就為負電位，由引可說明電

位為零的物體不一定不帶口。

(3)不一定。場強為零僅說明U的變化率為零，但U本身并不一定為零。例如兩等量同

號電荷的連線中點處，E=0而U為零時，U的變化率不一定為零，因此E也不一定為零。

例如兩等量異號電荷的連線中點處，*0而EHO

(4)場強相等的地方電位不一定相等。例如平行板電容器內部，E是均勻的，但U并不

相等。等位面上場強大小不一定相等。如帶電導體表面是等位面，而表面附近的場強與面

電荷密度及表面曲率有關。

II、兩個不同電位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以與自身相交？

答：在零電位選定之后，每一等位面上電位有一確定值，不同等位面U值不同，故不能相

交。同一等位面可與自身相交。如帶電導體內部場強為零，電位為一常量，在導體內任意作

兩個平面或曲面讓它們相交，由于其上各點的電位都相同，等于導體的電位，這種情況就

屬于同一等位面自身相交。

習題：

1、在夏季雷雨中，通常一次閃電里兩點間的電位差約為1OOMV(十0優(yōu)特人通過的電

量約為30C。問一次閃電消耗的能量是多少？如果用這些能量來燒水，能把多少水從OOC

加熱到1OOOC?

解：一次閃電消耗的能量為W=QU=30X109=3X1010(J)

所求的水的質量為M=W/J=72(0

2、已知空氣的擊穿場強為2X106V/m,測得某次閃電的火花長100米，求發(fā)生這次閃

電時兩端的電位差。

解：U=2X106X100=2X108(V)

3、證明：在真空靜電場中凡是電力線都是平行直線的地方，電場強度的大小必定處

處相等；或者凡是電場強度的方向處處相同的地方，電場強度的大小必定處處相等。證

明：在電場中作任意矩形閉合回路abed.

移動電荷q一周,電場力作功為

9、兩個點電荷的電量都是q,相距為1,求中垂面上到兩者聯(lián)線中點為x處的電位。

解：根據電勢的疊加原理

10、有兩個異號點電荷me和-e(n>l)4fi距為a,

(1)證明電位為零的等位面是一個球面；

(2)證明球心在這兩個點電荷的延長線上，且在?e點電荷的外邊；

(3)這球的半徑是多少？

解：以?c為原點O,兩電荷的聯(lián)線為x軸，取坐標系如圖所示。根據電勢疊加原理，空

間任一點的電勢為

12、證明如圖所示電四極子在它的軸線延長線上的電位為，并由梯度求場強。

解：取坐標系如圖所示，杈據電勢的疊加原理

13、一電四極子如圖所示，證明：當r?l時，它在P90)點產生的電位為圖中的極軸通

過正方形中心。點，且與一邊平行。

解：(1)根據電勢疊加原理

當r?l時，

（2）由電勢梯度求場強

此題也可以將平面電四極子當作兩個電偶極子，由電偶極子產生的電勢疊加求U及

E。

14、求均勻帶電圓環(huán)軸線上電位的分布，并畫曲線。

解：（1）P點的電勢及場強為

（2）由電勢表達式得

因此得“曲線為

、求均勻帶電圓面軸線上的電位分布，并畫u?x曲線。

解：（1）利用上題結果，求得電位及場強分布為

（2）由電勢表達式得

U-X曲線如圖所示

16、求兩個均勻帶電的同心球面在三個區(qū)域內的電位分布，并畫U?r曲線。

解：（1）已知均勻帶電球面產生的電場中電位的分布為

由電勢疊加原理可知：

（2）U-r曲線如圖所示

17、夜上邀廬，保持內球上電量Q1不變，當外球電量Q2改變時，試討論二個區(qū)域內的

電位有何變化？兩球面之間的電位差有何變化？

解：保持Q1不變，當外球電量Q2變化時，各區(qū)域電位隨之變化

18、求均勻帶電球體的電位分布。并畫曲線。

解：（I）由高斯定理可求得場強分布為

（2）由場強求得電勢為

（3）U-r曲線如圖所示

19'金原子核可當作均勻帶電球，半徑約為6.9X10-15米,電荷為Ze=79X1.6X10-19C,

求它表面上的電位。

解：

20'（1）一質子（電荷為e=L6X10-19C,Jffi量為1.67X10-27kg），以1.2X102m/s

的初

速從很遠的地方射向金原工核，求它能達到金原子核的最近距離。

21、在氫原子中，正常狀態(tài)下電子到質子的距離為5.29X10/U11,已知氫原子核（質子）

和電子帶電各為土e。把氫原子中的電子從正常狀態(tài)下離核的最近距離拉開到無窮遠處所

需的能量，叫做氫原子核的電離能。求此電離能是多少電子伏和多少焦耳。

解：設電子的質量為m,速度為v,氫原子基態(tài)的能量為

負號是因為，以電子和質子相距無窮遠時為電勢能的零點，要把基態(tài)氫原子的電子

和質子分開到相距無窮近處，需要外力做功。這功的最小值便等于氫原子的電離能量E

E=-W=-13.6eV

一摩爾氫原子的電離能量為

Emol=NAE=8.19eV=1.31x106（J）

22、輕原子核（如氫及其同位素笊、赧的原子核）結合成為較重原子核的過程，叫做核聚

變。核聚變過程可以釋放巳大量能量。例如，四個氫原子核（質子）結合成一個氮原子核

（a粒子）時，可釋放出28McV的能量。這類核聚變就是太陽發(fā)光、發(fā)熱的能量來源。如

果我們能在地球上實現核聚變，就可以得到非常豐富的能源。實現核聚變的困難在于原子核

都帶正電，互相排斥，在一般情況下不能互相靠近而發(fā)生結合。只有在溫度非常高時，熱

運劫的速度非常大，才能沖破庫侖排斥力的壁壘，碰到一起發(fā)生結合。這叫做熱核反應。根

據統(tǒng)計物理學，絕對溫度為T時，粒子的平均平動動能為，k=1.38X10-23J/K.?計算：

(1)一個質子以怎樣的動能(以eV表示)才能從很遠的地方達到與另一個質子接觸的

距離？

(2)平均熱運動動能達到此數值時，溫度(以K表示)需為多少？

解：(1)設兩個質子迎頭相碰，碰撞時兩者中心距離為2r

實際上，由于童子力學的隧道效應，使質子不需要那么大的動能就可以穿過靜電壁壘而

達到互相接觸，故發(fā)生熱核聚變所需的溫度可以低一些，據估算，108K即可。

23、在絕對溫度為T時，微觀粒子熱運動能量具有KT的數量級。有時人們把能量KT折合

成電子伏，就說溫度T為若干電子伏。問：

(1)T=lcV相當于多少開？

(2)T=50keV相當于多少開？

(3)室溫(T=300K)相當于多少eV?

太陽表面溫度約為6000K,T=O.52eV

熱核反應時溫度高達108K,T=8.6(keV)

24、電量q均勻地分布在長為21的細直線上，求下列各處的電位

(1)中垂面上離帶電線段中心。為r處，并利用梯度求Er;

(2)延長線上離中心。為Z處，并利用梯度求EZ；

(3)通過一端的垂面上離該端點為r處，并利用梯度求Er.

解：(1)中垂面上離中心為rl處，

2)延長線上離中心為r2處

(3)端垂面上離該端為r3處，

25、如圖所示，電量q均勻地分布在長為21的細直線上，

(1)求空間任一點P(r,z)的電位U(0<r<+?o「8vzv8)；

(2)利用梯度求任一點P(r,z)的場強分量Er和EZ;

(3)將所得結果與上題中的特殊位置相比較。

解：(1)在圖示坐標系中，

(2)由電勢梯度求場強

(3)與上題比較：

r=rl,z=OBL得中垂面上任一點的電位與場強

廠0,Z=r2時，得延長線上任一點的電位與場強r=r3,Z=lH時，得端面上任一點的

電位與場強

27、如附圖所示，兩條均勻帶電的無限長平行直線(與圖紙垂直)，電荷的線密度分別為

土八，相距為2億求空間任一點P(x,y)的電位。

解：取。點為電勢零點時：空間任一點的電勢為兩無限長帶電線電勢的疊加

若以無窮遠處為電勢零點，一條無限長帶電線所產生的電勢是無窮大，但兩條無限

長帶等量異號電荷的直線產生的電勢是有限值，因為單位長度的電荷量大小相等而符號相

反，結果電勢在相加時，消去無窮大，而成為有限值。

28、證明在上題中電位為U的等位面是半徑為的圓筒面，筒的軸線與兩直線共面，位置

在處，其中。u=o的等位面是什么形狀？

解：P點的電勢為

由于對稱性，1)與2無關。

為方便，令，

在三維空間，這是一個圓柱同，軸線在z-xYffi內并與Z軸平行，位置在處，其巨徑

為。

U=o的等位面為X”的Y-Z平面。

29、求兩無限長共軸圓筒間的電勢分布和兩筒間的電位差（設〉，并畫出U?r曲線.

解：根據高斯定理可求得兩筒間的電場強度為

30、求無限長直圓柱體的電位分布（以軸線為參考點，設它電位為零）。

解：由高斯定理可求得圓柱體內的場強分布為

31、求電荷密度為的無限長等離子體柱的電勢分布（以軸線為參考點，設它的電位為

零）

解：由高斯定理可求得場強分布為

以軸線為電勢零點，其電位分布為

32、一電子二極管由半徑a=0?50mm的圓柱形陰極K和套在陰極外同軸圓筒

形的陽極A構成，陽極半徑R=0.45cmo陽極電位比陰極電位高300V.設電子從陰極發(fā)

射出來時速度很小，可忽略不計。求：

（1）電子從K向A走過2.0mm時的速度；

（2）電子到達A時的速度。

解：設離陰極K的軸線為r處的電勢為U,則

33、如圖所示，一對均勻、等量異號的平行帶電平面。若其間距離d遠小于帶電平

面的線度時，這對帶電面可看成是無限大的.這樣的模型可叫做電偶極層。求場強和電位

沿垂直兩平面的方向x的分布，并畫出E-x曲線和U?x曲線（取離兩平面等距的0點為

參考點5令該處的電位為零

解：由高斯定理可求得電偶極層內部

電偶極層外部以O點為電勢的參考點

E-x曲線為U-x曲線為

34、證明半導體突變型p?n結內的電位分布為

n區(qū)，

P區(qū)這公式是以哪里作為電位參考點的？P?n結兩側的電位差是多少？解：n區(qū)

P區(qū)

以交界面處為電勢的零點。P?n結兩側的電勢差為

35、證明半導體線性緩變pm結內的電位分布為

這公式是以哪里作為電位參考點的？P*n結兩側的電位差是多少？解：（1）

此電位是以0點為參考點的。

（2）p?n結兩側的電位差為

36、在示波管中，若已知的不是偏轉電極間的場強E,而是兩極板間的距離

d=1.0cm和電壓120伏，其余尺寸相同。求偏轉距離y和『?

解：示波器內部

（與§2習題16結果相同）

37、電視顯象管的第二和第三陽極是兩個直徑相同的同軸金屬圓筒。兩電極間的電場即

為顯象管中的主聚焦電場。圖中所示為主聚焦電場中的等位面，數字表示電位值。試用直

尺量出管軸上各等位面間的距離，并求出相應的電場強度。

解：用直尺量出管軸上各等位

面間的距離

根據

可求出各等位間的電場強度”

場強分布是非均勻電場，但具有對稱性。從左至右各等位面間的場強分布為（單

位：伏/米）

4.449.0922.2233.3350665033.3322.229.094.44

38、帶電粒子經過加速電壓加速后，速度增大。已知電子的質量為，電荷絕對值為

（1）設電子質量與速度無關，把靜止電子加速到光速c=3Xl08m/s要多高的電壓？

（2）對于高速運動的物體來說，上面的算法不對，因為根據相對論，物體的動能式是，

而是。按照這公式，靜止目子經過上述電壓加速后，速度V是多少？它是光速C的百分之

幾？

(3)按照相對論，要把電子從靜止加速到光速，需要多高的電壓？這可能嗎？解：

(I)根據能量守恒定律

(2)對于高速運動的物體，杈據能量守恒定律

(3)根據

所需電壓為

因此，根據狹義相對論，不可能把帶電粒子加速到光

速。

§1.5帶電體系的靜電能

思考題：

1、為什么在點電荷組相互作用能的公式中有因子1/2，而點電荷在外電場中的電位

能公式W(P尸qU(P)中沒有這個因子？

答：在計算點電荷組的相互作用能時，每一對點電荷之間的相互作用能計算了兩兩次，所

以求和公式中有因子1/2。點電荷在外電場中的電位能公式沒有重復計算。

2、在電偶極子的位能公式W=-P?E中是否包括偶極子的正、負電荷間的相互作用

能？

答：公式中的電場是外電場，因此此位能不包括偶極子王負電荷之間的相互作用能。

習題：

第二章靜電場中的導體和電介質

§2.1靜電場中的導體

思考題：

1、試想放在勻強外電場中的不帶電導體單獨產生的電場E的電力線是什么樣子(包括導體

內和導體外的空間)。如果撤去外電場E。，E的電力線還會維持這個樣子嗎？

答：電場E的特征有：(1)靜電平衡時，在導體內部，E。和E”的矢量和處處為零。因

此E的電力線在導體內部是與E)反向的平行直線；(2)導體上的等量異號電荷，在離

導體足夠遠處激發(fā)的場，等效于一個電偶極子激發(fā)的場，因此其電力線也等效于電偶

極子電場的電力線；⑶導體上電荷密度大的地方，電力線的數密度較大；⑷在導體

表面附近，E。和E，的矢量和的方向一定垂直于導體表面。因此，E，的方向相對于&

一定位于表面法線的另一側。

E，的電力線分布如圖所示。值得注意的是，單獨考慮感應

電荷的場E'時，導體并非等位體，表面也并非等位面，所以

感應電荷激發(fā)的場的電力線在外表面上會有一些起于正電荷而

止于負電荷。

如果撤去外電場&,靜電平衡被破壞，，E的電力淺不會維

持這個樣子。最后E，將因導體上的正、負電荷中和而消失。

2、無限大帶電面兩側的場強E=這個公式對于靠近有限

大小帶電面的地方也適用.這就是說，根據這個結果，導體表面元As上的電荷在緊靠

它的地方產生的場強也應是0726,它比導體表面處的揚強小一半。為什么？

答：可以有兩種理解：（1）為了用高斯定理求場強，需作高斯面。在兩種情形下，通過

此高斯面的電通量都是但在前一種情況，由于導體內部場強為零，通過位于導體內部

的底面的電通童為零，因而造成兩公式不同：（2）如果兩種情況面電荷密度相同，無限

大帶電平面的電力線對稱地分布在帶電面兩側，而導體表面電力線只分布在導體外

側，因此電力線的密度前者為后者的二分之一，故場強也為后者的二分之一。

3、根據式若一帶電導體面上某點附近電荷面密度為。，這時該點外側附近場強

為丘?；?如果將另一帶電體移近，該點的場強是否改變？公式￡=blj是否仍成立？

答：場強是所有電荷共同激發(fā)的。另一帶電體移近時，由于它的影響和導體上電荷分布的

變化，該點的場強E要發(fā)生變化。當達到靜電平衡時，因為表面附近的場強總與導體

表面垂直，應用高斯定理，可以證明仍然成立，不過此時的。是導體上的電荷重新分布

后該點的電荷密度。

4、把一個帶電物體移近一個導體殼，帶電體單獨在導體空腔內產生的電場是否等于零？靜

電屏蔽效應是怎樣體現的？

答：帶電體單獨在導體空腔內產生的場強不為零。靜電平衡的效應表現在，這個場強與導

體外表面感應電荷激發(fā)的場強，在空腔內的矢量和處處為零，從而使空腔內的場不受

殼外帶電體電場的影響。

5、萬有引力和靜電力都服從平方反比定律，都存在高斯定理。有人幻想把引力場屏旅起來，

這能否作到？引力場和靜電力有什么重要差別？

答：產生靜電平衡的關鍵，在于導體中存在兩種電荷，而且員電荷（電子）在電場力作，書下

能夠自由移動，因此在外電場作用下，能夠形成一附加電場，使得在導體殼內總場強

為零。引力場與此不同，引力場的源只有一種，因此在外部引力場的作用下不可能產

生一附加引力場，使得物質殼內部的引力場處處為零，所以屏蔽引力場是不可能的。

兩種場的重要差別在于：青爭電場的源有兩種，相應的電荷之間的作用力也有兩種，引

力初立7；引力場的源只有一種，相應的物質的引力相互作用只有一種引力。

6、（1）將一個帶正電的導體A移近一個不帶電的絕緣導體B時，導體B的電位是升高還是

降低？為什么？

（2）試論證：導體B上每種符號感應電荷的數量不多于A上的電量。

答：（1）A移近時，B的電位將升高。因為帶電體A移近時，B上將出現感應電荷，靠近A

的一邊感應電荷為負，遠離A的一邊為正。從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止

于負的感應電荷上，正的感應電荷發(fā)出的電力線延伸至無限遠，由于同一電力線其起

點的電位總是高于終點的電位，若選取無限遠處的電位為零，則正的感應電荷所在處

得體B）的電位大于零。靜電平衡時，導體B為等位休，因此整個導體B的電位大于

零，而在A未移近之前，B的電位為零?？梢姡擜移近時，B的電位升高了。

(2)從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止于B上，其余延伸至無限遠處，因此B上

的負電荷電量小于A上的正電荷電量，且B上感應電荷總是等量異號的，所以B導體上

每種電荷的電量均少于A上的電荷。

7、將一個帶正電的導體A移近一個接地的導體B時，導體B是否維持零電位？其上是否

帶電？

答：導體B與大地等電位'電位仍為零。不論B導體原來是否帶電，由于A所帶電荷的符

號、大小和位置的影響，B將帶負電。

8、一封閉的金屬殼內有一個帶電量q的金屬物體。試證明：要想使這金屬物體的電位與金

屬殼的電位相等，唯一的辦法是使q"。這個結論與金屬殼是否帶電有沒有關系？

答：若qHO.金屬殼的電位與帶電金屬物體的電位不等。應用高斯定理可證明，金屬殼內

表面上帶負電，電量為-q，從帶電的金屬物體上發(fā)出的電力線終止于金屬殼的內表面

上，因此帶電金屬物體的電位高于金屬殼的電位。反之，若q=0,金屬殼和金屬物體之

間無電場,電荷從它們中的一個移向另一個的過程中，沒有電場力做功，所以它們之間

無電位差。

由于青爭電屏蔽效應，金屬殼帶電與否，不會影響金屬殼表面上所包圍區(qū)域內的場強和

電位差，所以，金屬殼是否帶電對以上證明的結論沒有影響。

9、有若干個互相絕緣的不帶電導體A、B、C、…，它們的電位都是零。如果把其中任一個

如A帶上正電，證明：

(1)所有這些導體的電位都高于零；

(2)其他導體的電位都低于A的電位。

答：(1)與6題解釋相同。當選無限遠處電位為零時，一個不帶電的絕緣導體附近放入一個

帶正電的物體時，這個導體的電位將升高。因此電位不為零的帶正電絕緣導體A將使B-

C、…的電位高于零。

(2)由A發(fā)出的電力線總有一部分終止在其他各導體的負的感應電荷上，由于電力線指

向電位降低的方向，所以其他導體的電位都會低于A的電位。

10、兩導體上分別帶有電量-q和2q,都放在同一個封閉的金屬殼內。證明：電荷為+2q

的導體的電位高于金屬殼的電位。

答：應用高斯定理可證明，金屬殼內表面的感應電荷為一q。從電荷2q的導體表面發(fā)出的

電力線將有一部分終止于金屬殼內表面的負電荷上，根據電力線起點電位高于終點電

位的性質，電荷為2q為導體的電位高于金屬殼的電位。

11、一封閉導體殼C內有一些帶電體，所帶電量分別為0、①、…，C外也有一些帶電

體，所帶電量分別為8、QA…。問：

⑴①、①、…的大小對C外電場強度和電位有無影響？

(2)當①、①、??口的大小不變時，它們的分布形狀對C外的電場強度和電位影響如

何？

(3)Qi、Q2、…的大小對C內的電場強度和電，立有無影響？

(4)當0、Q2、…的大小不變時，它們的分布形狀對C內的電場強度和電位影響

如何？

答：(1)有影響。殼內電荷在殼的外表面產生等童同號的感應電荷，這些感應電荷將要影響

殼外的電場強度和電位。

(2)沒有影響。腔內帶電體上發(fā)出的電力線全部終止于內表面的等量異號的感應電荷

上，空腔內電荷分布發(fā)生變化時，內表面上感應電荷的分布也隨之發(fā)生變化，但力線不

穿過導體殼，因此只要腔內帶電體的總電量不變，導體殼外表面的電荷量就一定'而這

些電荷的分布狀態(tài)僅取決于外表面的形狀。形狀一定，電荷分布就一定，殼外電場和相

對于殼外任意點的電位也就一定。

(3)對C內的電場強度無影響，對電位有影響，但對兩點之間的電位差無影響。因為

外面電荷的場強與導體殼上感應電荷的場強在腔內的矢量和處處為零，因此外部電荷對

控內的電場強度沒有影響，因而對C內兩點之間的電位差也無影響。但是導體殼相對

于殼外任意點的電位要受殼外電場，即殼外電荷大小的影響，而腔內各點的電位與導

體殼的電位有關，所以腔內的電位受外部電荷大小的影響。

(4)對C內的場強無影響，對電位差也沒有影響，但對電位有影響。理由同上。

12、若上題中C接地，情況如何？

答：當C接地時，導體殼內和導體殼外將不發(fā)生任何互相影響。

13(1)一個孤立導體球帶電Q,其表面場強沿什么方向？Q在其表面上的分布是否均

勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導體內任一點P的場強是多少？為什么？

(2)當把另一帶電體移近這個導體球時，球表面場強沿什么方向？其上的電荷分布是否均

勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導體內任一點P的場強有無變化？為什

么？

答：(1)一個孤立帶電導體球，其表面場強必與表面垂直，即沿半徑方向，否則不會處于

靜電平衡狀態(tài)。場的分布具有球對稱性，球面上各點的電場強度數值相同，根據

E〃球面上各點的電荷密度也相同，即電荷分布是均勻的。既然場強總是垂直

于球面，所以球面是等位面。導體內任一點P的場強為零。

(2)當把另一帶電體移近時，達到靜電平衡后，球面的場強仍與表面垂直，否則將不會處

于靜電平衡狀態(tài)。這時，場的分布不再具有球對稱性，球面附近各點的場強數值不同，

因而電荷分布不是均勻的。既然導體表面處的場強仍處處垂直于導體表面，故表面仍

為等位面。導體球的電位將升高。導體內任一點P的場強仍為零。

14、(1)在兩個同心導體球B、C的內球上帶電Q,Q在其表面上的分布是否均勻?

(2)當從外邊把另一帶電體A移近這一對同心球時，內球C上的電荷分布是否均勻？

為什么？

答：(1)具有球對稱性，Q在內球的表面上分布是均勻的。

(2)A的移近使外球的外表面上感應出等量異號的感應電荷，但內部的電場不受A的

影響，仍具有球對稱性，內球上的電荷分布仍是均勻的。

15、兩個同心球狀導體，內球帶電Q,外球不帶電，試問：

(1)外球內表面電量Qi=?外球外表面電量Q2=?

(2)球外P點總場強是多少？

(3)Q2在P點產生的場強是多少？Q是否在P點產生場強？Q］是否在P點產生

場？如果外面球殼接地，情況有何變化？

答：⑴外球內表面電SQi=-Q；外球外表面電fi6=Q。

-10

(2)設球外P點到球心的距離為!■，則P點的總場強為E=—

4庇。r

(3)Q2在P點產生的場強是E=A2九Q和Q】都要在P點激發(fā)電場，不過，

4庇?！?/p>

其場強的矢量和為零。如果外面球殼接地，則Q2=0,仍有Q,=-Q,P點的場強為零。

16、在上題中當外球接地時，從遠處移來一個帶負電的物體，內、外兩球的電位增高還是

降低？兩球間的電場分布有無變化？

答：這時，內外兩球的電位卻不增高也不降低,外球仍與大地等電位。由于靜電屏蔽效衣，兩

球間的電場分布沒有變化。

I7、在上題中若外球不接地，從遠處移來一個帶負電的物體，內、外兩球的電位增高還是

降低？兩球間的電場分布有無變化？兩球間的電位差有無變化？

答：這時，內外兩球的電位要降低。由于靜電屏蔽效應，兩球間的電場無變化，兩球間各

點相對于地的電位要變化。因為每點的電位與外殼的電位有關。但是，任意兩點之間

的電位差沒有變化，因為兩點之間的電位差只由場強分布決定，場強分布不變時，電

位差不變。

I8、如圖所示，在金屬球A內有兩個球形空腔。此金屬球整體上不帶電。在兩空腔中心

各放置一點電荷qi和q2。此外在金屬球A之外遠處放置一點電荷q(q至A的中心距

離r?AA的半徑R)-作用在A、q?和q四物體上的靜電力各多大？

1??…q

答：電荷qi在其所在上感應出一qi的電荷，在A的外表面上感應出+qi的電荷;

q2在其所在空腔內壁上感應出一q?的電荷，在A的外表面上感應出+q?的電荷；因此

A的外表面上感應電荷的總電量為qi+q2o(r?R,q在球面上的感應電荷不計)qi和一qi

在空腔外產生的場強的矢：f【和為零,因此,它門對A球面上的電荷qi+q

2以及電荷q、q2沒有作用力。同樣，q2和一q2也是如此。電荷q和A球