高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練24直線與圓含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練14直線與圓[考情分析]直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是高考的重點，考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題，試題難度為中檔．【練前疑難講解】一、直線的方程1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．兩個距離公式(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．(2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).二、圓的方程圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).三、直線、圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離．一、單選題1．（2024·江蘇·一模）設(shè)為坐標(biāo)原點，圓與軸切于點，直線交圓于兩點，其中在第二象限，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京門頭溝·一模）若點是圓上的任一點，直線與軸、軸分別相交于、兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江蘇·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，則下列說法正確的是（

）A．若點是圓上一點，則的最大值是B．圓關(guān)于直線對稱C．若點是圓上一點，則的最小值是D．直線與圓相交8．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知點為圓：上的動點，點的坐標(biāo)為，，設(shè)點的軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為2B．曲線的方程為C．圓與曲線有兩個交點D．若，分別為圓和曲線上任一點，則的最大值為9．（2024·湖南衡陽·二模）已知圓是直線上一動點，過點作直線分別與圓相切于點，則（

）A．圓上恰有一個點到的距離為 B．直線恒過點C．的最小值是 D．四邊形面積的最小值為10．（2024·全國·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（）A．曲線的方程為B．若直線與曲線相交，則弦最短時C．當(dāng)三點不共線時，若點，則射線平分D．過A作曲線的切線，切點分別為，則直線的方程為三、填空題11．（2024·湖北武漢·二模）與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點的距離為的圓的方程為．12．（21-22高二上·湖北·期末）曲線所圍成的封閉圖形的面積為．13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知圓，圓，直線．若直線與圓交于兩點，與圓交于兩點，分別為的中點，則．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如下圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為．最短拉索的錨，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東·二模）已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則的右焦點到直線的距離為（

）A．2 B． C． D．43．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點為切點，若，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南長沙·期末）直線，圓．則直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．5．（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．（2024·江蘇南京·二模）“”是“過點有兩條直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·浙江麗水·二模）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（

）A． B． C． D．9．（2024·云南昆明·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．10．（2024·廣東佛山·二模）已知P是過，，三點的圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．2011．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．212．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含13．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知圓：與圓：交于A，B兩點，當(dāng)變化時，的最小值為，則（

）A．0 B．±1 C．±2 D．14．（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題15．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)直線：與圓C：，則下列結(jié)論正確的為（

）A．直線與圓C可能相離B．直線不可能將圓C的周長平分C．當(dāng)時，直線被圓C截得的弦長為D．直線被圓C截得的最短弦長為16．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D．當(dāng)時，和內(nèi)含17．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知曲線的方程為，則（

）A．當(dāng)時，曲線表示雙曲線B．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓C．當(dāng)時，曲線表示圓D．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓18．（2024·浙江溫州·一模）若圓與直線相切，且與圓相切于點，則圓的半徑為（

）A．5 B．3 C． D．三、填空題19．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若曲線在處的切線與直線垂直，則.20．（2024·湖南·二模）已知直線是圓的切線，點和點到的距離相等，則直線的方程可以是.（寫出一個滿足條件的即可）21．（21-22高三上·江蘇連云港·期中）已知拋物線與坐標(biāo)軸交于，，三點，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.22．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）點為圓上的動點，則的取值范圍為.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高二上·安徽阜陽·期中）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·重慶·一模）過點作圓的兩條切線，切點分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2023·北京西城·模擬預(yù)測）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．26．（22-23高一下·陜西西安·期末）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河北滄州·一模）過點作圓相互垂直的兩條弦與，則四邊形的面積的最大值為（

）A． B． C． D．158．（2024·廣西賀州·一模）已知點P為直線與直線的交點，點Q為圓上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2024·浙江·模擬預(yù)測）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．10．（22-23高二下·安徽合肥·開學(xué)考試）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，分別表示直線的斜率，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．存在點，使得 D．存在點，使得12．（2024·遼寧撫順·三模）已知拋物線，過點作直線，直線與交于兩點．在軸上方，直線與交于兩點，在軸上方，連接，若直線過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為B．直線過定點C．直線與直線的交點在直線上D．與的面積之和的最小值為．13．（2024·河南南陽·一模）已知雙曲線上一點A到其兩條漸近線的距離之積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線，其中，則（

）A．存在使得C為兩條直線B．存在使得C為圓C．若C為橢圓，則越大，C的離心率越大D．若C為雙曲線，則越大，C的離心率越小三、填空題15．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知直線與直線，若，則的最大值為.16．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為.17．（2024·廣東廣州·二模）已知分別是橢圓的右頂點，上頂點和右焦點，若過三點的圓恰與軸相切，則的離心率為．18．（2024·浙江·模擬預(yù)測）點關(guān)于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是.

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練14直線與圓[考情分析]直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是高考的重點，考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題，試題難度為中檔．【練前疑難講解】一、直線的方程1．兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．2．兩個距離公式(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．(2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).二、圓的方程圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).三、直線、圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離．一、單選題1．（2024·江蘇·一模）設(shè)為坐標(biāo)原點，圓與軸切于點，直線交圓于兩點，其中在第二象限，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京門頭溝·一模）若點是圓上的任一點，直線與軸、軸分別相交于、兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）圓與圓的公共弦長為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江蘇·階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，則下列說法正確的是（

）A．若點是圓上一點，則的最大值是B．圓關(guān)于直線對稱C．若點是圓上一點，則的最小值是D．直線與圓相交8．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知點為圓：上的動點，點的坐標(biāo)為，，設(shè)點的軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為2B．曲線的方程為C．圓與曲線有兩個交點D．若，分別為圓和曲線上任一點，則的最大值為9．（2024·湖南衡陽·二模）已知圓是直線上一動點，過點作直線分別與圓相切于點，則（

）A．圓上恰有一個點到的距離為 B．直線恒過點C．的最小值是 D．四邊形面積的最小值為10．（2024·全國·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是曲線．則下列說法正確的是（）A．曲線的方程為B．若直線與曲線相交，則弦最短時C．當(dāng)三點不共線時，若點，則射線平分D．過A作曲線的切線，切點分別為，則直線的方程為三、填空題11．（2024·湖北武漢·二模）與直線和直線都相切且圓心在第一象限，圓心到原點的距離為的圓的方程為．12．（21-22高二上·湖北·期末）曲線所圍成的封閉圖形的面積為．13．（23-24高二上·河北保定·期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為.14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知圓，圓，直線．若直線與圓交于兩點，與圓交于兩點，分別為的中點，則．參考答案：題號12345678910答案DCCADCABCDBCDACD1．D【分析】先根據(jù)圓的弦長公式求出線段的長度，再求出直線的傾斜角，即可求得與的的夾角，進而可得出答案.【詳解】由題意，圓心，到直線距離為，所以，直線的斜率為，則其傾斜角為，則與的的夾角為，所以.故選：D．

2．C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，AB最小，，此時.

故選：C3．C【分析】由點在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】由題意知，故，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實數(shù)的范圍為.故選：C.4．A【分析】作出圖形，分析可知當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.【詳解】如下圖所示：直線的斜率為，傾斜角為，故，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，易知直線交軸于點，所以，，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切，且切點位于軸下方時，取最小值，由圓的幾何性質(zhì)可知，且，則，故.故選：A.5．D【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，再求出圓心到公共弦的距離，由弦長即可求出兩圓的公共弦長.【詳解】由，作差得兩圓的公共弦所在直線的方程為．由，得．所以圓心，半徑，則圓心到公共弦的距離．所以兩圓的公共弦長為．故選：D．6．C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求以點為圓心，以3為半徑的圓和以點為圓心，以2為半徑的圓的公切線的條數(shù)求解.，【詳解】到點距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，同理到點距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，故所求直線為兩圓的公切線，又，故兩圓外切，所以公切線有3條，故選：C7．AB【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱可得，進而可得圓方程，根據(jù)斜率的意義，結(jié)合直線與圓相切即可求解A，根據(jù)圓心在直線上即可求解B，根據(jù)點到直線的距離公式即可求解CD.【詳解】設(shè)圓的圓心為．因為圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，圓的圓心為，半徑為2，所以圓的半徑為2，兩圓的圓心關(guān)于直線對稱，則解得所以，故圓的方程為．對于A，的幾何意義為圓上的點Px,y與坐標(biāo)原點O0,0連線的斜率，如圖，過原點作圓的切線，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，所以圓心到直線的距離，解得，故由圖可知的最大值是，故A正確；

對于B，圓心在直線上，則圓關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，表示圓上任意一點到直線的距離的倍，圓心到直線的距離為，所以的最小值是，故C錯誤；對于D，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故D錯誤．故選:AB．8．CD【分析】根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合正切的和差角公式即可求解A，根據(jù)向量關(guān)系，代入坐標(biāo)運算即可求解B，根據(jù)兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系即可判斷C，根據(jù)三點共線即可求解D.【詳解】對于A，當(dāng)直線與圓在第一象限相切時，（如圖）此時最大，進而最大，由于圓：的圓心，半徑，故,因此,,故A錯誤，對于B，設(shè)Bx,y，則，由于在圓：上，代入可得：，故B錯誤，對于C，由于曲線的方程為，為圓心為，半徑為的圓，故兩圓圓心距離為，故兩圓相交，因此有兩個交點，故C正確，對于D，由于，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，如圖,故的最大值為,故D正確，故選：CD9．BCD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出圓上點到直線距離的最值可判斷A錯誤；求出直線的方程可得其恒過點，利用弦長公式可求得AB的最小值是，可得BC正確；進而求得四邊形面積的最小值為，即D正確.【詳解】易知圓心，半徑，如下圖所示：對于A，圓心到直線的距離為，可得圓上的點到直線距離的最小值為,圓上的點到直線距離的最大值為，所以圓上恰有兩個點到的距離為，即A錯誤；對于B，設(shè)，可得；易知，由，整理可得，同理可得，即可知兩點在直線上，所以直線的方程為，即，令，解得，所以直線恒過定點，即B正確；對于C，由直線恒過定點，當(dāng)點與圓心的連線垂直于時，AB的值最小，點與圓心之間的距離為，所以，故C正確；對于D，四邊形的面積為，根據(jù)切線長公式可知，當(dāng)PC最小值，最小，，所以，故四邊形的面積為，即D正確；故選：BCD10．ACD【分析】由點的軌跡滿足已知條件列兩點間距離公式化簡可求A選項；由弦長公式和基本不等式可求B選項；由角平分線定理的逆定理可求C選項；由幾何關(guān)系和兩圓方程相減可得兩圓公共弦方程可求D選項.【詳解】A：設(shè)Px,y，因為A?2,0，動點滿足，所以，化簡可得，故A正確；B：由選項A可知，圓心1,0，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，設(shè)弦長為，由弦長公式得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，所以弦最短時，故B錯誤；C：因為，則，又，所以，，則，所以由角平分線定理的逆定理可知射線平分，故C正確；D：過A作曲線的切線，切點分別為，則由集合關(guān)系可知在以為直徑的圓上，半徑為，圓心為，此圓方程為，兩圓方程相減可得公共線的方程為，故D正確；故選：ACD.11．【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意列關(guān)于的方程，求出它們的值，進而求得半徑，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由于所求圓與直線和直線都相切，故，化簡為，而，則，又圓心到原點的距離為，即，解得，即圓心坐標(biāo)為，則半徑為，故圓的方程為，故答案為：12．【分析】首先判斷曲線關(guān)于軸，軸對稱，從而確定曲線在第一象限內(nèi)與軸所圍成的圖形，再求出圖形的面積.【詳解】對于曲線，在上式中，將y換成得，即曲線關(guān)于x軸對稱，將x換成得，即曲線關(guān)于y軸對稱，因此只需考慮在第一象限的情形，當(dāng)，時曲線即，即，所以曲線在第一象限內(nèi)與x軸所圍成的圖形是由半徑為的圓去掉一個等腰直角三角形而形成的圖形，根據(jù)對稱性可得曲線所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，所以所圍成的封閉圖形的面積．故答案為：.13．【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再表示出漸近線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可得到，即可求出離心率.【詳解】圓即，圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，所以，所以離心率.故答案為：14．【分析】利用點到直線的距離公式，以及兩點之間的距離公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由題可得：，故，滿足，故兩圓相交，連接，過作，垂足為，如下圖所示：由點到直線的距離公式可得，，則，又，在直角三角形中，由勾股定理可得.故答案為：.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如下圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為．最短拉索的錨，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東·二模）已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則的右焦點到直線的距離為（

）A．2 B． C． D．43．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點為切點，若，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南長沙·期末）直線，圓．則直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．5．（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．（2024·江蘇南京·二模）“”是“過點有兩條直線與圓相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·浙江麗水·二模）復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·吉林白山·一模）已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點，則的最小值是（

）A． B． C． D．9．（2024·云南昆明·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．10．（2024·廣東佛山·二模）已知P是過，，三點的圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．2011．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．212．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含13．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知圓：與圓：交于A，B兩點，當(dāng)變化時，的最小值為，則（

）A．0 B．±1 C．±2 D．14．（2024·河北石家莊·三模）已知圓和圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題15．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）設(shè)直線：與圓C：，則下列結(jié)論正確的為（

）A．直線與圓C可能相離B．直線不可能將圓C的周長平分C．當(dāng)時，直線被圓C截得的弦長為D．直線被圓C截得的最短弦長為16．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D．當(dāng)時，和內(nèi)含17．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知曲線的方程為，則（

）A．當(dāng)時，曲線表示雙曲線B．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓C．當(dāng)時，曲線表示圓D．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓18．（2024·浙江溫州·一模）若圓與直線相切，且與圓相切于點，則圓的半徑為（

）A．5 B．3 C． D．三、填空題19．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若曲線在處的切線與直線垂直，則.20．（2024·湖南·二模）已知直線是圓的切線，點和點到的距離相等，則直線的方程可以是.（寫出一個滿足條件的即可）21．（21-22高三上·江蘇連云港·期中）已知拋物線與坐標(biāo)軸交于，，三點，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.22．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）點為圓上的動點，則的取值范圍為.參考答案：題號12345678910答案CCBBCBBACB題號1112131415161718答案BDCCBDABCACBD1．C【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算，，再利用斜率的定義可解.【詳解】根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，且均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為，則，即點，同理，又，即點，所以，，故選：C.2．C【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線，解得的值，從而求得右焦點到直線的距離即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，解得，所以雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，所以的右焦點到直線的距離為.故選：C.3．B【分析】根據(jù)題意，由圓的定義可知點的軌跡為圓，再由圓的方程即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以點到圓心的距離恒為，所以點的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，即，故選：B4．B【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得直線過圓心,從而可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,直線過圓心,所以直線被圓所截得的弦長等于直徑長度4.故選:B．5．C【分析】根據(jù)對稱可知是圓和圓圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由點斜式方程即可．【詳解】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．6．B【分析】由已知點在圓外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得答案.【詳解】由題意，點在圓外，則有，，所以“”是“過點有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件.故選：B7．B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及兩點間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè),則所以，又，所以，即，所以對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)平面內(nèi)的點到點的距離，所以的最小值是.故選：B.8．A【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為，半徑，則，直線PQ與圓C相切，有，因為點Q在直線l上，所以，則．即的最小值是.故選：A9．C【分析】根據(jù)兩點距離公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面積公式即可求解.【詳解】由，得,則圓心，則，則，則四邊形的面積為.故選：C10．B【分析】由向量的坐標(biāo)運算可得，即得是以為直徑的圓上的三點，從而可求得結(jié)果.【詳解】依題意，，則，因此線段是圓的直徑，且，而點是該圓上的點，所以的最大值為.故選：B11．B【分析】先計算直線到圓心的距離，然后根據(jù)勾股定理得到，從而代入條件即可解出，從而得到.【詳解】如圖所示：

設(shè)坐標(biāo)原點到直線的距離為，則.設(shè)線段的中點為，則，根據(jù)勾股定理，有.由，得，故，解得，故.故選：B.12．D【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：，所以圓心，半徑為.由點到直線距離公式得：，且，所以.又圓的圓心，半徑為：1.所以，.由，所以兩圓內(nèi)含.故選：D13．C【分析】先求兩個圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長的表達式，結(jié)合最值可得答案.【詳解】兩圓的公共弦所在線的方程為：，圓心到直線的距離為，，因為，所以，所以，解得.故選：C14．C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求兩圓圓心距及兩圓半徑，從而可判斷兩圓位置關(guān)系，即可得公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，則，故兩圓外切，則兩圓公切線的條數(shù)為.故選：C.15．BD【分析】對于A，由直線過圓內(nèi)的定點即可判斷；對于B，直線不可能過圓心即原點，由此即可判斷；對于CD，由點到直線距離公式、圓的弦長公式驗算即可.【詳解】因為直線過定點，且點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，A錯誤；若直線將圓的周長平分，則直線過原點，此時直線的斜率不存在，但這是不可能的，所以B正確；當(dāng)時，直線的方程為，圓心C到直線的距離為，所以直線被截得的弦長為，C錯誤；因為圓心到直線的距離為，所以直線被截得的弦長為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，D正確，故選：BD.16．ABC【分析】首先得到兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出圓心距，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系由圓心距與半徑的和差關(guān)系得到不等式（方程），即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時，，則和相交，故D錯誤.故選：ABC．17．AC【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓以及圓的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，表示焦點在軸雙曲線，故A正確，對于B，當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，B錯誤，對于C,當(dāng)時，,表示圓，C正確，對于D,當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D錯誤，故選：AC18．BD【分析】由已知得圓心在軸，設(shè)圓心為，然后由圓與直線相切及過點列方程組求得圓心后再求得半徑．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓與圓相切于點，則圓心在軸，設(shè)圓心為，則由題意，解得或，時，半徑為，時，半徑為，故選：BD．19．【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系求解.【詳解】由題意得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故在處切線的斜率為，直線的斜率存在為，根據(jù)題意得，，解得.故答案為:.20．（寫出一個滿足條件的即可）【分析】當(dāng)時設(shè)的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑求出，若經(jīng)過的中點，分斜率存在與斜率不存在兩種情況討論，分別求出切線方程，即可得解.【詳解】若，此時的斜率為.設(shè)的方程為，則點到的距離，解得，因此的方程為或.若經(jīng)過的中點，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，此時的方程為，滿足與圓相切；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)其方程為，則點到直線的距離，解得，此時直線的方程為.故答案為：（寫出一個滿足條件的即可）.21．【分析】由題意分別計算，，三點的坐標(biāo)，設(shè)圓：，代入三點的坐標(biāo)計算，再寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】令，則，解得，即，；令，得，即，設(shè)圓：，所以，∴.所以圓的方程為.故答案為：22．【分析】法一：設(shè)，代入方程得到，從而題目實際上就是求的取值范圍使得該方程有解，而這直接使用二次方程判別式就可得到結(jié)果；法二：利用圓的幾何性質(zhì)，將命題轉(zhuǎn)化為距離問題，再使用距離公式求解.【詳解】法一：我們要求的取值范圍使得存在滿足，，由于滿足前一個方程的必不為零，故這等價于，.而這又可以等價轉(zhuǎn)化為，，故我們就是要求的取值范圍，使得關(guān)于的方程有解.該方程中的系數(shù)顯然非零，所以命題等價于，解得.法二：由于圓和軸無公共點，故命題等價于求實數(shù)的取值范圍，使得直線和圓有公共點.該圓的方程可化為，故命題等價于點到直線的距離不超過，即.解得.故答案為：.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知，若點P滿足，則點P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高二上·安徽阜陽·期中）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點的曼哈頓距離為：.已知點在圓上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·重慶·一模）過點作圓的兩條切線，切點分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2023·北京西城·模擬預(yù)測）已知圓，過直線上的動點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．26．（22-23高一下·陜西西安·期末）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河北滄州·一模）過點作圓相互垂直的兩條弦與，則四邊形的面積的最大值為（

）A． B． C． D．158．（2024·廣西賀州·一模）已知點P為直線與直線的交點，點Q為圓上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2024·浙江·模擬預(yù)測）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．10．（22-23高二下·安徽合肥·開學(xué)考試）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，分別表示直線的斜率，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．存在點，使得 D．存在點，使得12．（2024·遼寧撫順·三模）已知拋物線，過點作直線，直線與交于兩點．在軸上方，直線與交于兩點，在軸上方，連接，若直線過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率為1，則直線的斜率為B．直線過定點C．直線與直線的交點在直線上D．與的面積之和的最小值為．13．（2024·河南南陽·一模）已知雙曲線上一點A到其兩條漸近線的距離之積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線，其中，則（

）A．存在使得C為兩條直線B．存在使得C為圓C．若C為橢圓，則越大，C的離心率越大D．若C為雙曲線，則越大，C的離心率越小三、填空題15．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知直線與直線，若，則的最大值為.16．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為.17．（2024·廣東廣州·二模）已知分別是橢圓的右頂點，上頂點和右焦點，若過三點的圓恰與軸相切，則的離心率為．18．（2024·浙江·模擬預(yù)測）點關(guān)于直線的對稱點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是.參考答案：題號12345678910答案CCDDCADBAC題號11121314答案ABDABDACDABD1．C【分析】由點為圓與橢圓的焦點，可得，，結(jié)合條件，應(yīng)用勾股定理即可得.【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設(shè)，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.2．C【分析】先確定的軌跡以及直線過的定點，再根據(jù)圓的性質(zhì)特點求最值.【詳解】由可得點的軌跡為以線段為直線的圓，圓心為，半徑為，又直線，其過定點，故距離的最大值為.故答案為：C3．D【分析】如圖，作過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點，結(jié)合直線的斜率得出平行于軸，最小，再設(shè)，求出，利用三角函數(shù)知識得最小值．【詳解】如圖，過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點表示的長度，因為直線的方程為，所以，即，當(dāng)固定點時，為定值，此時AB為零時，最小，即與重合（平行于軸）時，最小，如圖所示，設(shè)，，則，，由三角函數(shù)知識可知，其中，則其最大值是，所以，故D正確.故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到，再利用輔助角公式即可求出其最值.4．D【分析】根據(jù)給定條件，求出點的軌跡，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形是正方形，，因此點在以點為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以O(shè)P的取值范圍為.故選：D5．C【分析】連接，，當(dāng)最小時，最小，計算點到直線的距離得到答案.【詳解】如圖所示：連接，則，當(dāng)最小時，最小，，故的最小值為.故選：C.6．A【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；設(shè)，切線為、，則，中，，所以．故選：A．7．D【分析】記，由題意可知，易得，再利用基本不等式，得出其最值.【詳解】如圖所示：,記,則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以四邊形的面積的最大值為.故選：D

8．B【分析】先求出點的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】因為點為直線與直線的交點，所以由可得，且過定點，過定點，所以點的軌跡是以點與點為直徑端點的圓(去除)，圓心為，半徑.而圓的圓心為，半徑為，所以