5.2三角函數(shù)的概念【四大必考點(diǎn)+十大秒殺招+八大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類

5.2三角函數(shù)的概念【四大必考點(diǎn)+十大秒殺招+八大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角函數(shù)的概念(1)任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sinα余弦函數(shù)把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cosα正切函數(shù)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)三角函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)注：三角函數(shù)的定義(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng)．(2)三角函數(shù)是用比值來(lái)定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．(3)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P(x，y)在角α終邊上的位置無(wú)關(guān)，只由角α的終邊位置決定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．(2)三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域y＝sinxx∈Ry＝cosxx∈Ry＝tanxx≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)知識(shí)點(diǎn)02三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知識(shí)點(diǎn)03誘導(dǎo)公式(一)名稱符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言誘導(dǎo)公式(一)sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等注：公式一的理解(1)公式一的實(shí)質(zhì)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：①左、右為同一三角函數(shù)；②公式左邊的角為α＋k·2π(k∈Z)，右邊的角為α.知識(shí)點(diǎn)04同角三角函數(shù)的基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系關(guān)系式語(yǔ)言敘述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式及常用結(jié)論①平方關(guān)系變形及常用結(jié)論sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.②商的變形sinα＝tanαcosα，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1.(3)sin2α是(sinα)2的簡(jiǎn)寫，不能寫成sinα2.(4)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義的情況下的恒等式．(5)在使用同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)要注意使式子有意義，如式子tan90°＝eq\f(sin90°,cos90°)不成立．(6)在應(yīng)用平方關(guān)系式求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定的．解題大招解題大招大招01任意角的三角函數(shù)的定義如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么：（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即．對(duì)于確定的值，比值，，分別是唯一一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以正弦、余弦、正切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．大招02利用三角函數(shù)的定義求值的策略已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．(2)注意角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).提醒：角α是一個(gè)任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)集．大招03判斷三角函數(shù)值的符號(hào)各三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)如圖所示．【說(shuō)明】（1）對(duì)各象限角對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值和正切值來(lái)說(shuō)，第一象限各三角函數(shù)值全都是正號(hào)，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．（2）各象限三角函數(shù)值正號(hào)規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦．大招04確定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)的方法(1)三角函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)三角函數(shù)的定義，由各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)得出的．(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號(hào)表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．大招05公式一的應(yīng)用公式一可以統(tǒng)一寫成f(k·360°＋α)＝f(α)或f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0到2π角的三角函數(shù)值，即可把負(fù)角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，亦可以把大于2π角的三角函數(shù)化為0到2π角的三角函數(shù)，即對(duì)角實(shí)現(xiàn)負(fù)化正、大化小的轉(zhuǎn)化．大招06求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開(kāi)方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．大招07sinα±cosα，sinαcosα的應(yīng)用1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以利用平方關(guān)系求其他兩個(gè)，即“知一求二”．2、sinθ±cosθ的符號(hào)的判定方法sinθ－cosθ的符號(hào)的判定方法：由三角函數(shù)的定義知，當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x上時(shí)，sinθ＝cosθ，即sinθ－cosθ＝0，當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x的上半平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，sinθ>cosθ，即sinθ－cosθ>0；當(dāng)θ的終邊落在直線y＝x的下半平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，如圖①所示．同理可得sinθ＋cosθ的符號(hào)如圖②所示．大招08齊次式求值1、已知，可以求或的值，將分子分母同除以或，化成關(guān)于的式子，從而達(dá)到求值的目的.2、對(duì)于的求值，可看成分母是1，利用進(jìn)行代替后分子分母同時(shí)除以,得到關(guān)于的式子，從而可以求值.3、不是已知的情況，可以先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值，然后利用齊次式的方法求解.4、齊次式的化切求值問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).大招09三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．(3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．大招10證明三角恒等式常用的方法(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)．(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)地進(jìn)行變形，以消除差異．(4)變更命題法，如要證明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可證ad＝bc，或證eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等．(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”．題型分類題型分類題型01任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例1】已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)?1,2，則cosα=（A．33 B．233 C．?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【解答過(guò)程】由題意，cosα=故選：C.【變式1-1】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)sin5π6,cosA．?3 B．3 C．?33【變式1-2】已知α是第二象限的角，Px,2為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=13，則A．?4 B．±4 C．±42 D．題型02由單位圓求三角函數(shù)值【例2】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P?31010,A．?21010 B．?1010 【解題思路】利用角的終邊與單位圓相交來(lái)定義任意角的三角函數(shù)值.【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊與單位圓的交點(diǎn)P?令x=?3所以sinα=y=所以sinα+故選：A.【變式2-1】設(shè)a<0，角α的終邊與圓x2+y2=1的交點(diǎn)為P(?3aA．?25 B．?15 C．【變式2-2】在單位圓中，已知角α的終邊上與單位圓的交點(diǎn)為P?35,4A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題型03三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)【例3】若sinθtanθ>0，則A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閟inθtanθ在第一象限時(shí)sinθ>0,在第四象限時(shí)sinθ<0,所以θ是第一、四象限角，而二、三象限兩函數(shù)值異號(hào).故選：D.【變式3-1】若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上，sinα<0且tanα>0，則α的終邊在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】若π<θ<3π2，則點(diǎn)A．一 B．二 C．三 D．四題型04誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例4】sin390°的值為（

A．32 B．22 C．12【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可.【解答過(guò)程】sin390°=故選：C.【變式4-1】cos25π3A．32 B．12 C．?3【變式4-2】sin?29πA．?32 B．?12 C．題型05同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【例5】若α為第二象限角，且sinα=32，則tanA．3 B．?3 C．33 【解題思路】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，且sinα=32得到tanα=故選：B.【變式5-1】已知θ是三角形的內(nèi)角，若sinθ?cosθ=15A．75 B．?15 C．?【變式5-2】若tanα=?34，cosα<0，則A．45 B．?45 C．3題型06正、余弦齊次式的計(jì)算【例6】已知tanα=3，則2sinα+A．1 B．3 C．5 D．7【解題思路】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)原式即可直接得答案.【解答過(guò)程】將2sinα+cos2sin故選：D.【變式6-1】已知tanα=?2，則sinαcosA．3 B．-3 C．2 D．-2【變式6-2】已知角α的終邊在函數(shù)y=2x的圖象上，則1?2sinA．?25 B．±25 C．題型07三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值【例7】（1）已知tanα=23（2）若sinα?cosα=【解題思路】（1）齊次化得到1sin（2）sinα?cosα=【解答過(guò)程】（1）tanα=23（2）因?yàn)閟inα?cosα=整理得到2sinαcos【變式7-1】化簡(jiǎn)：(1)1+2sin(2)sin2【變式7-2】已知2cos(1)tanα(2)2sin題型08三角恒等式的證明【例8】證明下列恒等式：(1)sin2(2)21?【變式8-1】求證：(1)sin2(2)已知tanα=13【變式8-2】求證：(1)sinα?cosα+1(2)2分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．和 B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．對(duì)任意且，函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B．?2 C． D．5．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來(lái)越得到人們的喜愛(ài)，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺(jué)更自然、更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫、豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn).如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點(diǎn)，若照片長(zhǎng)、寬比例為8：5，設(shè)，則（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，那么角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在角終邊上，且，則（

）A． B． C． D．9．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A(1,,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則P、Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是A．(0,0) B．(0,1) C．(-1,0) D．(0,-1)10．如圖，質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為，角速度為2，則點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．11．（多選）已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則的值可能是（

）A． B． C． D．12．（多選）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為，則該扇形的面積為 B．C．經(jīng)過(guò)4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了 D．13．（多選）若角的終邊在第三象限，則的值可能為（

）A．0 B．2 C．4 D．14．已知，，求下列式子(1)(2)(3)和和15．已知，且有意義．(1)試判斷角α的終邊所在的象限；(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值及的值．

【能力提升】1．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同的兩個(gè)函數(shù)B．當(dāng)正整數(shù)越來(lái)越大時(shí)，的底數(shù)越來(lái)越小，指數(shù)越來(lái)越大，的值也會(huì)越來(lái)越大，但是不會(huì)超過(guò)某一個(gè)確定的常數(shù)C．如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)D．如果，則是第一象限角或第二象限角4．“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件5．若為方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C． D．6．當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．6 B．10 C．12 D．167．已知均為第二象限角，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．下列