四川省巴中市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期零診考試?yán)砜圃囶}含解析

Page18巴中市一般中學(xué)2024級“零診”考試數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.設(shè)全集，若集合滿意．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由補(bǔ)集的概念得后對選項逐一推斷詳解】由題意得，故B正確故選：B2.若復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.3 D.－3【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)為，可求虛部.【詳解】因為，所以；所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.3.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出時的的取值，然后利用條件的定義進(jìn)行判定.【詳解】因為直線：，：，若，則，即；所以“”是“”的充分不必要條件；故選：A.4.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用焦點(diǎn)到漸近線的距離得出，再求得后可得離心率【詳解】由雙曲線可得，一條漸近線：，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離，所以，離心率.故選：D5.已知，是兩個不同的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系逐一推斷即可.【詳解】對于A，若，，則或，錯誤；對于B，若，，還須要條件而不是才能得到，錯誤；對于C，若，，則或，又因為，則，正確；對于D，若，，，還須要條件才能得到，錯誤.故選：C.6.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，且，則（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式與三角函數(shù)的定義求解【詳解】由題意得，得，而在終邊上，故，得故選：A7.函數(shù)在區(qū)間上的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，然后代入計算，從而得正確答案.【詳解】，

為奇函數(shù)，解除A；又，解除B；，即，解除C，故選：D8.已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則（）A.0 B.1 C.2024 D.2024【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，推斷出是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，；因為，所以是等差數(shù)列；因為，所以，所以；故選：A9.已知點(diǎn)在直角的斜邊上，若，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可用表示，從而可求其范圍.【詳解】設(shè)，其中，則，從而，故，故選：D.10.設(shè)，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出平移后函數(shù)的解析，再依據(jù)兩個圖象重合可求的解析式，從而可求其最值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后對應(yīng)的解析式為：，但該函數(shù)圖象與的圖象重合，故，故，但，故，故選：B.11.已知定義在上的函數(shù)滿意，當(dāng)時，．若對隨意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系以及所給解析式，求出相關(guān)區(qū)間的解析式，利用可求答案.【詳解】因為當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；令，得或（舍）；若對隨意，都有，則的取值范圍是.故選：B.12.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)兩邊取對數(shù)后構(gòu)造函數(shù)及，再利用單調(diào)性可求解【詳解】由，，可得，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以，即，從而可知.由，,可得，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以，即，從而可知.綜上可得.故選：C二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．13.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用二項綻開式的通項公式即可求解.【詳解】.故答案為：.14.某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用（萬元）與銷售額（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）2356銷售額（萬元）28314148依據(jù)上表可得回來方程，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為8萬元時銷售額為______萬元．【答案】【解析】【分析】計算出樣本中心后可求，從而可求廣告費(fèi)用為8萬元時銷售額.【詳解】，，所以，，所以廣告費(fèi)用為8萬元時銷售額（萬元）故答案為：15.在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球的體積為______．【答案】【解析】【分析】由題意可推出AD,CD,BD兩兩垂直，故以AD,CD,BD為相鄰的棱構(gòu)造一個相鄰三條棱長為2,2,4的長方體，三棱錐的外接球即該長方體的外接球，由此可求答案.【詳解】因為平面，平面，故又，，，故,,所以,即,故AD,CD,BD兩兩垂直，故以AD,CD,BD為相鄰棱構(gòu)造一個相鄰三條棱長為2,2,4的長方體，如圖：則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，外接球半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，故答案為：16.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則______，的取值范圍為______．【答案】①.##；②.【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合即可求出，進(jìn)而求出；先切化弦將轉(zhuǎn)化為，再由結(jié)合三角恒等變換得，結(jié)合的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的范圍，即可求解.【詳解】由正弦定理得，又，則，又，則，則，則；，由可得，又為銳角三角形，則，可得，則，又，則，則，即，則.故答案為：；.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17.已知數(shù)列的前項和為，若，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可將題設(shè)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推關(guān)系，從而可求其通項.（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】因為，故，故即而，故，故，故，且，故，所以為等比數(shù)列，且首項為2，公比為2，從而.【小問2詳解】,故，故，所以，所以.18.自《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入到綠色運(yùn)動“健步走”行列以提高自身的健康水平與身體素養(yǎng)．某調(diào)查小組為了解本市不同年齡段的市民在一周內(nèi)健步走的狀況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果如下表所示，其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的，45歲以上（含45歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．一周內(nèi)健步走萬步一周內(nèi)健步走＜5萬步總計45歲以上（含45歲）9045歲以下總計（1）請將題中表格補(bǔ)充完整，并推斷是否有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；（2）現(xiàn)從樣本中45歲以上（含45歲）的人群中按一周內(nèi)健步走的步數(shù)是否少于5萬步用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷，記抽取的兩人中一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0.1500.1000.0500.0252.0722.7063.8415.024，其中．【答案】（1）完善表格見解析；有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】【分析】（1）依據(jù)樣本總數(shù)200，以及所給比例可完善表格，計算卡方，結(jié)合臨界值進(jìn)行推斷；（2）先依據(jù)分層抽樣明確各層人數(shù)，然后確定的全部取值，逐個求解概率，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】一周內(nèi)健步走萬步一周內(nèi)健步走＜5萬步總計45歲以上（含45歲）903012045歲以下503080總計14060200，所以有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)；【小問2詳解】由題意知，從45歲及以下的市民中按分層抽樣法抽取一周內(nèi)健步走的步數(shù)不少于5萬步的市民5人，一周內(nèi)健步走的步數(shù)少于5萬步市民的3人；從這8人隨機(jī)抽取2人，則的全部取值為0,1,2.，，；所以分布列為012數(shù)學(xué)期望.19.如圖，正方形和直角梯形所在平面相互垂直，，，且，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先由證得∥平面，同理證得∥平面，進(jìn)而證得平面∥平面，即可證得平面；（2）先證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，由向量夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】由正方形的性質(zhì)知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；【小問2詳解】平面平面，平面平面，平面，則平面，又，則平面，又，則兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由得：，則，設(shè)平面的法向量為，則，取得，又易得平面的一個法向量為，則，又二面角為銳角，則二面角的余弦值為.20.已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且直線的斜率與直線的斜率之積為．（1）求橢圓的方程；（2）若圓的切線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值及此時直線的斜率．【答案】（1）（2），此時直線的斜率為【解析】【分析】（1）依據(jù)斜率之積為定值可求出，再利用算出干脆寫出橢圓方程即可；（2）分類探討當(dāng)直線斜率不存在時，可求出弦長，當(dāng)斜率存在時，切線方程為與橢圓聯(lián)立，依據(jù)弦長公式求出弦長的最大值即可求解.【小問1詳解】由橢圓可得，所以，解得，因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)，故得到，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)切線垂直軸時，的橫坐標(biāo)為1或-1，由于橢圓的對稱性，不妨設(shè)的橫坐標(biāo)為1，代入橢圓得解得，所以；當(dāng)切線不垂直軸時，設(shè)切線方程為即，所以圓心到切線的距離，得，把代入橢圓方程，整理得設(shè)，則，設(shè)，則，則，所以，綜上所述，，此時，因為，所以直線的斜率為【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)有零點(diǎn)；（2）若對隨意正數(shù)，且，總存在正數(shù)使得．摸索究與的大小，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用零點(diǎn)存在定理可證明函數(shù)有零點(diǎn)；（2）利用導(dǎo)數(shù)可證明：，從而可證.【小問1詳解】，當(dāng)時，，故，由零點(diǎn)存在定理可得當(dāng)時，函數(shù)有零點(diǎn).【小問2詳解】因為，，整理得到，下證：，即證，令，則，即證：，設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，故，即，故，故，即，所以，故，整理得到：，但，故，所以，所以.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題記分．22.在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于A，兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1），（t為參數(shù)）；（2）【解析】【分析】（1）由直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，可干脆寫出其參數(shù)方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,利用參數(shù)的幾何意義可求得的值.【小問1詳解】因為直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，故直線的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），即，（t為參數(shù)）；由可得，即，將代入，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】設(shè)A,B兩點(diǎn)對