指、對函數(shù)的切線不等式的應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計

第第頁指、對函數(shù)的切線不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計一、教材分析人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊第94頁練習(xí)第2題證明不等式，第99頁習(xí)題第12題，要求利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗證。這兩個不等式的實質(zhì)是曲線和它的切線之間的關(guān)系，不妨稱之為“切線不等式”，可以實現(xiàn)以直代曲，將超越函數(shù)化為一次函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，其在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中有著廣泛應(yīng)用。二、學(xué)生學(xué)情分析1.學(xué)生已具備的能力：掌握指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的函數(shù)問題，具備一定分析、轉(zhuǎn)化問題的能力。2.學(xué)生面臨的困難：指數(shù)、對數(shù)切線放縮及變形解題是近幾年高考命題的熱點問題，此類問題涉及超越不等式，難度較大，學(xué)生經(jīng)常無從下手。三、教學(xué)目標(biāo)分析1.通過觀察圖象從“形”的角度認(rèn)識指、對函數(shù)的切線不等式，并且能從“數(shù)”的角度證明這兩個切線不等式；2.能通過典型例題，依據(jù)函數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行切線不等式的代數(shù)變形和放縮，提高思維能力和解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)；3.借助“切線不等式”可以實現(xiàn)以直代曲，將超越函數(shù)化為一次函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，進(jìn)一步體會其在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的廣泛應(yīng)用。四、教學(xué)重點與難點1.教學(xué)重點：切線不等式的應(yīng)用。2.教學(xué)難點：切線不等式的代數(shù)變形和放縮技巧。五、教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入主題如圖1，曲線在點處的切線是直線，由此得到指數(shù)函數(shù)的切線不等式．如圖2，曲線在點處的切線是直線，由此得到對數(shù)函數(shù)的切線不等式．圖1圖2我們由圖象可以得到指、對函數(shù)的切線不等式，那能否利用函數(shù)的單調(diào)性，證明這兩個切線不等式？（1）指數(shù)函數(shù)的切線不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．證明設(shè)，定義域為，則，由，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．（2）對數(shù)函數(shù)的切線不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．證明設(shè)，定義域為，則，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．【設(shè)計意圖】從“形”的角度認(rèn)識指、對函數(shù)的切線不等式，并且從“數(shù)”的角度證明這兩個切線不等式。理解切線不等式中涉及的函數(shù)的幾何意義是曲線與其切線的位置關(guān)系。類比探究，思維拓展如圖3，曲線過點處的切線是直線，切點為，由此得到不等式．如圖4，曲線過點處的切線是直線，切點為，由此得到不等式．圖3圖4對于指數(shù)函數(shù)的切線不等式：，用替換得到，即，用替換得到對數(shù)函數(shù)的切線不等式；對于對數(shù)函數(shù)的切線不等式：，用替換得到，用替換得到指數(shù)函數(shù)的切線不等式；通過代數(shù)變形，可以實現(xiàn)對，的靈活縮放?！驹O(shè)計意圖】探究過程的本質(zhì)是等量替換之后不等式的不變性。學(xué)生通過不同的變換探索、發(fā)現(xiàn)不等式，感悟其中的變化規(guī)律，并且要數(shù)形結(jié)合地記憶。突出用數(shù)學(xué)探究培養(yǎng)學(xué)生的思維，滲透研究問題的基本思想和基本方法，能夠讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)運算是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種有效方法。（三）實際應(yīng)用，典例精講例1已知，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（

C）A．B．C． D．解析：由切線不等式，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號，

可以得到，而，所以．由切線不等式，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，可以得到，所以．

【設(shè)計意圖】利用指數(shù)函數(shù)的切線不等式放縮比較出，利用對數(shù)函數(shù)的切線不等式放縮比較出，應(yīng)用切線放縮進(jìn)行指數(shù)式、對數(shù)式比較大小可以減少運算量。例2已知函數(shù)．證明：當(dāng)時，．分析：先用進(jìn)行放縮去掉參數(shù)，原不等式的證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明．作出函數(shù)和函數(shù)的圖象都與直線相切（如圖5），從而聯(lián)想到切線不等式和即可解決。圖5證明：當(dāng)時，，故只需證成立．設(shè)，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．設(shè)，則，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以．綜上所述，，，故原不等式成立．【設(shè)計意圖】此題連續(xù)使用三次放縮，第一次使用參數(shù)放縮法，把參數(shù)放縮成，第二次使用放縮，第三次使用不等式放縮。要熟練掌握切線不等式的推導(dǎo)和變形，這樣應(yīng)用時才能夠游刃有余。例3已知函數(shù)．若，求實數(shù)的取值范圍．分析：要證，即證，即證，即證．函數(shù)和函數(shù)的圖象都與直線相切（如圖6），從而聯(lián)想到切線不等式和．圖6證明：要證，即證，即證，即證．由切線不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，變形得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．由切線不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，變形得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，此時．【設(shè)計意圖】例3要對證明的不等式等價變形，把含有指數(shù)式化為含有指數(shù)式和對數(shù)式的同構(gòu)式，再利用切線不等式放縮。幫助學(xué)生積累一定的分析、求解題目的經(jīng)驗，在證明含有，的不等式時能夠聯(lián)想到切線不等式及其拓展，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。例4已知函數(shù)．若，求實數(shù)的取值范圍．分析：不等式恒成立，移項變形為，左邊指數(shù)式，右邊含有對數(shù)式，聯(lián)想切線不等式，用一次函數(shù)替換超越函數(shù)，左邊，右邊．解：即為，移項得①，由得，由題可知，所以，由得，當(dāng)時，，而，所以①式恒成立，當(dāng)時，，不符合題意，綜上所述，的取值范圍是．【設(shè)計意圖】例4要對不等式等價變形為①式，①式左邊為指數(shù)型函數(shù)，①式右邊含有對數(shù)式，再分別利用切線不等式進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)。幫助學(xué)生積累一定的分析、求解題目的經(jīng)驗，在遇到含有，的不等式時能夠聯(lián)想到切線不等式及其拓展。例5已知函數(shù)．（1）若，求實數(shù)的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對任意正整數(shù)，，求的最小值．分析：，這個式子之積不好求，可以通過兩邊同時取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為個對數(shù)之和，達(dá)到降冪的作用。解：（1）若，即，即，由切線不等式得．（2）由切線不等式，則有，所以．由①，變形得②，由切線不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可以得到，，……，，所以，，所以，又因為，因為為整數(shù)，所以的最小值為3．【設(shè)計意圖】善于觀察和聯(lián)想，利用對數(shù)函數(shù)的切線不等式連續(xù)對原不等式進(jìn)行放縮，將超越函數(shù)化為一次函數(shù)解決，有效地降低了解題難度。（四）回顧總結(jié)，歸納提升1.知識小結(jié)：（1）數(shù)形結(jié)合地理解指、對函數(shù)的切線不等式及其變式；（2）靈活應(yīng)用