河南省九師.商周聯(lián)盟2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

河南省九師.商周聯(lián)盟2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，其中，若恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．3．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]4．若集合，則=（）A． B． C． D．5．點在曲線上，過作軸垂線，設(shè)與曲線交于點，，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．36．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．7．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為300，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．8．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；④若對任意，都有成立，則的最小值為；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A． B． C． D．11．設(shè)集合，集合，則=（）A． B． C． D．R12．若集合，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績的中位數(shù)為73，則x-y的值為________．14．在平面五邊形中，，，，且.將五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.15．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．16．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖的的值__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．（12分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.19．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標方程：(2)求與交點的極坐標.21．（12分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）（1）求曲線和曲線圍成圖形的面積；（2）化簡求值：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.2、A【解析】

，從而可得，，再解不等式即可.【詳解】由已知，，所以，，由，解得，.故選：A.【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到恒成立問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.3、D【解析】

設(shè)，可得，構(gòu)造（）22，結(jié)合，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè)，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點的個數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當時,,則單調(diào)遞減；當時,,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數(shù)為2.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應(yīng)用.6、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，即可得出函數(shù)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當時，.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.7、B【解析】

由，則輸出為300，即可得出判斷框的答案【詳解】由，則輸出的值為300，，故判斷框中應(yīng)填？故選：．【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關(guān)系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關(guān)系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設(shè)而不求”的目的，大大簡化運算.9、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.10、C【解析】

化的解析式為可判斷①，求出的解析式可判斷②，由得，結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由得可判斷④.【詳解】由題意，，所以，故①正確；為偶函數(shù)，故②錯誤；當時，，單調(diào)遞減，故③正確；若對任意，都有成立，則為最小值點，為最大值點，則的最小值為，故④正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的問題.11、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算12、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為，解得；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則；.故答案為：.【點睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡單題.14、【解析】

設(shè)的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，得到直線與的交點為幾何體外接球的球心，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，則由球的性質(zhì)可知，直線與的交點為幾何體外接球的球心，取的中點，連接，，由條件得，，連接，因為，從而，連接，則為所得幾何體外接球的半徑，在直角中，由，，可得，即外接球的半徑為，故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.15、【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內(nèi)心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.16、3【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面，梯形上下邊長為和，高為，如圖所示，平面，所以底面積為，幾何體的高為，所以其體積為．點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯位相減，即可求解數(shù)列的前n項和．【詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【點睛】本題主要考查等差的通項公式、以及“錯位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項公式是基礎(chǔ)，準確計算求和是關(guān)鍵，易錯點是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等.18、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）因為，所以當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符題意，當時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.19、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結(jié)合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線的直角坐標方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；（2）先求出的直角坐標，據(jù)此求得中點的直角坐標，將其轉(zhuǎn)化為極坐標，聯(lián)立曲線的極坐標方程，即可求得兩點的極坐標，則距離可解.【詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標方程為（2）由（1）可得的直角坐標方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化，涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距離，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）（2）與交點的極坐標為，和【解析】

（1）先把曲線化成直角坐標方程，再化簡成極坐標方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點的極坐標為，和.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標方程，極坐標方程的互化，也考查了極坐標方