湖南省常德市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page22湖南省常德市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A.{1，3} B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可.【詳解】∵集合，，所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z滿意：，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，然后依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因?故選：A.3.若，則cos2α的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)二倍角公式以及商數(shù)關(guān)系即可求出．【詳解】．故選：C．4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時全部人都沒有免疫力的狀況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率確定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以限制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為其次輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約須要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得須要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約須要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約須要天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭等比數(shù)列的有關(guān)公式并能敏捷運(yùn)用，尤其須要留意的是，在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)當(dāng)要分類探討，有時還應(yīng)擅長運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程．5.依據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回來直線方程中的，依據(jù)此方程預(yù)料當(dāng)時，y的取值為（）x3456789y4.02.50.5A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圖表數(shù)據(jù)求出，代入回來直線求出，得到回來直線方程即可求得.【詳解】依據(jù)圖表數(shù)據(jù)求出，，把代入回來直線，有，解得，所以.當(dāng)時，.故選：B6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.若，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)锽.點(diǎn)是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心C.函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)D.函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】A【解析】【分析】結(jié)合五點(diǎn)法求得函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)確定單調(diào)性、對稱中心、函數(shù)值域及三角函數(shù)圖象變換推斷即得．【詳解】由題圖及五點(diǎn)作圖法得，，，則，，故.由，得，故，函數(shù)f(x)在區(qū)間上不是增函數(shù)，故A正確，C錯誤；∵當(dāng)時，，所以點(diǎn)不是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，故B錯誤；由，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，故D錯誤.故選：A．7.若函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B.C.（0，2） D.【答案】D【解析】【分析】令，則由已知可得在上單調(diào)遞增，而，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為，得，再利用為奇函數(shù)探討的狀況，進(jìn)而可求得解集【詳解】令，則，因?yàn)?，?dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，不滿意，綜上，不等式的解集為故選：D8.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線右支上且位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PO交雙曲線C的左支于點(diǎn)A，直線交雙曲線C的右支于另一點(diǎn)B，，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義以及對稱性可推得以及四邊形時平行四邊形，進(jìn)而在中利用余弦定理可得到a,c之間的關(guān)系式，求得答案.【詳解】由雙曲線定義可知：，而，故，由雙曲線的對稱性可知，而,故四邊形為平行四邊形，故由得:,在中，，即，即，則，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式及指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C錯誤；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：BD10.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以推斷肯定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（）A.中位數(shù)為3，眾數(shù)為5 B.中位數(shù)為3，極差為3C.中位數(shù)為1，平均數(shù)為2 D.平均數(shù)為3，方差為2【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對選項(xiàng)分析推斷即可【詳解】對于A，由于中位數(shù)為3，眾數(shù)為5，所以這5個數(shù)從小到大排列后，第3個數(shù)是3，則第4和5個為5，所以這5個數(shù)中肯定沒有出現(xiàn)6，所以A正確，對于B，由于中位數(shù)為3，極差為3，所以這5個數(shù)可以是3，3，3，4，6，所以B錯誤，對于C，由于中位數(shù)為1，平均數(shù)為2，所以這5個數(shù)可以1，1，1，1，6，所以C錯誤，對于D，由平均數(shù)為3，方差為2，可得，，若有一個數(shù)為6，取，則，，所以，所以這4個數(shù)可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與沖突，所以，所以這5個數(shù)肯定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D正確，故選：AD11.已知正方體的棱長為2，P，Q分別為棱，的中點(diǎn)，M為線段BD上的動點(diǎn)，則（）A.B.C.三棱錐的體積為定值D.M為BD的中點(diǎn)時，則二面角的平面角為60°【答案】BC【解析】【分析】由題可得與不平行可推斷A，利用線面垂直的推斷定理及性質(zhì)定理推斷B，利用棱錐的體積公式可推斷C，利用坐標(biāo)法可推斷D.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，與不平行，故A錯誤；由正方體的性質(zhì)可知，又，∴平面，又平面，∴，故B正確；由題可知M到平面的距離為定值d=2，三角形的面積為定值，所以為定值，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)平面PQM的法向量為，則，令，則，平面的法向量可取，設(shè)二面角的平面角為，則，故D錯誤.故選：BC.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.線段的中點(diǎn)在直線上C.若，則的面積為D.以線段為直徑的圓肯定與軸相切【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程的關(guān)系可推斷A選項(xiàng)的正誤；利用點(diǎn)差法可推斷B選項(xiàng)的正誤；利用弦長公式以及三角形的面積公式可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用拋物線的焦半徑公式可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A錯；對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，兩式作差得，可得，所以，，故，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，解得，點(diǎn)到直線的距離為，故，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，由拋物線的定義可得，即等于點(diǎn)到軸距離的兩倍，所以，以線段為直徑的圓肯定與軸相切，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在處的切線方程為______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】由題意可知：，，所以，即曲線在處的切線的斜率為2，又，故在處的切線方程為：,即，故答案為：14.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），AB是圓O：的一條直徑，則______．【答案】3【解析】【分析】設(shè)出，則可得，依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得到的表達(dá)式，結(jié)合可得答案.【詳解】設(shè)，則,且，則，故答案為：315.綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是______．【答案】【解析】【分析】寫出綻開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出對應(yīng)的參數(shù)，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的綻開式通項(xiàng)為，因?yàn)椋诘木`開式通項(xiàng)，由，可得，在的綻開式通項(xiàng)，由，可得.因此，綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.16.已知正三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，其內(nèi)切球的表面積為，且和各側(cè)面分別相切于點(diǎn)、、三點(diǎn)，則的周長為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為點(diǎn)，計(jì)算出正三棱錐的高，可計(jì)算得出該三棱錐側(cè)面上的高，計(jì)算出的邊長，分析可知為等邊三角形，即可得解.【詳解】設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為點(diǎn)，設(shè)球切三棱錐的側(cè)面于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正的中心為點(diǎn)，則在線段上，設(shè)，的外接圓半徑為，則，，為的中點(diǎn)，則，，設(shè)球的半徑為，則，可得，即，由正棱錐的性質(zhì)可知平面，因?yàn)槠矫?，則，，所以，，即，解得，，，取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)球切側(cè)面于點(diǎn)，連接，同理可得，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，，則，且，故，設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，則，故為等邊三角形，易知為等邊三角形，故的周長為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：假如是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；假如是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：依據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）在已知條件中分別取,可求得的值，當(dāng)時利用和與項(xiàng)的一般關(guān)系得到，從而判定數(shù)列為等差數(shù)列，然后得到通項(xiàng)公式；（2）利用分段求和法、等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列前20項(xiàng)的和．【小問1詳解】解：由題可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)與公差都為2等差數(shù)列,∴.【小問2詳解】解：題可知，當(dāng)時，,∴.當(dāng)時，,∴,∴.18.如圖，已知AB是圓柱底面圓的一條直徑，OP是圓柱的一條母線．

（1）求證：OA⊥PB；（2）若C底面圓上一點(diǎn)，且，，，，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即得；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問1詳解】∵OP是圓柱的一條母線，∴OP⊥平面OAB，又面OAB，∴OP⊥OA，∵AB是圓柱的底面圓的直徑，∴，即OA⊥OB，又∵，∴OA⊥面OPB，又∵面OPB，∴OA⊥PB.【小問2詳解】∵，∴；∵AB是圓柱的底面圓的直徑，∴，又，∴四邊形OACB為正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，可知，，P（0，0，2），設(shè)平面PAB的法向量為，，，∴，即，取，則，又，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ，∴，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.19.設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角A的大小；（2）從下面兩個問題中任選一個作答，兩個都作答則按第一個記分．①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且，求面積的最小值．②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）選①利用基本不等式及面積公式即求；選②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面積公式即求.【小問1詳解】∵且,∴，即，∴，又，∴；【小問2詳解】選①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，∴，即的面積的最小值為；②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以，即的面積的最大值為.20.已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l：經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線BM，AN的斜率分別為，，若，求證：λ為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，，即求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理法即求.【小問1詳解】由題意知右焦點(diǎn)F(1，0)，，又，則，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)，，由可得，則，，又，B（2，0），，法一：，由得，∴即λ定值．法二：即λ為定值．21.已知某箱中裝有10件產(chǎn)品，其中合格品8件，次品2件．現(xiàn)進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測，從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢測視為1次質(zhì)量檢測（假如取到合格品，則把它放回箱中；假如取到次品，則不放回箱中且另補(bǔ)放一件合格品到箱中）．在重復(fù)n次這樣的質(zhì)量檢測后，記箱中的次品件數(shù)為．（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)表示“n次操作后箱中的次品件數(shù)為1”的概率，求，并用表示．【答案】（1）分布列見解析，1.62（2），【解析】【分析】（1）由題可知，的可能取值為0，1，2，再分別計(jì)算出各取值對應(yīng)的概率，得到分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)“3次操作后箱中的次品件數(shù)為1”可知，可能是2次操作后箱中的次品件數(shù)為1，第三次取到合格品，也可能是第一次，其次次取到合格品，第三次取到次品