2025屆新高考數(shù)學專題復習專題29函數(shù)的極值點問題的探究教師版

專題29函數(shù)的極值點問題的探究一、題型選講題型一、函數(shù)極值的求解例1、（2024屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）若函數(shù)的極大值是，微小值是，則()A．與有關，且與有關 B．與有關，且與無關C．與無關，且與無關 D．與無關，且與有關【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，當改變時，、的改變如下表：遞增極大值遞減微小值遞增∴，，∴，故選：C．變式1、【2024年高考江蘇】設函數(shù)、為f（x）的導函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的微小值；【解析】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為都在集合中，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值微小值所以的微小值為．變式2、（2024屆山東省濟寧市高三上期末）已知函數(shù).(1)求證:當時,對隨意恒成立;(2)求函數(shù)的極值;【解析】(1),,在上為增函數(shù),所以當時,恒有成立;(2)由當在上為增函數(shù),無極值當在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),有微小值,無極大值,綜上知:當無極值,當有微小值,無極大值.題型二、極值的個數(shù)的證明與推斷例1、【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；【解析】（1）設，則，.當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為.則當時，；當時，.所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.變式、（2024屆山東省臨沂市高三上期末）已知函數(shù)的定義域為，則（）A．為奇函數(shù)B．在上單調遞增C．恰有4個極大值點D．有且僅有4個極值點【答案】BD【解析】因為的定義域為，所以是非奇非偶函數(shù)，，當時，，則在上單調遞增.明顯，令，得，分別作出，在區(qū)間上的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上共有4個公共點，且兩圖象在這些公共點上都不相切，故在區(qū)間上的極值點的個數(shù)為4，且只有2個極大值點.故選：BD.題型三、由極值點求參數(shù)的范圍例3、【2024年高考北京理數(shù)】設函數(shù)=[]．若在x=2處取得微小值，求a的取值范圍．【解析】由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當x∈(，2)時，f′(x)<0；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0．所以f(x)在x=2處取得微小值．若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的微小值點．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．變式1、【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若是的極大值點，求．【解析】（i）若，由（1）知，當時，，這與是的極大值點沖突.（ii）若，設函數(shù).由于當時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點..假如，則當，且時，，故不是的極大值點.假如，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點.假如，則.則當時，；當時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.二、達標訓練1、（2024屆山東師范高校附中高三月考）已知在區(qū)間上有極值點，實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函數(shù)在上有極值點，所以在上有零點.所以，解得.故選：D.2、（2024·山東省淄博試驗中學高三上期末）已知、、、，從這四個數(shù)中任取一個數(shù)，使函數(shù)有極值點的概率為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函數(shù)f（x）有極值點，則f′（x）有2個不相等的實數(shù)根，故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，滿意條件的有2個，分別是a，c，故滿意條件的概率p，故選：B．3、（2024屆山東師范高校附中高三月考）已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點，以下幾個結論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點，∴，即，,

,,即A選項正確,B選項不正確;

,即C正確,D不正確.

故答案為:AC.4、（2024屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知函數(shù)，.若函數(shù)有唯一的微小值點，求實數(shù)的取值范圍；【解析】，，，，設，當時，，在時，，即，所以單調遞減，在時，，，所以單調遞增，所以函數(shù)有唯一的微小值點成立；當時，令，得，，在時，，即，所以單調遞減，在時，，，所以單調遞增，所以函數(shù)有唯一的微小值點成立；當時，令，得，，當時不合題意，則，且，即且，設，，在時，，即，所以單調遞減，在時，，，所以單調遞增，在時，，即，所以單調遞減，所以函數(shù)有唯一的微小值點成立；綜上所述，的取值范圍為且.5、（2024屆山東試驗中學高三上期中）已知函數(shù)且a≠0）．若函數(shù)f（x）的微小值為，試求a的值．【解析】①當a＜-1時，x改變時改變狀況如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x）↘微小值↗極大值↘此時，解得，故不成立．②當a=-1時，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調遞減．此時f（x）無微小值，故不成立．③當-1＜a＜0時，x改變時改變狀況如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）↘微小值↗極大值↘此時