2025版新教材高中數(shù)學第七章復數(shù)7.2復數(shù)的四則運算7.2.2復數(shù)的乘除運算課時作業(yè)新人教A版必修第二冊

7．2.2復數(shù)的乘、除運算必備學問基礎練1．(1＋2i)(1－i)＝()A．3＋iB．－1＋iC．－1－3iD．1＋3i2．已知復數(shù)z＝i(1－2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的共軛復數(shù)是()A．2－iB．2＋iC．1＋2iD．1－2i3．若復數(shù)z滿意z(1＋i)＝i3，則z＝()A．－eq\f(1＋2i,4)B．－eq\f(1＋i,2)C．eq\f(1－i,4)D．eq\f(2＋i,2)4．若復數(shù)z(1－i)＝1＋i，則|z|＝()A．eq\f(\r(2),2)B．1C．eq\r(2)D．25．已知復數(shù)z＝eq\f(2＋i,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))的虛部為()A．eq\f(3,2)iB．－eq\f(3,2)iC．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)6．復數(shù)z＝eq\f(2,1＋i)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第()象限．A．一B．二C．三D．四7.eq\f(1＋i,2－3i)＝________．8．已知復數(shù)z＝(1＋3i)i3，則z·eq\o(z,\s\up6(－))＝________．關鍵實力綜合練1．已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，若a＋bi＝i8(2－i)，則a＋b＝()A．0B．1C．2D．－22．已知復數(shù)z滿意z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)，則|z|＝()A．2eq\r(7)B．5C．2eq\r(5)D．3eq\r(2)3．已知i是虛數(shù)單位，若eq\f(2＋i,1－i)＝a－bi(a，b∈R)，則2a＋b的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．eq\f(5,2)D．14．已知復數(shù)z滿意eq\f(1＋zi,1－i)＝1＋2i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．(多選)已知復數(shù)z滿意zi＝(1－2i)2，則()A．z的虛部為3B．z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限C．|z|＝5D．z2＋8z＋7＝06．(多選)已知復數(shù)z1＝a＋i，z2＝2＋bi，a，b∈R，且z1＋z2為純虛數(shù)，z1z2<0，則()A．a(chǎn)＝－2B．b＝2C．|2z1－z2|＝37D．z1＋2z2的共軛復數(shù)為2－3i7．計算：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝________．8．復數(shù)(a－i)(3＋4i)在復平面內(nèi)對應的點在第一、三象限的角平分線上，則實數(shù)a＝________．9．已知復數(shù)z1＝1＋2i，z2＝3－4i.(1)在復平面內(nèi)，設復數(shù)z1，z2對應的點分別為Z1，Z2，求點Z1，Z2之間的距離；(2)若復數(shù)z滿意eq\f(1,z)＝eq\f(1,z1)＋eq\f(1,z2)，求z.10．已知復數(shù)z1滿意1＋z1＝(－1＋2i)(1－z1).(1)求z1；(2)若復數(shù)z2滿意|z2|＝1且eq\f(z2,z1)∈R，求z2.核心素養(yǎng)升級練1．若f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)(n∈N*)，則集合{x|x＝f(n)，n∈N*}中的元素個數(shù)為()A．1B．2C．3D．多數(shù)個2．已知復數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2022,1＋i)，則復數(shù)z＝________．3．已知復數(shù)z1＝1－3i，z2＝a＋i，a∈R，若一復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復數(shù)為“志向復數(shù)”，已知z1·z2為“志向復數(shù)”．(1)求實數(shù)a；(2)定義復數(shù)的一種運算“?”：z1?z2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(z1＋z2,z2)，|z1|≥|z2|,\f(z1＋z2,z1)，|z1|<|z2|))，求z1?z2.7．2.2復數(shù)的乘、除運算必備學問基礎練1．答案：A解析：(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i.故選A.2．答案：A解析：z＝i(1－2i)＝2＋i，eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i.故選A.3．答案：B解析：z＝eq\f(i3,1＋i)＝eq\f(－i,1＋i)＝eq\f(－i－1,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1＋i,2).故選B.4．答案：B解析：因為復數(shù)z(1－i)＝1＋i，所以z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(（1＋i）2,2)＝eq\f(2i,2)＝i，所以|z|＝1，故選B.5．答案：D解析：∵z＝eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1＋3i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，則eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，故eq\o(z,\s\up6(－))的虛部為－eq\f(3,2).故選D.6．答案：D解析：z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－i，故z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限．故選D.7．答案：－eq\f(1,13)＋eq\f(5,13)i解析：由題意可得eq\f(1＋i,2－3i)＝eq\f(（1＋i）（2＋3i）,（2－3i）（2＋3i）)＝－eq\f(1,13)＋eq\f(5,13)i.8．答案：10解析：因為z＝(1＋3i)i3＝3－i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋i，因此z·eq\o(z,\s\up6(－))＝32＋(－1)2＝10.關鍵實力綜合練1．答案：B解析：由虛數(shù)單位i的性質(zhì)可知i8＝1，故由a＋bi＝i8(2－i)可得：a＋bi＝2－i，故a＝2，b＝－1，∴a＋b＝1，故選B.2．答案：A解析：復數(shù)z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)＝2＋eq\r(3)i－2eq\r(3)i－3i2＝5－eq\r(3)i，則|z|＝eq\r(52＋（－\r(3)）2)＝2eq\r(7).故選A.3．答案：B解析：由復數(shù)的運算法則，可得eq\f(2＋i,1－i)＝eq\f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i.因為eq\f(2＋i,1－i)＝a－bi(a，b∈R)，所以a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2)，所以2a＋b＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2).故選B.4．答案：D解析：∵復數(shù)z滿意eq\f(1＋zi,1－i)＝1＋2i，∴1＋zi＝(1＋2i)(1－i)＝1－i＋2i－2i2＝3＋i，∴zi＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i)＝eq\f(2i＋i2,i2)＝1－2i在復平面內(nèi)所對應的點(1，－2)位于第四象限．故選D.5．答案：AC解析：因數(shù)zi＝(1－2i)2＝－3－4i，兩邊同時乘以i得－z＝4－3i，所以z＝－4＋3i，所以z的虛部為3，故A正確；z在復平面內(nèi)對應的點位于其次象限，故B錯誤；|z|＝eq\r(（－4）2＋32)＝5，故C正確；z2＋8z＋7＝(－4＋3i)2＋8(－4＋3i)＋7＝16－9－32＋7－24i＋24i＝－18，故D錯誤．故選AC.6．答案：AD解析：由z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i為純虛數(shù)，得a＝－2，且b≠－1，由z1z2＝(a＋i)(2＋bi)＝2a－b＋(ab＋2)i<0，得ab＝－2，且2a－b<0，得b＝1，所以|2z1－z2|＝|－6＋i|＝eq\r(37)，z1＋2z2＝2＋3i的共軛復數(shù)為2－3i，所以AD正確，BC錯誤，故選AD.7．答案：－2＋i解析：解法一：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝eq\f(（1＋7i）（1＋3i）,10)＝－2＋i.解法二：eq\f(（1＋i）（4＋3i）,（2－i）（1－i）)＝(eq\f(1＋i,1－i))(eq\f(4＋3i,2－i))＝eq\f(i（4＋3i）（2＋i）,5)＝eq\f(（－3＋4i）（2＋i）,5)＝eq\f(－10＋5i,5)＝－2＋i.8．答案：7解析：由題意得(a－i)(3＋4i)＝3a＋4ai－3i－4i2＝3a＋4＋(4a－3)i，在復平面內(nèi)對應的點為(3a＋4，4a－3)，因為該點在第一、三象限的角平分線上，所以3a＋4＝4a－3，解得a＝7.9．解析：(1)解法一：在復平面內(nèi)，復數(shù)z1，z2對應的點分別為Z1(1，2)，Z2(3，－4)，所以|Z1Z2|＝eq\r(（1－3）2＋（2＋4）2)＝2eq\r(10).解法二：因為z1－z2＝(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，所以|Z1Z2|＝|z1－z2|＝|－2＋6i|＝2eq\r(10).(2)因為eq\f(1,z1)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，eq\f(1,z2)＝eq\f(1,3－4i)＝eq\f(3,25)＋eq\f(4,25)i，所以eq\f(1,z)＝eq\f(1,z1)＋eq\f(1,z2)＝eq\f(8,25)－eq\f(6,25)i，所以z＝2＋eq\f(3,2)i.10．解析：(1)設z1＝a＋bi，(a，b∈R)則1＋a＋bi＝(－1＋2i)(1－a－bi)＝－1＋a＋2b＋(2－2a＋b)i所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＝－1＋a＋2b,b＝2－2a＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，所以z1＝1＋i.(2)解法一：由eq\f(z2,z1)∈R可設eq\f(z2,z1)＝t(t∈R)，則z2＝tz1＝t＋ti.因為|z2|＝1，所以eq\r(t2＋t2)＝1，解得t＝±eq\f(\r(2),2)，所以z2＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i或－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i.解法二：設z2＝x＋yi，(x，y∈R)，則eq\f(z2,z1)＝eq\f(x＋yi,1＋i)＝eq\f(x＋y,2)＋eq\f(y－x,2)i，因為|z2|＝1且eq\f(z2,z1)∈R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,\f(y－x,2)＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2),y＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2),y＝－\f(\r(2),2)))，所以z2＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i或－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)i.核心素養(yǎng)升級練1．答案：C解析：依據(jù)復數(shù)的運算法則，可得eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝－i，所以f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)＝in＋(－i)n，則f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，所以集合中只有3個元素．2．答案：i解析：z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2022,1＋i)＝eq\f(\f(i－i2023,1－i),1＋i)＝eq\f(i－i2023,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(i－i2023,2).因為i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，(n∈Z)，而2023＝4×505＋3，所以i2023＝－i，所以z＝eq\f(i－i2023,2)＝eq\f(i－（－i）,2)＝i.3．解析：(