高頻考點(diǎn)題型歸納35直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【教師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源專題35直線、平面垂直的判定與性質(zhì)--2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型一、關(guān)鍵能力1.了解平面的含義，理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；2.掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理.二、教學(xué)建議1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明.2.利用垂直關(guān)系及垂直的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，處理綜合問(wèn)題.3.本節(jié)是高考的必考內(nèi)容．預(yù)測(cè)2020年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)為重點(diǎn)，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應(yīng)用，題型為解答題中的一問(wèn)，或與平行相結(jié)合進(jìn)行命題的判斷.以及運(yùn)用其進(jìn)一步研究體積、距離、角的問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運(yùn)算求解能力及空間想象能力．三、自主梳理 定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))?l⊥α性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b知識(shí)點(diǎn)2．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))?β⊥α性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))?AB⊥α知識(shí)點(diǎn)3．線面、面面垂直的綜合應(yīng)用1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(2)直線和平面垂直的性質(zhì)①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．③垂直于同一直線的兩平面平行．2．斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角．3．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法②利用判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一與線、面垂直相關(guān)命題的判定例1-1．（2021·浙江期末）已知，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若，則“”則成立，滿足充分性；反之，若，則與的位置關(guān)系不確定，即不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.例1-2.（2021·湖南省安化二中模擬）如圖，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因?yàn)镈F∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．訓(xùn)練1．【多選題】（2021·南京市寧海中學(xué)高一月考）如圖，在正方體中，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段長(zhǎng)度為一定值，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，連接BD，通過(guò)證明平面，可判定；選項(xiàng)B，通過(guò)可判定；選項(xiàng)C，利用平面ABCD平面可判定平面ABCD；選項(xiàng)D，可利用三棱錐的高和底面積為定值來(lái)判定.【詳解】選項(xiàng)A：連接BD，底面ABCD是正方形，，又平面ABCD，平面ABCD，，，平面，又平面，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若平面，平面，，但顯然，所以平面不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：正方體中，平面ABCD平面，平面，平面ABCD，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：點(diǎn)A到平面BEF的距離也是點(diǎn)A到平面的距離，等于AC的一半，即三棱錐高為定值，而的邊為定值，高為為定值，故體積為定值，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例2-1.（線面垂直的判定）（2021·河北易縣中學(xué)）在三棱錐中，，，O是線段AC的中點(diǎn)，M是線段BC的中點(diǎn).（1）求證：PO⊥平面ABC；【解析】（1）利用勾股定理得出線線垂直，結(jié)合等邊三角形的特點(diǎn)，再次利用勾股定理得出線線垂直，進(jìn)而得出線面垂直；（1）由，有，從而有，且又是邊長(zhǎng)等于的等邊三角形，.又，從而有.又平面.例2-2.（線面垂直的性質(zhì)）（2020·云南省下關(guān)第一中學(xué)高二月考（文））如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，底面.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明出，，利用線面垂直判定定理可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則為中點(diǎn)，連接，分析可知直線與平面所成的角為，求得的長(zhǎng)，分析出為等邊三角形，可計(jì)算出三棱錐的體積，并計(jì)算出的面積，利用等體積法可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，故，又，故平面；?）設(shè)，則為中點(diǎn)，連接，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，于是，因此.又，故為等邊三角形，所以三角形的面積為，故三棱錐的體積.在直角三角形中，，，所以，平面，平面，則，則，所以三棱錐的體積，解得，所以，點(diǎn)到平面的距離為.考點(diǎn)三面面垂直的判定與性質(zhì)例3-1.（面面垂直的判定）（2020·全國(guó)高考真題（文））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心，平面，在上，，是圓內(nèi)接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.例3-2.（面面垂直的性質(zhì)）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】【解析】因?yàn)闉榈冗呏羞叺闹悬c(diǎn)，所以，面面,所以底面，因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為2，所以,易知為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以三棱錐的體積為．訓(xùn)練1.在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論正確的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】在直角梯形中，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，故，所以，故，折起后仍然滿足.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，因平面，所?又因?yàn)?，，所以平面，因平面，所以平面平?訓(xùn)練2.（2021·全國(guó)高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）由（1）可知，平面，所以，從而，設(shè)，，則，即，解得，所以．因?yàn)榈酌妫仕睦忮F的體積為．考點(diǎn)四、線線垂直的判定例4.（2021·全國(guó)高考真題（文））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)首先求得AC的長(zhǎng)度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)AF，由題意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，，.(2)由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.ABCDD1A1C1ABCDD1A1C1B1解析：正方形中的對(duì)角線垂直EABCDD1A1C1B1FEABCDD1A1C1B1F求證⊥．解析：正方形中的線線垂直訓(xùn)練3．如圖，在長(zhǎng)方體中，，是的中點(diǎn)，ABCDD1ABCDD1A1C1B1E解析：長(zhǎng)方形中的線線垂直ABCDD1A1C1B1ABCDD1A1C1B1E求證⊥．解析：長(zhǎng)方形的線線垂直ABCDP訓(xùn)練5．如圖，在四棱錐中，底面，且底面是菱形，ABCDP求證⊥．解析：菱形中線線垂直O(jiān)ABPC訓(xùn)練6．如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在平面，是圓上不同于的任一點(diǎn)，求證：⊥平面．OABPC解析：圓形中的線線垂直考點(diǎn)五、平行與垂直的互相利用例5-1.（2021·安徽省舒城中學(xué)）設(shè)m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面．給出下列四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】由是空間兩條不同的直線，是空間兩個(gè)不同的平面．在①中，若，則與相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；在②中，設(shè)，因?yàn)椋?，又，所以，又，，所以，故②正確；在③中，若，則與平行或，故③錯(cuò)誤；在④中，設(shè)，因?yàn)椋?，又，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故④正確．故選：C．例5-2.（2021·湖南期末）如圖，在三棱柱中，，，.證明：平面平面；【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連，，因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以，在中，由，滿足，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.訓(xùn)練1．（2021·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.考點(diǎn)六、垂直的探索例6-1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是邊PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)【解析】連接AC，BD，則AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)例6-2.在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))【解析】①假設(shè)AC與BD垂直，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CE.則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設(shè)不成立，①錯(cuò)．②假設(shè)AB⊥CD，因?yàn)锳B⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設(shè)成立，②正確．③假設(shè)AD⊥BC，因?yàn)镈C⊥BC，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故矛盾，假設(shè)不成立，③錯(cuò)．綜上，填②.【答案】②例6-3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【解析】設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h，又2×eq\r(2)＝h×eq\r(22＋（\r(2)）2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(（\f(\r(2),2)）2－（\f(\r(3),3)）2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).即線段B1F的長(zhǎng)為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)例6-4.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D－CEG的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：連接PF，因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，所以PF⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB?平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，因?yàn)镻D⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.又BF?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.連接CF交DE于點(diǎn)H，過(guò)H作HG∥PF交PC于點(diǎn)G，所以GH⊥平面ABCD.又GH?平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.因?yàn)锳D∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以eq\f(CH,HF)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(CG,GP)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(1,2)，所以GH＝eq\f(1,3)PF＝eq\f(\r(3),3)，所以VD－CEG＝VG－CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DC·CE·sineq\f(π,3)·GH＝eq\f(1,12).鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案C解析因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.(2021·河北唐山模擬)如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()A．①② B．②④C．①③ D．②③【答案】B【解析】對(duì)于①，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，則AB⊥平面CDE；對(duì)于③，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于④，易證ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故選B.綜上可知，正確的命題只有一個(gè)，故選B.3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．（2020·四川省眉山中學(xué)模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部【答案】A【解析】由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件，故選A.5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直答案A解析因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因?yàn)镺M?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥MN.故選A.6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC答案B解析由題意得BC⊥AC，因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因?yàn)锽C?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故選B.多項(xiàng)選擇題7．判斷下列結(jié)論中正確的是()A．垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．B．直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.C．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.答案：BC8．如圖PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論，其中真命題的是()A．AE⊥BCB．EF⊥PBC．AF⊥BCD．AE⊥平面PBC，答案：ABD解析：AAE平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAAE⊥BC，故A正確，BAE⊥PB，AF⊥PB，EF⊥PB，故B正確，C若AF⊥BCAF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故C錯(cuò)誤，由A可知D正確．三、填空題9．（2021·北京101中學(xué)期末）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l是直線且，則“”是“”的______.條件(參考選項(xiàng)：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.因?yàn)橹本€且所以由判斷定理得.所以直線，且若，直線則直線，或直線，或直線l與平面相交，或直線l在平面內(nèi).所以“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.10．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．答案：AB，BC，ACAB解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB．11．在正三棱錐(底面為正三角形且側(cè)棱相等)P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．其中正確論斷的序號(hào)為_(kāi)_______．答案：①②解析：如圖，∵P－ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC；又∵DE∥