2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：向量的數(shù)量積與角恒等變換

向量的數(shù)量積與角恒等變換

一、選擇題

1.已知在正四面體ABCD中,1^=定，詼=匠，則向量而與標(biāo)的夾角為（）

A.—B.—C.-D.-

3663

2.已知行為單位向量，打=4,（乙+25〉（3萬—B）=—39,則M與B的夾角為（）

A.-B.-C.-D.—

6323

3.已知向量滿足同=*2,且忖+q=屈，則￡在石上的投影向量是（）

A.lB.1&C.lD.-a

4422

4.已知兩個(gè)單位向量段的夾角為120。，則（冢+2可.（區(qū)-可=（）

35

A.-B.3C.-D.5

22

5.已知矩形ABCD的長AB=4,寬BC=3點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B,D兩點(diǎn)重

合），則定.麗的取值范圍是（）

A.（-16,9）B.（-9,16）C.[0,9）D.（-16,0]

6.已知坂是夾角為120。的兩個(gè)單位向量，若向量2+萩在向量￡上的投影向量為

2a，則2=（）

A.-2B.2C._友D.拽

33

7.在銳角△ABC中，若sinA=2sin5sinC，則tanAtanBtanC的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

8.已知sin（a+m=Lsin（?-y5）=—，則則0=（）

v'3v'2tan￡

A.lB.-lC.5D.-5

55'

二、多項(xiàng)選擇題

9.設(shè)是夾角為60P的單位向量，由平面向量基本定理知:對平面內(nèi)任一向量.，存在

唯一有序?qū)崝?shù)對（4〃），使得萬=>^+”2?，我們稱有序數(shù)對（44）為向量》的“仿射坐標(biāo)”.

若向量Z和B的“仿射坐標(biāo)”分別為（1,2）,（人-1）,則下列說法正確的是（）

A.|a|=V7

B.若m=3，則￡+5的“仿射坐標(biāo)”為（4,1）

C.若￡_L九則根=2

D.若a〃Z;，則m=

2

10.已知向量M=（2,l）,b=（1,-1）,c=（m-2,-?）,其中m,〃均為正數(shù),且

[a—b^Hc,下列說法正確的是（）

A2與B的夾角為鈍角

B.向量商在日方向上的投影數(shù)量為手

C.2m+n=4

D.mn的最大值為2

11.已知|￡|=2若，|司=2,向量力與分的夾角為30。，則以向量G,B為鄰邊的平行

四邊形的一條對角線的長度可能是（）

A.10B.2aC.2D.22

三、填空題

12.已知向量￡=（一1,2），B=（m,T）.若Z_1_（￡+可，則機(jī)=.

13.已知梯形ABCD中，AB//CD-AB=2CD=2,A￡）=4，點(diǎn)尸在線段

上，則麗.兩的最小值為.

14.若sina+cosa=—，貝Usin2a=?

4

四、解答題

?13兀

15.已知cosa='，cos（a-/）=五，且0</<a<]?

⑴求tan2a的值;

Q)求cos尸.

16.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，且交A3于

點(diǎn)E.DEVAS且交AC于點(diǎn)F.

⑴求|2而+加|的值；

(2)求(瓦+^?麗的最小值.

0JT

17.在△ABC中,C4=2,AB=2,/BAC=^，。為的三等分點(diǎn)(靠近3點(diǎn)).

(1)求而.就的值；

(2)若點(diǎn)P滿足在=4瓦,求而?定的最小值，并求此時(shí)的2.

18.已知f(x)=sin[x+]}osx+gsin(2x+1)-^^

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若g(x)=/(9一巳)+/(工一器)-cosx，xe一；，?，求滿足不等式g(x)21的x的

取值范圍.

19.已知向量￡,心滿足問=3,歸―囚=5.

(1)若￡.石=0，求同的值；

(2)若￡.3=1，求忸+.的值.

參考答案

1.答案：A

解析：根據(jù)題意可得P,Q分別為AC,的中點(diǎn)，則QP=-^AB.

因?yàn)楦?1,所以弧通=手

2.答案：D

解析：設(shè)￡與B的夾角為。，6>G[O,7T],

因?yàn)椋ǚ?2否）?（3商一=3a2+5a-b-2b

=3xl2+5|a||^|cos^-2x42=-39,

即3+5xlx4xcos，_2x42=-39，解得cos8=--，

2

因?yàn)?。?,可，所以e=g.

故選：D.

3.答案：B

解析：由已知=w=2,且卜+囚=JIU,

則7+片+2。石=同2+件+2/=22+22+2￡石=10,

解得75=1，

a-bb

故Z在B上的投影向量是

故選:B.

4.答案：A

解析：因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量1，■的夾角為120。，

所以錄用=同.同cosl20。=lxlx[—'=—g,

所以卜]+2e2）?卜2—ej=，―弓+2e2_26.e?=一仔+2x1?.

故選：A

5.答案：A

解析：由題意得，點(diǎn)P在線段3。上，設(shè)麗=〃麗，所=7徨礪,“=1-加，

且一〃e（0,1）.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4（0,0）,B（4,0）,C（4,3）,D（0,3%則麗=（T,3）,衣=（4,3）,

由AP=mAB+nAD=m（4,0）+w（0,3）=（4m,3?）,

^PC=AC-AP=（4-4/n,3-3z2）,

所以定.麗=7（4-4m）+3（3-3〃）=9-25〃，

由于“e（0,1）,所以定?加《一16,9）.

故選:A.

6.答案：A

解析：z+萩在向量z上的投影向量為^——J—a=2a^——=2.

同同

n（土+篇）/=同?+丸同.忖cos120。=1一;X=2nX=-2.

故選：A

7.答案：C

解析：由sinA=sin（B+C）=2sinBsinC，得sinBcosC+cosBsinC=2siiiBsinC，

兩邊同時(shí)除以cos5cosc,得tanB+tanC=2tanBtanC-

令tanB+tanC=2tanBtanC二m，

△ABC是銳角三角形，

tanB+tanCm

tan(B+C)=<0"

1-tanBtanC［生，?*-m>2?

一萬

又在三角形中有:

tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=

加2_］_］

mm4j8

故當(dāng)機(jī)=4時(shí),tanAtanBtanC取得最小值8

故選：C.

8.答案：D

解析：根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：

sin(tz+〃)=sinacos/3+cosasin〃=；，sin(tz-/?)=sinacos)3-cosasin尸=g，

聯(lián)立方程組，可得sincrcos￡=工，cosasva/3=--—)

1212

5

又由tana_sinacos/_12_5

tan§cosasin〃__

-12

故選：D.

9.答案：ABD

解析：根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義,［冢+2￡石=崎-區(qū).

對于A,W+2Hl,即㈤2/.+24|2=1112Ml,|.向|8560。+4|￡|2=7，因此

I-1=近.故A正確.

對于B，Z=1+2］，B=31-￡，則Z+B=41+￡,根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義2+石的“仿射坐

標(biāo)”為(4,1).故B正確.

對于C,若aLb，則a-b={eY+2e1)-(jnel-e2)=0，化簡

―?—?—?c—?—?------?c

2

a-b-m\ex|+(2m-l)|^|?|e21cos60°-2|F=0,

即m+(2m-1)x—-2=0，解得加=°,故C錯(cuò)誤.

24

對于D,若a//b^a=Ab=>el+2e2=-e2)=-2e2，

則1=力〃,2=-X,聯(lián)立得出加=-=-2,故D正確.

2

故選:ABD.

10.答案：CD

解析：對于A,cos(a,b\=Tq-pq-='n==兀］,

'/75x7210\/L」

.,.(ZB)為銳角，A錯(cuò)誤；

對于B,向量苕在B方向上的投影數(shù)量為：卜卜05(點(diǎn)石)=逐*@^=也，B錯(cuò)誤;

I?\/102

對于C,'：a—b=(1,2),又(a-5)〃1,「.一”=2(加一2),即2〃z+〃=4,C正確；

對于D,:機(jī)，〃均為正數(shù)，又2m+〃=4,W廣*'”1=4(當(dāng)且僅當(dāng)

2機(jī)=〃=2時(shí)取等號(hào))，，師W2,即加”的最大值為2,D正確.

故選：CD.

11.答案：BC

解析：設(shè)而=B,AB=a.^\AD=2,AB=26,ZDAB30°,

過點(diǎn)。作。石，AB于點(diǎn)E,則AE=VL所以3E=百，可得￡)5=2,

過點(diǎn)A作于點(diǎn)R,則AF=6，DF=1,

又由。0=1,所以人0=再可壽=由,即AC=2j7.

故選：BC.

12.答案：-3

解析：因?yàn)橄蛄俊?(一1,2)，b=(m,^4)>所以a+B=。徨一1,一2)，

因?yàn)閍_!_（〃+沖,所以一（加一1）一4=0,解得加=一3.

故答案為：,3

13.答案：—工

解析：如圖，由題意以AB，AD為x，丁軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則4（0,0），5（2,0）,￡）（0,4）,C（l,4）,

設(shè)構(gòu)成的一次函數(shù)為y=Ax+b，代入3（2,0），C（l,4），

/曰12左+b=0,曰伏二一4

得1，得1，即Rny=8-4x,

k+b=4[b=8

因點(diǎn)P在線段BC上，可設(shè)P（x,8-4x）,其中1WXW2，

貝1西=（一乂4]—8），旃=（2—x,4九一8），

PAPB=-x（2-x）+（4x-8）~=17x2-66x+64?

因UW2，故當(dāng)％=過時(shí)取最小值為-

—一1717

故答案為：—J_

14.答案：2

16

解析：*/sina+cosa=一,

4

sina+cosa『=1+2sin。cosa=1+sin2a=——，

sin2a--，

16

故答案為：2.

16

15.答案：⑴一88；

47

(2)1

2

解析:(1)由cosa——fO<dz<—>得sina-cos2a=

72

sina4^/37n-干旱02tancc2x4^/5^8^/^

/.tana=----=----x—=4/3,^^tan2a=------=---------=---

cosa71l-tan26z1-(4V3)247

(2)由0</<0<3，得又cos(a—￡)=搞，

22

:.sin(a-J3)=yjl-cos(cr-/?)=Jl-(—)二巫

V1414

由力=tz—(a—/?)得:

cos/3=cos[tz-((/-，)]=cosacos(a-/?)+sinasin(?-/?)

=1X13+473X3^=1

7147142

16.答案：(1)1

解析：(1)設(shè)BE=x,

?.?△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

：.ZBDE=30°,BD=2x,DE=后,DC=l-2x,

DF//AB,.?.△￡>FC為邊長為1-2%的等邊三角形,

——>>c——>2——?—??->2cc

:.QBE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x?+4x(1—2x)xcos00+(l—2%了=1,

2BE+DF\=1.

BDC

(2)DF//AB,:.DE±DF,

-.-(DE+DF)DA=(DE+DF)-(DE+EA)=DE2+DFEA

=(Gx)2+(1-2x)x(1-x)=5x2—3x+l=5(x—奈)，

所以當(dāng)x=±時(shí)，(歷+而)?方X的最小值為一.

1020

17.答案：(1)-2

_..93

(2)(7^/。濡一^此時(shí)讓了

44

解析：(1)因?yàn)?/p>

__,1________________?__,1__,__2__?1__>__,__,__

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)k=~AB+-AC,BC=AC-ABk

所以礪灰=［而+g呵.(恁_呵=；恁；正,通■通2=_2

(2)如圖建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),C(2,0),8(-1,G)

令尸(x,0),所以而=(一1一x,次)，定=(2—尤,0),.?.而?定=(x+1)(%-2)

1kkQq

.?.當(dāng)x=7時(shí)，(而?無)此時(shí)丸=:

244

18.答案：(1)一~—7i+fei,—+H,keZ；

1212—

兀兀

(2)

?

42、

cos/\nx+走1力

解析:⑴于(x)=cosx+