2025高考數學復習必刷題：古典概型與概率的基本性質（學生版）

第89講古典概型與概率的基本性質

知識梳理

知識點1、隨機事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表

示.

知識點2、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含"個樣本點，事件A包含其中的k個樣

本點，則定義事件A的概率尸(4)=：=墻.

知識點3、概率的基本性質

(1)對于任意事件A都有：04尸(A)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件8互斥，則「(4113)=2(4)+「(3).

推廣：一般地，若事件A，A.彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，從中

有一個發(fā)生)的概率等于這〃個事件分別發(fā)生的概率之和，即：

尸(4+4+...+4)=p(A)+p(4)+...+p(4).

(4)對立事件的概率：若事件A與事件8互為對立事件，則P(A)=1-P(B),

P(B)=1-P(A),且P(AU3)=P(A)+P(B)=1.

(5)概率的單調性：若A=8,則P(A)4P(8).

(6)若A,3是一次隨機實驗中的兩個事件，則P(/^3)=2(4)+「(8)-2(4。3).

【解題方法總結】

1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數”與事件A中所包含的基本事件

數.

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個;

（3）事件A是什么.

2、解題實現步驟：

（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A;

（3）分別求出基本事件的個數〃與所求事件A中所包含的基本事件個數機；

“、到中八一?八A包含的基本事件的個數平山本出，,血力

（4）利用公式P（A）=——甘一由一附乂的——求出事件A的概率.

基本事件的息數

3、解題方法技巧：

（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和.

②求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有列舉法、列表法和樹狀圖

法.

必考題型全歸納

題型一：簡單的古典概型問題

例L（2024?高一課時練習）下列概率模型中，是古典概型的個數為（）

①從區(qū)間［1［0］內任取一個數，求取到1的概率；②從1,2,3,…，10中任取一個數，求

取到1的概率；③在正方形ABC。內畫一點P,求點P恰好為正方形中心的概率；④向上

拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?全國?高一專題練習）下列關于古典概型的說法正確的是（）

①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；

③每個樣本點出現的可能性相等；④樣本點的總數為%隨機事件A若包含上個樣本點，

則P（A）=￡.

n

A.②④B.②③④C.①②④D.①③④

例3.（2024?全國?高三專題練習）下列有關古典概型的四種說法：

①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；

②每個事件出現的可能性相等；

③每個樣本點出現的可能性相等；

k

④已知樣本點總數為〃，若隨機事件A包含％個樣本點，則事件A發(fā)生的概率尸（A）=—.

n

其中所正確說法的序號是（）

A.①②④B.①③C.③④D.①③④

變式1.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習）一項試驗旨在研究臭氧效應，

試驗方案如下：選6只小白鼠，隨機地將其中3只分配到試驗組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)

境，另外3只分配到對照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量

（單位：g）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（）

A.—B.-C.1D.-

10525

變式2.（2024?青海西寧?高三統(tǒng)考開學考試）乒乓球是中國的國球，擁有廣泛的群眾基

礎，老少皆宜，特別適合全民身體鍛煉.某小學體育課上，老師讓小李同學從7個乒乓球

（其中3只黃色和4只白色）中隨機選取2個，則他選取的乒乓球恰為1黃1白的概率是

（）

A.-B.-C.—D.1

77142

變式3.（2024?河北保定?統(tǒng)考二模）三位同學參加某項體育測試，每人要從100m跑、

引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完

全相同的概率是（）

A.—B.-C.—D.—

1231212

變式4.（2024?湖北?高三校聯考階段練習）將2個不同的小球隨機放入甲、乙、丙3個

盒子，則2個小球在同一個盒子的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5283

題型二：古典概型與向量的交匯問題

例4.（2024?重慶?高三統(tǒng)考階段練習）已知正九邊形A4…&，從中,&4，…，審中

任取兩個向量，則它們的數量積是正數的概率為（）

A.1B.-C.-D.-

2399

例5.（2024?全國?高三專題練習）已知a,6e{-2,-l,l,2},若向量而=（a,b）,n=（l,l）,

則向量而與5所成的角為銳角的概率是（）

例6.（2024?甘肅武威?甘肅省武威第一中學?？寄M預測）連擲兩次骰子分別得到點數

m,n,則向量（利,〃）與向量（T,D的夾角9>g的概率是（）

A.4B.-C.—D.—

231212

變式5.（2024?四川成都?四川省成都市玉林中學校考模擬預測）從集合口,2,4｝中隨機抽

取一個數從集合｛2,4,5｝中隨機抽取一個數b,則向量沅=（a,6）與向量萬=（2,-1）垂直的

概率為（）

A.-B.-C.-D.-

9933

變式6.（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）從集合｛0,1,2,3｝中隨機地取一個數。,從集合

｛3,4,6｝中隨機地取一個數6,則向量方=0,。）與向量￡=（1,-2）垂直的概率為（）

1

ABC.一D-?

-A-I4

變式7.（2024?湖北?高考真題）連擲兩次骰子得到的點數分別為根和“，記向量

1=（根,〃）與向量5=（1,-1）的夾角為凡則。10卷的概率是（）

A-HB-Ic-nD-i

題型三：古典概型與幾何的交匯問題

例7.（2024?全國?高三專題練習）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家在沙灘上面畫點

或用小石子表示數，他們將1,3,6,10,15,稱為三角形數；將1,4,

9,16,25,稱為正方形數.現從200以內的正方形數中任取2個，則其中至少

有1個也是三角形數的概率為（）

24C,”

A.—B.—D

919178-日

y/5—1

例8.（2024?四川達州?統(tǒng)考二模）把腰底比為:1（比值約為0.618,稱為黃金比）

2

的等腰三角形叫黃金三角形，長寬比為0:1（比值約為1.414,稱為和美比）的矩形叫和

美矩形.樹葉、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黃金比.在中國唐、宋時期的單檐建筑中存在較多

的0:1的比例關系,常用的A4紙的長寬比為和美比.圖一是正五角星（由正五邊形的五條

AO=叵圖二是長方體，EF=4i,EG=2硝=2.在圖一圖

對角線構成的圖形）,

2

二所有三角形和矩形中隨機抽取兩個圖形，恰好一個是黃金三角形一個是和美矩形的概率

為（）

例9.（2024?江西?高三校聯考階段練習）如圖，這是第24屆國際數學家大會會標的大

致圖案，它是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的.現用紅色和藍色給這4個三角形

區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（）

變式8.（2024?江西?校聯考二模）圓周上有8個等分點，任意選這8個點中的4個點構

成一個四邊形，則四邊形為梯形的概率是（）

10「12-14-16

AA.—B.—C.—D.—

35353535

變式9.（2024?廣東深圳?高三深圳市福田區(qū)福田中學?？茧A段練習）《幾何原本》是古

希臘數學家歐幾里得所著的一部數學巨著，大約成書于公元前300年.漢語的最早譯本是

由中國明代數學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6

卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎

包含現今平面幾何的所有內容.某高校要求數學專業(yè)的學生從這7章里任選4章進行選

修，則學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

7777

變式10.（2024?河北張家口?張家口市宣化第一中學?？既＃┤鐖D，將正方體沿交于

同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分

稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體.從它的棱中任取兩條，則這兩條棱

所在的直線為異面直線的概率為()

23236969

變式11.(2024?全國?高三專題練習)《九章算術.商功》指出“斜解立方，得兩遒堵.斜解

遭堵，其一為陽馬，一為鱉膈.陽馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉腌三而一，驗之以

其形露矣.”意為將一個正方體斜切，可以得到兩個遹堵，將遭堵斜切，可得到一個陽

馬，一個鱉腌(四個面都是直角三角形的三棱錐)，如果從正方體的8個頂點中選4個頂點

得到三棱錐，則得到的三棱錐是鱉席的概率為()

18r16〃12一8

AA.—B.—C.—D.—

29292929

題型四：古典概型與函數的交匯問題

一_3、

例10.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考三模)己知me」g2+lg5,log43，U，tanl),從這四個數

中任取一個數機，使函數/(x)=V+2mx+l有兩不相等的實數根的概率為.

例11.(2024?全國?高三專題練習)已知四個函數：(1)<(x)=x,(2)力(x)=sinx,

(3)力(x)=tanx,(4)%(力=葭，從中任選2個，則事件“所選2個函數的圖象有且僅

有一個公共點”的概率為.

例12.(2024?河南信陽?河南省信陽市第二高級中學校聯考一模)在-2,-1,0,1,2

的五個數字中，有放回地隨機取兩個數字分別作為函數>=依2+3a-2中°,b的值，則該

函數圖像恰好經過第一、三、四象限的概率為.

變式12.(2024?四川遂寧?統(tǒng)考一模)若函數y=/(x)的定義域和值域分別為4={1,2,3}

和8={1,2},則滿足/(I)豐/(3)的函數概率是.

變式13.(2024?全國?高三專題練習)一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六

23

個定義域為E的函數：<(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,力(x)=sinx,%(x)=cosx,

九(x)=2|x|+l.現從盒子中逐一抽取卡片并判函數的奇偶性，每次抽出后均不放回，若

取到一張寫有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，設抽取次數為X,則X<3的概率

為.

變式14.（2024?全國?高三專題練習）對于定義域為。的函數/'（X）,若對任意的

x^x^D,當王時都有則稱函數/（尤）為“不嚴格單調增函數”，若函數

的定義域。=｛1,2,3,4,5｝,值域為A=｛6,7,8｝,則函數為“不嚴格單調增函數”的

概率是.

變式15.（2024?上海?高三專題練習）從3個函數：Jv一=人?J丫一_尤人2和y=x中任取2個，

其積函數在區(qū)間（一*0）內單調遞增的概率是.

題型五：古典概型與數列的交匯問題

例13.（2024?江西鷹潭?統(tǒng)考一模）斐波那契數列｛月｝因數學家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為"兔子數列".因"趨向于無窮大

時，冬無限趨近于黃金分割數，也被稱為黃金分割數列.在數學上，斐波那契數列由以下

工+i

遞推方法定義：數列｛耳｝滿足耳=B=1,Fn+2=Fn+t+Fn,若從該數列前10項中隨機抽取

2項，則抽取的2項至少有1項是奇數的概率為（）

1r13r14

AA.—B.—C.—D.—

15151515

例14.（2024?全國-高三專題練習）斐波那契數列又稱黃金分割數列，也叫“兔子數

列”，在數學上，斐波那契數列被以下遞推方法定義：數列｛風｝滿足4=%=1，

4+2=?！?4+1，先從該數列前12項中隨機抽取1項，是質數的概率是（）

517

A.B,-C.-D.

124312

例15.（2024?黑龍江?黑龍江實驗中學?？既＃┮阎吵楠劵顒拥闹歇劼蕿槊看?/p>

抽獎互不影響.構造數列同，使得第〃次未中獎,，記

Sa=q+c?+…+g（，eN*）,則國=1的概率為（）

變式16.（2024?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習）數列｛%｝共有10項，且滿足：4=1,

%=11,每一項與前一項的差為2或-2,從滿足上述條件的所有數列中任取一個數列，則

取到的數列滿足每一項與前一項的差為-2的項都相鄰的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

93918

變式17.（2024?全國?高三專題練習）斐波那契數列｛耳｝因數學家萊昂納多?斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數列因w趨向于無窮大

時，與無限趨近于黃金分割數，也被稱為黃金分割數列.在數學上，斐波那契數列由以

下遞推方法定義：數列｛匕｝滿足￡=&=1,Fn+2=Fn+l+Fn,若從該數列前10項中隨機抽

取1項，則抽取項是奇數的概率為（）

A.|B.—C.-D.—

210310

變式18.（2024?全國?高三專題練習）記數列｛%,｝的前〃項和為S",已知

2

Sn=an-4an+b,在數集｛-1,0,1｝中隨機抽取一個數作為a,在數集｛-3,0,3｝中隨機抽取

一個數作為6.在這些不同數列中隨機抽取一個數列｛《｝，則｛4｝是遞增數列的概率為

（）

1223

A.-B.-C.-D.-

3934

變式19.（2024?全國?高三專題練習）已知數列｛a,｝（〃eN*）的前九項和為且

S“=2a”-1,若數列也｝滿足。也=f2+11〃-32,從5<〃W10,"eN*中任取兩個數，貝U

至少一個數滿足。=2的概率為（）

A.1B.-C.—D.-

25123

變式20.（2024?全國?高三專題練習）已知等比數列｛%｝的首項為1,公比為-2,在該數

列的前六項中隨機抽取兩項4“，a?（m,neN"）,則a,“一a”28的概率為（）

A.-B.-C.-D.y

5432

題型六：古典概率與統(tǒng)計的綜合

例16.（2024?四川宜賓?統(tǒng)考二模）2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯全球第一，以

比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮的“成績單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球

新能源汽車市場銷量冠軍，為了解中國新能源車的銷售價格情況，隨機調查了10000輛新

能源車的銷售價格，得到如圖的樣本數據的頻率分布直方圖：

⑴估計一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間［5,35）（單位：萬元）的概率，以及中國新

能源車的銷售價格的眾數；

⑵現有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機抽取2輛，

求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.

例17.（2024?北京西城?高三北京市第三十五中學校考開學考試）為了解某中學高一年

級學生身體素質情況，對高一年級的（1）班?（8）班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨

機各抽10名學生進行身體素質監(jiān)測.經統(tǒng)計，每班10名學生中身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀

的人數散點圖如下（x軸表示對應的班號，V軸表示對應的優(yōu)秀人數）：

舛0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O123456787

（1）若用散點圖預測高一年級學生身體素質情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生

身體素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；

⑵若從以上統(tǒng)計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設X表示2人中身體

素質監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數，求X的分布列及其數學期望；

（3）假設每個班學生身體素質優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質優(yōu)秀率相

等.現在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“短=1”表示第七班抽到的這名同學身體素質

優(yōu)秀，“募=0”表示第七班抽到的這名同學身體素質不是優(yōu)秀（左=1,2,…,8）.寫出方差

D信），。值）,。（芻）,。值）的大小關系（不必寫出證明過程）.

例18.（2024?四川成都?校聯考模擬預測）某重點大學為了解準備保研或者考研的本科

生每天課余學習時間，隨機抽取了100名這類大學生進行調查，將收集到的課余學習時間

（單位：h）整理后得到如下表格：

課余學習時間[1，3）[3,5)[5,7)[7,9)[9，川

人數510254020

（1）估計這1。0名大學生每天課余學習時間的中位數；

⑵根據分層抽樣的方法從課余學習時間在[7,9）和[9,11],這兩組中抽取6人，再從這6人

中隨機抽取2人，求抽到的2人的課余學習時間都在[7,9）的概率.

變式21.（2024?海南海口?高三統(tǒng)考期中）為促進全民健身更高水平發(fā)展，更好地滿足

人民群眾的健身和健康需求，國家相關部門制定發(fā)布了《全民健身計劃（2021—2025

年）》.相關機構統(tǒng)計了我國2018年至2022年（2018年的年份序號為1,依此類推）健身

人群數量（即有健身習慣的人數，單位：百萬），所得數據如圖所示：

（1）若每年健身人群中放棄健身習慣的人數忽略不計，從2022年的健身人群中隨機抽取5

人，設其中從2018年開始就有健身習慣的人數為X,求E（X）；

（2）由圖可知，我國健身人群數量與年份序號線性相關，請用相關系數加以說明.

-磯％-y）

附：相關系數，=”.參考數據:3=280,￡＞：=55,

快小冬一『-

55________

yy-=397262,E%%=4429,J52620以229.4.

z=li=l

變式22.(2024?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學校考開學考試)某市教師進城考試

分筆試和面試兩部分，現把參加筆試的40名教師的成績分組：第1組［75,80),第2組

［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］.得到頻率分布直方圖如圖

(1)分別求成績在第4,5組的教師人數；

(2)若考官決定在筆試成績較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名進入面試，

①己知甲和乙的成績均在第3組，求甲和乙同時進入面試的概率；

②若決定在這6名考生中隨機抽取2名教師接受考官D的面試，設第4組中有X名教師被

考官。面試，求X的分布列和數學期望.

變式23.(2024?全國?高三專題練習)插花是一種高雅的審美藝術，是表現植物自然美

的一種造型藝術，與建筑、盆景等藝術形式相似，是最優(yōu)美的空間造型藝術之一。為了通

過插花藝術激發(fā)學生對美的追求，某校舉辦了以“魅力校園、花香溢校園”為主題的校園插

花比賽。比賽按照百分制的評分標準進行評分，評委由10名專業(yè)教師、10名非專業(yè)教師

以及20名學生會代表組成，各參賽小組的最后得分為評委所打分數的平均分.比賽結束

后，得到甲組插花作品所得分數的頻率分布直方圖和乙組插花作品所得分數的頻數分布

表，如下所示：

分數區(qū)間頻數

[72,76)1

[76,80)5

[80,84)12

[84,88)14

[88,92)4

[92,96)3

[96,100]1

定義評委對插花作品的“觀賞值”如下所示:

分數區(qū)間[72,84)[84,92)[92,100]

觀賞值123

(1)估計甲組插花作品所得分數的中位數(結果保留兩位小數)；

(2)若該校擬從甲、乙兩組插花作品中選出1個用于展覽，從這兩組插花作品的最后得分來

看該校會選哪一組，請說明理由(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(3)從40名評委中隨機抽取1人進行調查，試估計其對乙組插花作品的“觀賞值”比對甲組

插花作品的“觀賞值”高的概率.

【解題方法總結】

求解古典概型的交匯問題的步驟

（1）將題目條件中的相關知識轉化為事件；

（2）判斷事件是否為古典概型；

（3）選用合適的方法確定樣本點個數；

（4）代入古典概型的概率公式求解.

題型七：有放回與無放回問題的概率

例19.（2024?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預測）一個袋子中有大小和質地相同的5個球，其中

有3個紅色球，2個白色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則第2次摸到紅色球

的概率為.

例20.（2024?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預測）已知紅箱內有3個紅球、2個白球，

白箱內有2個紅球、3個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內取出一球

后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去，以

此類推，第左+1次從與第上次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去.則第

3次取出的球是紅球的概率為.

例21.（2024?湖北?校聯考三模）袋中有形狀和大小相同的兩個紅球和三個白球，甲、

乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結果，則乙摸出紅球的

概率是.

變式24.（2024?浙江?校聯考二模）袋中有形狀大小相同的球5個，其中紅色3個，黃

色2個，現從中隨機連續(xù)摸球，每次摸1個，當有兩種顏色的球被摸到時停止摸球，記隨

機變量J為此時已摸球的次數，則EC）=.

變式25.（2024?全國?模擬預測）小穎和小星在玩抽卡游戲，規(guī)則如下：桌面上放有5

張背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有兩種顏色的圖案，其中一張為紫色，其余為藍色.現

將這些卡牌背面朝上放置，小穎和小星輪流抽卡，每次抽一張卡，并且抽取后不放回，直

至抽到印有紫色圖案的卡牌停止抽卡.若小穎先抽卡，則小星抽到紫卡的概率為.

變式26.（2024?浙江?模擬預測）袋中有大小質地均相同的1個黑球，2個白球，3個紅

球，現從袋中隨機取球，每次取一個，不放回，直到某種顏色的球全部取出為止，則最后

一個球是白球的概率是.

題型八：概率的基本性質

例22.（2024?全國?高三專題練習）某企業(yè)有甲、乙兩個工廠共生產一精密儀器1200

件，其中甲工廠生產了690件，乙工廠生產了510件，為了解這兩個工廠各自的生產水平，

質檢人員決定采用分層抽樣的方法從所生產的產品中隨機抽取80件樣品，已知該精密儀器

按照質量可分為A,民C,。四個等級.若從所抽取的樣品中隨機抽取一件進行檢測，恰好抽

3

到甲工廠生產的A等級產品的概率為二，則抽取的氏CD三個等級中甲工