2025屆臺(tái)州高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

臺(tái)州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題

數(shù)學(xué)2024.11

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆

將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知tan?=2,則cos2a的值為（）

2.橢圓可：土+上=1與橢圓E,:「一+二^=1（0（左<4）的（）

19429-k4—k

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等

3.若復(fù)數(shù)z是方程必―2x+5=0的一個(gè)虛根，貝Uz+I=（）

A.-2B.2C.-4zD.4z

4.已知集合4=卜,+2%<3},3={電+%<3},則“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

V-bx++2

5.已知變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，由一元線性回歸模型1,根據(jù)最

E（e）=0,D（e）=o-2,

小二乘法，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=L6x+4,若是=10,3=15,則4=（）

A.6.6B.5C.-1D.-14

6.已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe（0,+oo）時(shí)，/（x）=log3x,則/（—9）=（）

A.-3B.-2C.2D.3

7.已知球。的半徑為3,P是球。表面上的定點(diǎn)，S是球。表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足（2而+豆）?而=0,

則線段。5軌跡的面積為（）

A.30兀B.36兀C.60兀D.6石兀

8.臺(tái)州某校為陽(yáng)光體育設(shè)計(jì)了一種課間活動(dòng)，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到4x4的方格場(chǎng)地中（每人

站一格，每格至多一人），則兩個(gè)男生既不同行也不同列，同時(shí)兩個(gè)女生也既不同行也不同列的概率是（）

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列選項(xiàng)正確的是()

14

A.若隨機(jī)變量X~5(6,§),則。(X)=g

B.若隨機(jī)變量X~N(6,4),則E(X)=6

C.若隨機(jī)變量X服從0—1分布，且尸(X=l)=g,則。(X)=；

C}C：T2

D.若機(jī)變量X滿足P(X=左)=，攵二0,1,2,則或X)=§

10.已知函數(shù)/(%)=|〃—2sinM-卜in%]〃￡H,且QWO,則下列選項(xiàng)正確的是()

7T

A./(x)的最小正周期為兀B.7(x)的圖象關(guān)于直線x=萬(wàn)對(duì)稱(chēng)

C.Vxpx2eR,\f(xj-f(x2)\<4D.三。e(1,3),/(x)在[0,上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

11.已知棱長(zhǎng)為3的正四面體A—BCD,荏=2而，而=〃反，說(shuō)'=g/,；[0,1],則下列選項(xiàng)正

確的是()

A.當(dāng)〃=5時(shí)，EFBC=QB.當(dāng)〃<2時(shí)，附卜號(hào)

,則|赤『的最大值為14+；&

C.當(dāng)冏=6時(shí)，4+〃的最大值為gD.當(dāng)同=新時(shí)

非選擇題部分(共92分)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”

的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)從上到下各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{4},

則％0-▲

X_1

13.若/(x)=^^+ax在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的最大值為▲

e+1

14.已知圓C:x2+y2+￡)x+Ey=0,其中。<0,若圓C上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線x+gy—2=0的距離為

F

,則上的值為▲；圓C的半徑取值可能為▲（請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)可能的半徑取值）.

D

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）已知△ABC的內(nèi)角A,5,C所對(duì)的邊分別為a,4c,且2c-。=2acosB.

Q）求角A；

（2）若△ABC的面積為4百，。為AC的中點(diǎn)，求3。長(zhǎng)度的最小值.

16.（15分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，PC=AC.

（1）求證：平面平面A5CD；

（2）求直線與平面PCD所成角的正弦值.

17.（15分）已知函數(shù)/（冗）=+4%2-5元.

（1）求函數(shù)y=/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若不等式V對(duì)任意％w[1,+8）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

22

18.（17分）已知拋物線I:;/=4x的焦點(diǎn)為「準(zhǔn)線為/,雙曲線二：土-上=1的左焦點(diǎn)為T(mén).

（1）求/的方程和雙曲線口的漸近線方程;

（2）設(shè)。為拋物線11和雙曲線12的一個(gè)公共點(diǎn)，求證：直線QT與拋物線11相切;

(3)設(shè)P為/上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PT與雙曲線匕的左、右兩支分別交于A3兩點(diǎn)，直線尸尸與拋物線「1交

1k

于不同的兩點(diǎn)c,。，判斷1~是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

網(wǎng)Qi

19.(17分)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛4｝和如下的兩條性質(zhì)：

月：存在實(shí)數(shù)2>0,使得V'/eN*且，<),都有力—。0/1；

P2：任意i,jwN*且i<j,都存在加wN*,使得。根=2%-q.

⑴若4=〃+±“eN*,判斷數(shù)列｛4｝是否滿足性質(zhì)片，并說(shuō)明理由；

n

(2)若不<：<……GeN*r=1,2,3,…),且數(shù)列也｝滿足任意neN*,bna.,則稱(chēng)也｝為數(shù)列

｛%｝的一個(gè)子數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛4｝同時(shí)滿足性質(zhì)《和性質(zhì)P2.

①若。1=1,%=5，求出的取值范圍；

②求證：存在｛4｝的子數(shù)列為等差數(shù)列.

臺(tái)州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題

數(shù)學(xué)參考答案2024.11

12.5513.-14.V3,廠￡（0,0）均可

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）解：（1）已知2。一6=2〃cosB,由正弦定理得，

2sinC-sinB=2sinAcosB,因?yàn)锳+8+C=7i,所以2sin（A+B）-sinB=2sinAcosB,

整理得2sinAcosB+2cosAsin5-sinB=2sinAcosB,即cosA=—,

2

jr

又因?yàn)锳e（0,兀），所以A=—.

3

(2)已知$4BC=gbcsinA=4G，由(1)知A=],得。c=16,

(AA2bA211

2

因?yàn)锽O?=_2-2---C-COSA=—+c一一bc>bc——be=8,

UJ+C2422

當(dāng)。=2c=4及時(shí)取到等號(hào)，所以3。的最小值為2后.

16.(15分)解：(1)不妨設(shè)正方形A8CD邊長(zhǎng)為2,則PD=CD=2,AC=PC=20,

由PC?=2￡)2+82,得CDLPD,再由得平面。4。，

因?yàn)镃￡)u平面ABCD,所以平面PAD_L平面ABCD.

(2)取AD中點(diǎn)0,連結(jié)尸0,則POL平面A8C。，

以。為原點(diǎn)，OQOP所在直線分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則尸(0,0,V3),5(2,-1,0),C(2,l,0),D(0J,0),而=(2,—1,-6)，

-n-DC=0,2x=0,_l

設(shè)平面PC。的法向量為〃=(x,y,z),則<______=><l取〃=(0,j3,l),

n-PD=0,y—j3z=0,

\PB-n\2J3

記P3與平面PCD所成角為e,貝usine=#

網(wǎng)對(duì)4V24

17.解：(1)/(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=3x2+8x-5,

人a2Q<n即汨—4——4+V31

令3x+8x-5=0,解得x,=-------,x2=--------,

-4-Jsl-4+A/31

由fXx)<0,解得§<x<丁,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是二三叵]

22

(2)記。⑴=X+4%-5-6Inx-a(x-1),xG[1,+oo),

j.x——ax-\-

hx=x+--ax-=，

xx

因?yàn)橛?2)<0,所以7—6山2—〃WO,得。27-61n2>7—6=l,

令h'(x)=0,解得x=1或％=----，

a—1

3

當(dāng)時(shí)，----<1,/(%)<0在［1,+8)上恒成立，因此，/z(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

a-l

得h(x)<h(l)=0，即-61nxVtz(x-l)2對(duì)任意x￡［1,+oo)恒成立.

當(dāng)1<。<4時(shí)，對(duì)任意%3］,h\x)>0,因此，/z(x)在(1,］上單調(diào)遞增，

\67—17I(Z—1)

當(dāng)/e[1,3])時(shí)，力(%o)>%(1)=0，不滿足題意.綜上，a>4.

18.(17分)解(1)準(zhǔn)線/的方程為％二—1,雙曲線的漸近線方程為y=±JIx.

2x2—y2=6,

(2)聯(lián)立方程組17

>2=4羽

消去y得V—2x—3=0,解得x=3(舍負(fù))，由對(duì)稱(chēng)性，不妨取。(3,26)，

又由T(—3,0),求得直線QT的方程為x—Gy+3=0,

聯(lián)立方程組逝y+3=°，消去％得y—4Gy+12=0,

y2-4x

因?yàn)锳=(-4A/3)2-48=0,所以直線QT與拋物線口相切.

(3)因?yàn)門(mén)(-3,0),尸(1,0),得準(zhǔn)線/為線段TF的中垂線，則直線PT與直線產(chǎn)尸的傾斜角互補(bǔ)，即

kPTkpF，

設(shè)%:y=k(x+3),lPF:y=-k(x-l),由條件知0<網(wǎng)<血,

y——k(x—1)

聯(lián)立方程組《,'消去y得左2必—(2左2+4)》+左2=0,

〔6以

則\CD\=XC+XD+2=**2+1),

k

y-左(％+3),

聯(lián)立方程組4消去y得(2—女2)九2—2左2%—女2—6=0,

2%2_y2=6,

則IA.=J1+42|xA-xB|=4?"，

Z-K

222

CCHI1V32-k瓜°2-k+3kV3

\AB\\CD\4G（左2+1）4（產(chǎn)+1）4月（r+1）6

1V3斗士/吉V3

故r+■;7為定值?

\AB\\CD\6

19.（17分）解:數(shù)列｛4｝滿足性質(zhì)片.Vz,JG2V*KJ<J,=；+--（?+-）=（J-O（l一一—）;

J