2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：等比數(shù)列（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第七章數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)從以下兩個(gè)角度來考查：

1.理解等比數(shù)列的概念.(1)等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和的基本運(yùn)算與性質(zhì)，

2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.可能與等差數(shù)列綜合出題，難度較??；(2)等

3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.比數(shù)列的綜合應(yīng)用，可能與函數(shù)、方程、不

等式結(jié)合考查，難度中檔.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.等比數(shù)列的概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于畫同一個(gè)常數(shù),那么

這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然#0).

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：衛(wèi)=畫式w22,q為非零常數(shù)).

〃〃一1

(2)等比中項(xiàng)：如果在。與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b

的等比中項(xiàng).此時(shí)32=畫磴.

提醒:⑴“G2=a)”是“a,G,6成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

(2)只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(3)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式

(1)若等比數(shù)列｛a.｝的首項(xiàng)為可，公比是分則其通項(xiàng)公式為斯=畫力仁1；

nm

通項(xiàng)公式的推廣：an=amq~.

(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nai；當(dāng)申時(shí)，S“=畫也［：):.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛斯｝是等比數(shù)列，S,是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.

(1)若女+/=m+〃(左，I,m,n€N*),則有內(nèi)回=叵同生皿.

(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即公，ak+m,詼+2如…仍是等比數(shù)列，公比為

畫貯.

（3）當(dāng)行一1,或q=—1且〃為奇數(shù)時(shí)，S?,S2?-Sn,S3,,—S2“，…仍成等比數(shù)歹U,其公比為畫

心

常用

1.若數(shù)列｛斯｝,｛勿｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，貝IJ數(shù)列｛w｝（分0）,｛%|｝,｛屆｝,［十，｛。,瓦｝,

（到也是等比數(shù)列.

2.由斯+i=qa”，q半0,并不能立即斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證內(nèi)加.

3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q=l與分類討論，防止因忽略4=1

這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.

4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為*尤，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為千，?

xq,xq5.

5.若已知等比數(shù)列｛④｝,公比為q,前九項(xiàng)和為S"則二^-=言/+為=勿〃

-W0,^1）,即S”為關(guān)于〃的指數(shù)型函數(shù)，且q"的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).

6.｛斯｝為等比數(shù)列，若am…則T”，景,要，…成等比數(shù)列.

7.若｛詼｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，貝U｛logca"｝（c>0,存1）為等差數(shù)列.

8.若｛斯｝為等差數(shù)列,則｛ca〃｝（c>0,存1）為等比數(shù)列.

9.若｛斯｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列=｛詼｝是非零常數(shù)列.

10.（1）項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)，在等比數(shù)列｛④｝中，公比為/

①若共有2”項(xiàng)，貝!IS假：S奇=q；

②若共有2n+1項(xiàng)，則%包=%

3偶

n

（2）分段求和：Sn+m=Sn~\~qnSm=q=&—一為公比）.

11.等比數(shù)列的單調(diào)性

當(dāng)4>1,句>0或5<0時(shí),｛%｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)q>l,m<0或0<q<l,的>0時(shí)，｛“”｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)4=1時(shí)，｛詼｝是常數(shù)列.

診斷自測(cè)

i.概念辨析(正確的打“卡，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)三個(gè)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是〃=℃.()

(2)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則S4,Ss-S4,S12—S8成等比數(shù)列.()

⑶滿足總I=M(，7€N*,q為常數(shù))的數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列.()

(4)如果數(shù)列｛詼｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛In斯｝是等差數(shù)列.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝的前4項(xiàng)和為15,且的=3。3+46，則侑=()

A.16B.8

C.4D.2

答案C

fai+ai<7+ai<72+<7i<73=15>

解析設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的公比為小貝乂42,解得

團(tuán)1=1，

1一2所以。3=?？?=4.故選C.

(2)若等比數(shù)列｛跖｝的前”項(xiàng)和S〃=3"+b,則6=()

A.3B.1

C.-1D.0

答案C

解析當(dāng)”=1時(shí)，ai=Si=3+6,當(dāng)九22時(shí)，a“=S”-S"—i=(3"+6)-(3Li+b)=23Li,當(dāng)

6=—1時(shí),。1=2適合a”=2?3"-i,｛斯｝是等比數(shù)列.當(dāng)厚一1時(shí)，的不適合a“=2?3"-i,｛an｝

不是等比數(shù)列.故選C.

(3)(人教A選擇性必修第二冊(cè)4.3.1練習(xí)T2改編)在等比數(shù)列｛a“｝中，的=2,s=8,則°5=()

A.5B.±5

C.4D.+4

答案C

解析,底=°3。7=2義8=16,，。5=±4.又。5=a3q2>。，，。5=4.故選C.

(4)(人教A選擇性必修第二冊(cè)432練習(xí)T4改編)已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13,

積等于27,則這三個(gè)數(shù)為.

答案1,3,9或9,3,1

。+北的=13，卜=3，g=3，

解析設(shè)這三個(gè)數(shù)為*a,aq,貝R解得＜1或＜°，這三個(gè)數(shù)為1,

qaq=41q=3，

\^a---aq—21，["3

3,9或9,3,1.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

例1(1)(2023?全國(guó)甲卷)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前w項(xiàng)和為S“，若?=1,$5=

5加一4,則$4=()

15「65

AA-TB.g

C.15D.40

答案C

解析由題意知l+q+q2+g3+g4=5(]+q+g2)—%gp^3_|_^4—即以g—2)(q+l)(q

+2)=0.由題意知4>0,所以q=2,所以$4=1+2+4+8=15.故選C.

39

(2)在等比數(shù)列｛斯｝中，43=5，$3=1，則。2的值為()

3

A.2B.—3

C.—D.—3或方

答案D

解析由S3=ai+〃2+〃3=〃3(9-2+9一1+1),得/2+g-1+1=3,即2/一夕―i=0,解得夕=

1或4=一所以42='=1或一3.故選D.

【通性通法】

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)at和公比q,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和

方程思想

公式列方程(組)求解，等比數(shù)列中包含⑶，q,n,an,S“五個(gè)量，可“知三求二”

當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用的，q表示，尋求兩者間的聯(lián)系，

整體思想

整體代換即可求解

分類討論若題目中公比q未知，則運(yùn)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式時(shí)要分q=l和qWl兩種情

思想況進(jìn)行討論

【鞏固遷移】

1.(2024?福建泉州中學(xué)階段考試)記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若〃5一。3=12,麗一。4=

24,貝嚕=()

A.2"-1B.2-21-"

C.2一2"-1D.21-"-1

答案B

CU5—-a1q2=12，[。1=1，

解析解法一：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,則由彳_53_解得4所

一。4—a、q-a、q—24，[q—2，

以S.=m=2"_1,如=0八=2"一1,所以拿=記=2—2~故選B.

1q斯z

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,因?yàn)轭虹齞：5二｝=春券2,所以尸2,所

(1-g")

以4=:渭=裂=2—2廣”.故選B.

UnCliqZ

2.(2023?全國(guó)甲卷)記&為等比數(shù)列｛礪｝的前〃項(xiàng)和.若8s6=7S3,則｛斯｝的公比為.

答案V

解析若q=l,則由8s6=7S3得8?6m=7-3ai,則的=0,不符合題意，所以#1.當(dāng)g1時(shí)，

因?yàn)?s6=753，所以8-一仁一=7.-W—,即8(1—q6)=7(l一或)，即8(1+?3)(1一

g3)=7(l—q3),即8(l+q3)=7,解得q=—/

考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究)

考向1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

例2⑴在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝中，已知0＜勾＜1,其前〃項(xiàng)之積為T”，且/2=々，

則G取得最小值時(shí)，n的值是.

答案9

解析由T12=(5，得牛=1,即。7。8。9。10。11。12=(。900)3=1,故。9。10=1，因?yàn)椤?。18=。9。10,

則0018=1，由于得。18＞1，所以等比數(shù)列｛&｝是遞增數(shù)列,故0。9＜1＜為0，則及

取得最小值時(shí)，n=9.

12

(2)(2023?湖南師大附中模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中，的+〃2+。3+。4+。5+。6+。7+〃8=5，〃4。5

2n.,1,1,1,11111,1,1

=—￡，則—+—+—+—+—+—+—+——________?

5aia2a3a4。5〃6〃7〃8

答案一6

j。1+恁+〃2+〃7+。3+〃6+〃4+〃5

解析3???在等比數(shù)列｛斯｝

a\ai。3。4。5"6Cl7〃8〃1〃8a2a7a3a6〃4〃5

22.,5

中，。4。5=一亍貝U。1。8=。2。7=。3。6=。4〃5=—亍???原式=—](〃1+。2+〃3+〃4+。5+。6+〃7

+〃8)=_|x*-6.

【通性通法】

利用項(xiàng)的性質(zhì)的解題策略

在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若

策略一

m+n=p+q=2k,貝4Pq=〃針，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度

在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此

策略二

外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用

【鞏固遷移】

3.公比不為1的等比數(shù)列｛念｝滿足〃5〃6+。4〃7=8,若〃2am=4,則根的值為（）

A.8B.9

C.10D.11

答案B

解析?公比不為1的等比數(shù)列｛斯｝滿足。5〃6+〃4〃7=8,，恁恁=團(tuán)劭二%又“2。加=4,.二？

+加=5+6=11,解得機(jī)=9.故選B.

4.（2023?北京東城區(qū)模擬）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿足〃I+〃2=48,04+05=6,則公比q=,

10g2（〃l〃2〃3…斯）的最大值為?

答案115

解析因?yàn)椤?+。2=48,所以由〃4+。5=6,可得夕3（的+〃2）=6,^3=g,9=3.由。1+。2=48,

1mn_1__

6n546n

可得。1+于1=48=〃1=32,所以an=32-\^J=2~flog2（?i6Z2?3...an）=log2（2-2-...-2~）=

2n(11—n)e“(11—九)1，11Y,121*.

Iog22=-------2-------，因?yàn)?----2-------=—，"一句+~^~，及€N,所以〃=5或6時(shí),

n（11一九）

?有最大值，為

215.

考向2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

例3（1）（2023?新課標(biāo)II卷）記S〃為等比數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，若&=—5,S6=21S2，則&

=()

A.120B.85

C.-85D.-120

答案C

解析解法一：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為必若4=1,則S6=6m=3x2〃i=3S2,與題意不符，

tf(1一/)a\(1一成)a\(1一/)…

所以療1；由&=-5,§6=2]§2可何，\=—5,=21x"①，

由①可得，1+如+/=21,解得“2=4,所以&=-；1;.=幻；4)x(l+/)=_5x(l

+16)=-85.故選C.

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛?！ǎ墓葹橄Γ?yàn)镾4=—5,S6=21S2，所以行一1,否則S4=0,從

而S2,S4-S2,S6-S4,S8—S6成等比數(shù)列,所以(一5—S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2

=不當(dāng)512=-1時(shí)，S2,S，—Sz,5r6-$4,&—$6,即為一L—4,—16,Ss+21,易知戰(zhàn)+21

=-64,即S8=—85；當(dāng)$2=1時(shí)，54=。1+。2+。3+。4=(。1+〃2)(1+/)=(1+/)S2>0,與S4

=-5矛盾，舍去.故選C.

(2)已知等比數(shù)列｛斯｝共有2〃項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比4

答案2

S奇+5偶=—240,S奇=—80,—160

解析由題意，得，解得，S『T6。，所以打工=-80=2-

S奇一S偶=80,

【通性通法】

等比數(shù)列的性質(zhì)分類

類型一通項(xiàng)公式的變形

類型二等比中項(xiàng)的變形

類型三前n項(xiàng)和公式的變形

提醒：應(yīng)用時(shí)根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

【鞏固遷移】

5.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”若—1,貝卜=()

A.2B.-2

C.1D.-1

答案A

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q,當(dāng)4=1時(shí)，S"=mii，不符合題意；當(dāng)仍4時(shí)，等比數(shù)列的前

w項(xiàng)和公式為?_"〃）=_，?/+—,依題意義=八2『1—1=%2—1,即1+（一

]—q1—q1~q22

1）=0,解得f=2.故選A.

6.（2024?湖南岳陽(yáng)一中月考）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,且S8-2S4=5,則o

+aio+au+ai2的最小值為.

答案20

解析在正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中，S?>0,因?yàn)镾8—254=5,則S8—S4=5+S4，易知叉，S「SA,

S12—S8是等比數(shù)列，所以（&—S4）2=S4,（Si2—Sg）,所以Sn~S^=q=5^+84+

10》2\S+10=20（當(dāng)且僅當(dāng)S4=5時(shí)取等號(hào)）.因?yàn)椤?+010+111+〃12=S12—S8，所以。9

+〃io+〃ii+〃i2的最小值為20.

考向3等比數(shù)列前〃項(xiàng)和最值問題

例4（多選）（2024.河北涿州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為9，其前〃項(xiàng)和為％,前〃項(xiàng)積為

CLKY）^1

Tn,并滿足條件〃2023〃2024>1，、7<。，下列結(jié)論正確的是（）

“2024—1

A.S2023Vs2024

B.〃2023〃2025—1<0

C.“024是數(shù)列｛4｝中的最大項(xiàng)

D.數(shù)列｛〃｝無最大項(xiàng)

答案AB

。20231

解析當(dāng)“<0時(shí)，”2023。2024=。布234<。，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，。2023>1，。2024>1，7

02024-1

>0,與已知矛盾，故且。2023>1，0<。2024<1，故52024>$2023，A正確；。2023a2025

—1=血24—1<0,B正確；辦23是數(shù)列｛%｝中的最大項(xiàng)，C,D錯(cuò)誤.故選AB.

【通性通法】

涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.

【鞏固遷移】

7.（2023?安徽安慶模擬）已知等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,前“項(xiàng)和為S",若q>0,則須薨的

最小值是.

答案2、”一1

2

名刀+匚上啊S1+S3〃1+〃1+〃2+〃32+q+q2(q+1)—(q+l)+2

解析由題意知,---------9---------=夕+1+

臺(tái)一1,又q>0,則〃+1+皆^—1N2限一1，當(dāng)且僅當(dāng)〃=也一1時(shí)，等號(hào)成立.即笠3

的最小值是2吸一1.

考點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明

例5%為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，己知。4=9“2，$3=13,且公比g>0.

⑴求斯及當(dāng)；

(2)是否存在常數(shù)九使得數(shù)歹U｛S.+2｝是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

解⑴易知行1,

a\qi—9a\q’

ai(1—cP)—1'

由題意可得〈、=13,解得.

Il—q[q=3，

q>0'

.1-3"3”—1

?"a—3",S—~.T-=5-

nni—Jz

⑵假設(shè)存在常數(shù)加使得數(shù)列｛S〃+4｝是等比數(shù)列，

N+丸=2+1,82+4=4+4,83+4=2+13,

.,.(A+4)2=G+1)(A+13),

解得力=/此時(shí)5〃+3=m<3〃，

5?+I+||x3"+1

則——r=-j—=3,

S"+\2x3"

故存在常數(shù)使得數(shù)歹?S"+3是以方為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

【通性通法】

等比數(shù)列的判定與證明的方法

提醒：(1)在解答題中證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，一般用定義法與等比中項(xiàng)法，判斷一個(gè)數(shù)

列是等比數(shù)列，有通項(xiàng)公式法及前力項(xiàng)和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定.

(2)如果要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)的三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

(3)判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

(4)在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)w=l的情形進(jìn)行驗(yàn)證.

【鞏固遷移】

8.(2024?江西撫州一中質(zhì)檢)已知數(shù)列｛斯｝，｛d｝滿足ai19bi2，2Q〃+I〃八+2人〃，2bfi+i

(1)證明：數(shù)列｛斯+兒｝,｛斯一6"｝為等比數(shù)歹U;

(2)記S”為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，證明：

證明(1)依題意

2bn+\=^an+bn，②

3

又“1+歷=辦0,

二｛斯+6”｝是首項(xiàng)為3家公比為3)的等比數(shù)列,

①一②，得?！?1—瓦+1=;(斯―瓦).

又0一加=$0,

，｛斯一瓦｝是首項(xiàng)為士，公比為〃的等比數(shù)列.

,3<3Y-1

w=X

(2)由⑴得，an~\~^2\4j'

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知等比數(shù)列｛詼｝中，。5=9,。3。8=知。2,則。2〃6=（）

A.27B.9

C.±9D.±27

答案A

解析因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，所以。3。8=〃2。9=81〃2，可得。9=81,因?yàn)?5=9,所以

〃59

/=9,/=3,〃3=/=1=3,所以〃2。6=〃3。5=27.故選A.

2.（2023?天津高考）已知｛斯｝為等比數(shù)列，8〃為數(shù)列｛詼｝的前〃項(xiàng)和，即+i=2S〃+2,則。4的

值為（）

A.3B.18

C.54D.152

答案C

解析解法一：因?yàn)閍n+i—2Sn~\~2,所以當(dāng)幾22時(shí)，斯=2S〃—1+2,兩式相減，得斯+i—an

=2斯，即斯+1=3斯，所以數(shù)列｛斯｝是公比4=^^=3的等比數(shù)列.當(dāng)幾=1時(shí)，〃2=2SI+2

=2（2I+2,又〃2=3的，所以3〃i=2ai+2,解得〃1=2,所以〃4="I/=2X33=54.故選C.

解法二：設(shè)等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,因?yàn)閍〃+i=2S“+2,所以公比曲,且牛"=2勾

1q

「_一20

2。]2alI1]—q[a[=2，

+2=一盧%〃+盧L+2,所以〈。所以《。所以〃4=。浮=2x33=54.故選

i-qi-q,o卜=3，

Il-q

3.（2024?開封模擬）等比數(shù)列｛如｝的前幾項(xiàng)和為S〃=32E+r,貝Ur的值為（）

A-3B--I

C.gD.一g

答案B

解析因?yàn)閥=32〃一1+r=gx9〃+r,由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式中9〃的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反

數(shù)，可知r=—g.

4.已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)歹ll，為其前n項(xiàng)和，若〃1+〃2+。3=4,。4+〃5+。6=8,則S12=（）

A.40B.60

C.32D.50

答案B

解析數(shù)列S3,S6—S3,S9—S6，S12—S9是等比數(shù)列，即4,8,S9—S6JS12—S9是等比數(shù)列，

??.SI2=4+8+16+32=60.故選B.

5.(2023?廣東汕頭模擬)數(shù)列｛〃〃｝中，處=2,am+n=afnan,若四+1+。左+2+…+四+io=2*—2§,

貝IJk=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析〃i=2,。加+〃=斯四/，令機(jī)=1,則即+i=〃i斯=2斯，???｛“〃｝是以。1=2為首項(xiàng)，q=2為

2Al(1—210)

公比的等比數(shù)列，???4〃=2x2Li=2〃.又以+1+隊(duì)+2+…+〃葉10=215—25,?,?--------..........=

1—2

215-25,即2時(shí)1(210—1)=25(21°—1),???2K1=25,.??2+1=5,?,?攵=4.故選C.

2

6.(2024?蘇北四市模擬)已知函數(shù)啟)=百百，且等比數(shù)列｛斯｝滿足。2〃2023=1，則尬1)+加2)

+…+/(〃2024)=()

A.2024B.1012

C.2D.2

答案A

解析易知_/（無）+《0=］；/+彳苛1=2,又。2a2023=1，所以02023=~，則+八。2023）=_/（。2）

+人￡^=2,因?yàn)椋梗秊榈缺葦?shù)列'所以。1"2024=42。2023=…=。1012。1013=1，所以五。1)+大。2)+...

+黃。2024)=1012x[/(fl2)+A?2023)]=2X1012=2024.故選A.

7.(2024?重慶八中階段考試)記&為等比數(shù)列｛詼｝的前"項(xiàng)和,已知5=8,O4=-b則數(shù)列

｛S"｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

答案A

解析根據(jù)題意，等比數(shù)列｛斯｝中，<21=8,<24=-1，則^3=^=—?jiǎng)tq=~2,則SK=

ai(1-g")2

.若n為奇數(shù)，則S”=V此時(shí)有

i-q3

2

Si>S3>...>S?>-y；若W為偶數(shù)，則斗=號(hào)(1—玄)，此時(shí)有S2Vs4<…<S"(竽，所以數(shù)列｛SJ有

最大項(xiàng)多，最小項(xiàng)&.故選A.

8.(2023?河南鄭州高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛?,｝的前n項(xiàng)和為Sn,且的=2,S?+i-(Sn

+1—3")=Sg+3"),貝。$2023=()

A.32023—1B.32023+1

答案

解析因?yàn)镾“+i(S,+i—3")=斗(8+3"),所以能+i—30S"+I=S￡+3〃S“即的+1—SW=3"S“+I+

35,所以⑸+i+S”)(S”+i-&)=3"(S.+i+S.),因?yàn)閿?shù)列｛詼｝的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即S“+i+S>0,

a4〃

所以S“+i—S,=3",即a“+i=3",所以當(dāng)”》2時(shí)，笠+一1=點(diǎn)尸7=3,所以數(shù)列｛斯｝從第2項(xiàng)起,

斯J

〃(]—〃2022)

構(gòu)成以02=3為首項(xiàng)，4=3為公比的等比數(shù)列，所以S2023-1+=I2——=2+

3x(1—32022)32°23+i

一.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.(2023我名一模)已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”公比為q，則下列說法中正確的是()

A.若q>l,則。

3

B.若〃i=l,9=不則&=4—3斯

C.右*。4+〃7=2,。5。6=8,則〃1+〃10=-7

D.若。1=1,〃5=4的，則斯=2"-1

答案BC

解析對(duì)于A,若。1<0且q>l,則1<0,?'?。篦+i—a〃=a〃(q—1)<0,即即+i<a〃，A錯(cuò)

_國(guó)1_3

3<3V-11—W—I斯

誤；對(duì)于B,*.*d!i=1,〃=不~9S〃=-==4—3斯，B正確；對(duì)于C,

1-41-4

由〃5。6=。4。7得。4〃7=-8,又。4+。7=2,?**6Z4=4,〃7=-2或。4=—2,〃7=4,——/或

夕3=-2.當(dāng)/:一義時(shí)，a\+6ZIO=^1+6Z4^6=_^Y+4X^—=—7；當(dāng)夕3=—2時(shí)，。1+〃10=》

~2

—2

+〃4夕6==^+(—2)乂(-2)2=—7,C正確;對(duì)于D,V?i=L〃5=4〃3，.??q4=4q2,得夕=一：

2或4=2,???斯=(-2)〃-1或詼=2"一1,D錯(cuò)誤.故選BC.

10.(2024?江蘇蘇州期中)已知等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為公前幾(H€N*)項(xiàng)和為義,前服z€N*)

項(xiàng)積為G，若〃1=無，75=76，則1()

A.q=2

B.當(dāng)〃=6時(shí)，S,取得最大值

C.當(dāng)且僅當(dāng)力=6時(shí)，〃取得最小值

D.的正整數(shù)〃的最大值為12

答案AD

解析對(duì)于A,因?yàn)楣?6，所以°6=￡=1,因?yàn)?=賓=32,解得q=2,故A正確；對(duì)

于B,因?yàn)閮?nèi)>0,q>l,所以數(shù)列｛斯｝是各項(xiàng)為正的遞增數(shù)列，所以S”無最大值，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榈?方，a6=l,q=2,所以1W“W5時(shí)，0<斯<1,w27時(shí)，??>1,所以當(dāng)〃=

(1—2〃一1

5或〃=6時(shí)，G取得最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,S=—ax:~~--=/一，T=aiara...an

nl-q2n3

n（〃一1）〃2-11」」2-11」M-11八+10

=0/+2+.一+"-1=（2-5產(chǎn)22=22,因?yàn)?>〃，所以今4>22,即2"—1>22,

2

“,“一尸°n2-lln+101,13-^12913+J129人目，在

所以2”—2~>1,即力>-----2-------，所以----2-----<n<------2-----，正整數(shù)”的最大值

為12,故D正確.故選AD.

三、填空題

11.設(shè)a為等比數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和，若ai=g,ai=a6,則為=.

答案號(hào)

.（[_5）鏟（1—35）

解析由屈=期得（削3）2=.爐，整理得4=齊3.所以$5=0I；=-三一=號(hào).

12.（2023?全國(guó)乙卷）已知｛斯｝為等比數(shù)列，a2a4a5=的。6，〃9。10=—8,則。7=.

答案一2

解析設(shè)｛?！ǎ墓葹槭酱?），則（22。4。5=的。6=。2/恁4，顯然。,*0,則＜24=『，即?？?=7,

則aiq—1,因?yàn)閍9aio=-8,則-8,則q'=（g5）3=—8=（—2）',則爐=—2,則

。7=?？?爐=爐=-2.

13.（2024?江西南昌二中階段考試）設(shè)｛a“｝是公比為4的等比數(shù)列，|切＞1,令6n=a”+l（w=l,

2,...）,若數(shù)列｛加｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,—23,19,37,82｝中，則6g=.

答案一9

解析｛6〃｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,—23,19,37,82｝中,小=斯+1,則a”=兒一1,｛斯｝

有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛—54,—24,18,36,81｝中.又｛斯｝是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負(fù)數(shù)項(xiàng)，

則q＜0,且負(fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞增或遞減，按絕對(duì)值由小到大的順

—244463—54

序排列上述數(shù)值為18,-24,36,—54,81,相鄰兩項(xiàng)相除，得一寸=一不一萬=-5,

loJ-24230

38]332

=-],二^=一]，顯然一24,36,—54,81是｛斯｝中連續(xù)的四項(xiàng)，9=一]或9=一

3

；?此種情況應(yīng)舍去），.??4=-.?.6g=-9.

14.（2023?湖南益陽(yáng)一模）已知數(shù)列｛〃〃｝中，（21=1,即+1=^—若bn——三，則數(shù)列｛兒｝

乙ClnClnZ

的前n項(xiàng)和Sn=.

.4"+6"—1

答案——9—

1

Q”---

解析由詼+尸,一有斯+i—。=2—十=2?一即+1—2=/一十=），=將上述兩式相

乙Un乙ClnUn乙Cln乙Cln

（an一2]

除得到包烏=I，所以jzi是以（為公比，以二|=—2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以

斯一2cCY-c3”右724〃一1缶2o2n]4〃-12n

----[=-2?⑷,即=2-2+平-1，從而"〃=一1—?—?所以Sn=~~i~3X~—=—于

an~2~'

4〃-14〃+6〃-1

9=-9?

四、解答題

15.（2024?廣西柳州模擬）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足an+2=2an+i+3an.

⑴證明：數(shù)歹!J｛斯+%+1｝為等比數(shù)列；

13

⑵若〃1=1,〃2=］，求｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解（1）證明：因?yàn)椤ò?2=2斯+1+3念,

所以?！?2+?！?13（?！?1+〃八），

因?yàn)椋湥懈黜?xiàng)均為正數(shù)，

所以1+Cln>0j

Q/7+2+1

所以，

?！?1+

所以數(shù)列｛斯+斯+1｝是公比為3的等比數(shù)列.

(2)由題意知斯+斯+1=31+〃2)3〃-1=2'3"-1

因?yàn)閍n+2—2an+1+3an,

所以斯+2—3斯+1=—（即+1—3斯），

因?yàn)椤?=3的，

所以。2—3〃i=0,

所以。〃+1—3斯=0,

故斯+1=3斯，所以4〃〃=2x3"-i,

n

即an=^x3~\

16.（2022?新高考H卷）已知｛為｝為等差數(shù)列，｛為｝是公比為2的等比數(shù)列，且〃2—岳=。3一必

=仇一"4.

（1）證明：ai=bi；

（2）求集合｛向勿=而+〃1,l〈znW500｝中的元素個(gè)數(shù).

解（1）證明：設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,

4i+d—2b\—a\~\-2d—4/7i，

a\~\~d—2/?i=8/7i—(ai+3d)‘

解得所以命題得證.

klkl

⑵由⑴知，仇=的=$所以bk—am+ai＜^bix2~—ai+（m—l）d+ai，即2~—2m,亦即m

=2^2€[1,500],

解得2WKS10,

所以左=2,3,4,....10,

故集合伏瓦=礪+/，l（mW500｝中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9.

素養(yǎng)提標(biāo)

17.（多選）（2023?山東濟(jì)南二模）已知數(shù)列｛斯｝中，1=1,硒"+i=2”，“2N*,則下列說法正

確的是（）

A.〃4=4B.｛〃2"｝是等比數(shù)列

C.a2n—-1=2"1D.-1+。2〃=2"+1

答案ABC

解析'/til—1,。"。"+1=2",；.。2=2,的=2,。4=4,由?！彼?1=2"可得斯+1。”+2=2"?

Cln

｛｛｝

=2,42〃｝，3,-1分別是以2,1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?.42“=22廠1=2",a2n-

n1

1=12廠1=2"一1,：.a2n-a2?-i=2~,々2"-1+02"=32廠1力2”+1.綜上可知，A,B,C正確，D

錯(cuò)誤.故選ABC.

18.（2024?廣東揭陽(yáng)階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛斯｝中，的=5,且忌+i—2屆一斯+1斯+詼+1—2a”

=0,S,為其前"項(xiàng)和，若存在正整數(shù)小使得為[〈專成立，則7”的取值范圍是.

答案（0,+oo）

解析由已知后+i—2若一+Q+斯+i—2。〃=0,得（即+1—2斯）（斯+1+斯+1）=0,由于an＞0j

所以斯+1—2詼=0,即〃〃+1=2斯，即數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為5,公比為2的等比數(shù)列，所以斯=5x2"

=52—1

一ISn=—2（"）＞由三變形為2—m既不因?yàn)榇嬖谡麛?shù)小使得

?成立，所以2f＜傳）,由于等=W7=1+痣7，所以1＜等W2,所以2-相＜2,

\.?max，_L/1

則相＞0,即加的取值范圍為（0,+oo）.

第四節(jié)數(shù)列求和

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)

考查等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及其他求和公

和公式.

式，可能與通項(xiàng)公式相結(jié)合，也有可能與函數(shù)、方程、

2.掌握數(shù)列求和的幾種常見方法.

不等式等相結(jié)合，綜合命題，難度適中.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

(1)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

①已知等差數(shù)列的第1項(xiàng)和第n項(xiàng)求前n項(xiàng)和S尸"；

rj(VI——1)

②已知等差數(shù)列的第1項(xiàng)和公差求前n項(xiàng)和Sn=nai+2d.

⑵等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nai；當(dāng)分1時(shí)，

①已知等比數(shù)列的第1項(xiàng)和第n項(xiàng)求前n項(xiàng)和5=號(hào)二幽；

i-q

/7i(1—a")

②已知等比數(shù)列的第1項(xiàng)和公比求前n項(xiàng)和S尸1Q.