2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：定值問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題52定值問(wèn)題（新高考專(zhuān)用）

目錄

【真題自測(cè)】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................2

【考點(diǎn)1】長(zhǎng)度或距離為定值...................................................2

【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值..............................................4

【考點(diǎn)3］幾何圖形的面積為定值..............................................6

【分層檢測(cè)】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

真題自測(cè)

一、解答題

L(2024?全國(guó)?高考真題)已知橢圓C：5+，=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)在C上，且MF口軸.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸(4,0)的直線(xiàn)交C于A(yíng)3兩點(diǎn)，N為線(xiàn)段萬(wàn)的中點(diǎn)，直線(xiàn)N3交直線(xiàn)初尸于點(diǎn)。，證明：軸.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知橢圓C:￡+==l(a>b>0)的離心率是好，點(diǎn)A(-2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線(xiàn)交C于尸,。兩點(diǎn)，直線(xiàn)AP,A。與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為定

點(diǎn).

3.(2023?北京?高考真題)己知橢圓E：1+，=l(a>6>0)的離心率為冬A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，

B,。分別是E的左、右頂點(diǎn)，14cl=4.

⑴求E的方程；

(2)設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PD與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)直線(xiàn)出與直線(xiàn)、=-2交于點(diǎn)N.求證:

MN//CD.

4.(2022?全國(guó)?高考真題)設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R點(diǎn)。(p,0),過(guò)尸的直線(xiàn)交C于跖N

兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)，\MF\^3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)M2ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,8,記直線(xiàn)的傾斜角分別為名當(dāng)a-6取得最大

值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】長(zhǎng)度或距離為定值

一、解答題

1.(24-25高三上?江西九江?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C：「+4=l(a>b>0)的離心率為5，右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、

(4當(dāng)在

⑴求C的方程；

⑵已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)/：、=履+%(左二。)上，若直線(xiàn)/與C相切，且E4，/,求山的值.

22

2.(24-25高三上?江西?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線(xiàn)C:]-}=l(a>0,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為居，不，若

陽(yáng)閭=12,點(diǎn)居到其漸近線(xiàn)的距離為4立.

2

⑴求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的左、右兩支分別交于A(yíng),B兩點(diǎn)，且|前|=忸用，若|隹明，忸閭成等

比數(shù)列，則稱(chēng)該雙曲線(xiàn)為“黃金雙曲線(xiàn)”，判斷雙曲線(xiàn)C是否為"黃金雙曲線(xiàn)”，并說(shuō)明理由.

3.(24-25高三上?青海西寧?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓石：5+/=1(°>6>0)的離心率為半，點(diǎn)尸在橢圓E上

運(yùn)動(dòng)，且,P月工面積的最大值為百.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)A,8分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/與直線(xiàn)AB平行，且與x軸，'軸分別交于

點(diǎn)M,N,與橢圓E相交于點(diǎn)C,D,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(0)求一OCM與△<?用的面積之比；

(回)證明：為定值.

4.(24-25高三上?山東德州?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線(xiàn)E焦點(diǎn)在x軸上，離心率為耳，且過(guò)點(diǎn)(0,4),直線(xiàn)乙

與雙曲線(xiàn)E交于M,N兩點(diǎn)，乙的斜率存在且不為0,直線(xiàn)4與雙曲線(xiàn)E交于只。兩點(diǎn).

⑴若的中點(diǎn)為直線(xiàn)的斜率分別為左他,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求發(fā)出；

1\TP\TN

(2)若直線(xiàn)《與直線(xiàn)4的交點(diǎn)T在直線(xiàn)x=巳上，且直線(xiàn)4與直線(xiàn)4的斜率和為0,證明：lM=.

22

5.(24-25高三上?安徽?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C:1r+}=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B,R是橢圓C上異

于A(yíng)、8的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足當(dāng)R為上頂點(diǎn)時(shí)，八旬尺的面積為8.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過(guò)點(diǎn)2)的直線(xiàn)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)(D,E與A、B不重合)，直線(xiàn)AP,AE分別與直線(xiàn)

x=-6交于RQ兩點(diǎn)，求的值.

6.(24-25高三上?廣西階段練習(xí))橢圓及]+，=l(a>b>0)的離心率為半，過(guò)點(diǎn)尸(。⑼的直線(xiàn)/與

橢圓E交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，|MN|=2巡.

⑴求橢圓E的方程.

(2)設(shè)A,2分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作無(wú)軸的平行線(xiàn)分別與直線(xiàn)AB,交于C,。兩點(diǎn).試

探究。，C,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否構(gòu)成等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.

反思提升：

探求圓錐曲線(xiàn)中的定線(xiàn)段的長(zhǎng)的問(wèn)題，一般用直接求解法，即先利用弦長(zhǎng)公式把要探求的線(xiàn)段

3

表示出來(lái)，然后利用題中的條件(如直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切等)得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系

式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中，化簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值.

【考點(diǎn)2】斜率或其表達(dá)式為定值

一、解答題

r221

1.(24-25高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C:5+「v=l(a>6>0)的離心率為二，左、右頂點(diǎn)分別為A、

ab2

B,左、右焦點(diǎn)分別為月、F2.過(guò)右焦點(diǎn)尸2的直線(xiàn)/交橢圓于點(diǎn)V、N,且△片"N的周長(zhǎng)為16.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線(xiàn)AM、BN的斜率分別為。k2,證明：?為定值.

22

2.(24-25高三上?陜西?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線(xiàn)C:1—}=1.>0/>0)的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為E,虛軸

的上端點(diǎn)為尸,且忸同=3,|尸耳=右.

⑴求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M、N是雙曲線(xiàn)C上不同的兩點(diǎn)，。是線(xiàn)段腦V的中點(diǎn)，。是原點(diǎn)，直線(xiàn)MN、的斜率分別為《、"

證明：々「心為定值.

229

3.(24-25高三上?遼寧鞍山?開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓C：A+與=l(a>b>0),右焦點(diǎn)為網(wǎng)2,0)且離心率為彳，

ab3

直線(xiàn)/：x=6,橢圓c的左右頂點(diǎn)分別為A、4，P為/上任意一點(diǎn)，且不在X軸上，PA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)

為聞,尸&與橢圓c的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

⑴直線(xiàn)MAt和直線(xiàn)MA的斜率分別記為kM^kMAi,求證：34?為定值;

(2)求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn).

4

22

4.（23-24高二上?云南昆明?階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:鼻-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

片（-石,0）,巴（右,0）,左、右頂點(diǎn)分別為M,N,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸［向,！

⑴求C的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)A在圓/+產(chǎn)=02上，動(dòng)點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)c上，設(shè)直線(xiàn)AM,MB的斜率分別為勺,網(wǎng),若N,A,B=

點(diǎn)共線(xiàn)，試探索勺,質(zhì)之間的關(guān)系.

5.（2024高二上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3,0）,且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,4）.

（2）直線(xiàn)相交圓C于M,N兩點(diǎn)，若直線(xiàn)AM,AN的斜率之和為0,求證：直線(xiàn)式的斜率是定值，并求出該

定值.

22

6.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C:5-2=l（a>0,6>0）的離心率為近,右焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)C的

ab

一條漸近線(xiàn)的距離為1,兩動(dòng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上，線(xiàn)段的中點(diǎn)為M（2〃?,77Z）（77件0）.

（1）證明：直線(xiàn)A3的斜率后為定值；

2

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OA3的面積為求直線(xiàn)A3的方程.

反思提升：

第一步求圓錐曲線(xiàn)的方程

第二步特殊情況分類(lèi)討論

第三步聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的方程

第四步應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)

第五步根據(jù)相關(guān)條件計(jì)算推證

第六步明確結(jié)論

【考點(diǎn)3］幾何圖形的面積為定值

一、解答題

22

1.（2024高二上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：A+當(dāng)=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)為A,

ab

上頂點(diǎn)為5,右焦點(diǎn)為死連接8廠(chǎng)并延長(zhǎng)交橢圓。于點(diǎn)橢圓P.

5

⑴若尸|I，-竽）|BP|=y,求橢圓C的方程；

s

⑵若直線(xiàn)42與直線(xiàn)AP的斜率之比是-2,證明：產(chǎn)為定值，并求出定值.

?APF

22

2.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓？:三+2=1（。>6>0）,7與圓產(chǎn)+產(chǎn)=房一爐在第一、第二象

ab

jr

限分別交于0、P兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足ZPOQ=~,PQ=\,

⑴求橢圓》的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）4是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC,OA=BC,求證:四邊形OABC的面積為定值.

3.（23-24高二上?福建泉州?期中）已知圓A：（X+1）2+/=16,直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)4（1,0）且與圓A交于點(diǎn)8,C,

BC中點(diǎn)為。，過(guò)&C中點(diǎn)￡且平行于4。的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)P,記P的軌跡為「

⑴求r的方程；

（2）坐標(biāo)原點(diǎn)。關(guān)于4,4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為耳，層，點(diǎn)4,4關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為G，c2,過(guò)4

的直線(xiàn)4與r交于點(diǎn)M,N,直線(xiàn)4M,與N相交于點(diǎn)。.請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證

明.

①△℃的面積是定值；②B耳星的面積是定值；③△QGCz的面積是定值.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)4（-2,0）,B（T,3）兩

點(diǎn).

⑴求C的方程；

（2）設(shè)P,M,N三點(diǎn)在C的右支上，BM//AP,AN//BP,證明：

（回）存在常數(shù)X,滿(mǎn)足OM+ON=XOP;

（回）一MNP的面積為定值.

22

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：n=l，A，4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，斗鳥(niǎo)分別為橢圓C的

左、右焦點(diǎn)，斜率存在的直線(xiàn)/交橢圓c于p,Q兩點(diǎn)，記直線(xiàn)AP，尸4,AQ,Q\的斜率分別為%、月上3，院.

r3

⑴證明：k3a=-“

（2）若勺+&=g（左2+&），求S^PQ的取值范圍.

22

+

6.（2024jWj三,全國(guó),專(zhuān)題練習(xí)）如圖所不，已知橢圓系方程?！ǎ海?4=〃（6/>Z?>0,MGN）,K、F2

ab

是橢圓的焦點(diǎn)，A（跖⑹是橢圓上一點(diǎn)，且月=0.

6

⑴求C"的離心率，求出C1的方程.

（2）尸為橢圓C3上任意一點(diǎn)，過(guò)尸且與橢圓g相切的直線(xiàn)/與橢圓C6交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)為。求證：-QMN的面積為定值.

反思提升：

探求圓錐曲線(xiàn)中幾何圖形的面積的定值問(wèn)題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式

（如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解）把要探求的幾何圖形的面積表示出來(lái),

然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入

幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡(jiǎn)即可.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

22

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：訝+|r=i（a>b>0）的上、下頂點(diǎn)分別為A，4,P是橢圓c上

異于A(yíng)，劣的一點(diǎn)，直線(xiàn)24和尸&的斜率分別為尢，k2,則滿(mǎn)足左#2=-3的橢圓c的方程是（）

八％2y2□光2y2C.」=1D.3=1

A.—+—=1B.—+—=1

36456284

2

2.（2024?江西鷹潭?二模）雙曲線(xiàn)E：/-21=1的左，右頂點(diǎn)分別為A3,曲線(xiàn)E上的一點(diǎn)C關(guān)于X軸的

3

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，若直線(xiàn)AC的斜率為根，直線(xiàn)5。的斜率為〃，則相〃=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

3.（23-24高三上?湖北?期末）拋物線(xiàn)C的方程為無(wú)2=4%過(guò)點(diǎn)尸（0,2）的直線(xiàn)交C于42兩點(diǎn)，記直線(xiàn)

的斜率分別為匕,&，則上色的值為（）

11

A.-2B.—1C.—D.

24

22

4.（23-24高三上?四川內(nèi)江?期末）橢圓土+匕=1的焦點(diǎn)為瓦、工，點(diǎn)M在橢圓上且班，九軸，則耳到

43一

直線(xiàn)8M的距離為（）

7

611J7

A.—B.3C.—D.3

5311

二、多選題

5.（22-23高三上?湖北咸寧?階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)y2=2/（p>0）的焦點(diǎn)尸的一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)Q,M,

3（%,%）兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.>「必為定值

B.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的直線(xiàn)交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C,則〃了軸

C.存在這樣的拋物線(xiàn)和直線(xiàn)A8,使得。4團(tuán)。8（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

D.若直線(xiàn)與x軸垂直，則|AB|=2p

6.（22-23高二下?河南?階段練習(xí)）已知橢圓C:；+丁=1（。>1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為片,且，尸是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，

a

且4尸耳鳥(niǎo)的面積最大值是否，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓C的離心率是:

B.若AB是左，右端點(diǎn)，則1pli+|尸目的最大值為2行

C.若尸點(diǎn)坐標(biāo)是pf],則過(guò)尸的C的切線(xiàn)方程是x+2&y-3=0

D.若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于兩點(diǎn)，則⑥

2222

7.（22-23高二上?江蘇泰州?期中）已知橢圓￡:工+與=1（%>4>0）與雙曲線(xiàn)C,J-2=1（%>0,6,>0）

ax%b?

有公共的焦點(diǎn)K，F(xiàn)2,設(shè)尸是G，G的一個(gè)交點(diǎn)，C與。2的離心率分別是%則下列結(jié)論正確的有

（）

A.|所卜|尸閶=廳+fB.4的面積5=她

兀12）ZFPKb

C.若/RPF2r則F+==4D.tan^^=U2

3G與，"i

三、填空題

22

8.（22-23高二上?全國(guó)?期中）若雙曲線(xiàn)C:土-匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,尸是。上的點(diǎn)（異于A(yíng),

43

B）,則直線(xiàn)R4與依的斜率乘積等于.

9.（23-24高二上?廣西南寧?期中）已知拋物線(xiàn)C:/=8x,過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)產(chǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于

4（%,,%）,3（%2，%），貝I]%尤2=.

8

22

10.（22-23高三下?遼寧本溪?階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C工+上=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)尸

1612

是直線(xiàn)x=-8上的一點(diǎn)，直線(xiàn)P8交C于另外一點(diǎn)記直線(xiàn)抬，AM的斜率分別為尤，k2,則派2=.

22

11.（24-25高三上?云南大理?開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:=+2=l（a>b>0）過(guò)點(diǎn)P（3,l）,焦距為4點(diǎn)，斜率

ab

為的直線(xiàn)I與橢圓C相交于異于點(diǎn)尸的M,N兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PM,PN均不與x軸垂直.

⑴求橢圓C的方程.

（2）記直線(xiàn)PM的斜率為K，直線(xiàn)PN的斜率為k2,證明:左色為定值.

⑶若|MN|=廂,A為橢圓C的上頂點(diǎn)，求AMN的面積.

12.（20-21高三上?西藏日喀則?階段練習(xí)）設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x,尸為C的焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線(xiàn)/與C交于4

B兩點(diǎn).

⑴若/的斜率為2,求|明的值;

⑵求證：0408為定值.

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024高二上,江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E：1r+%?=：!（.>6>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,碼,右焦點(diǎn)為“2,0）,A,

8分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，若過(guò)（0」）且斜率存在的直線(xiàn)/與橢圓E交于CD兩點(diǎn)，直線(xiàn)3。與直線(xiàn)

AC的斜率分別為尢和自，則勺的值為（）

2

A.1B.3C.2D.-

3

二、多選題

2.（24-25高三上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）拋物線(xiàn)C:/=2py的焦點(diǎn)為￡尸為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到a2）

時(shí)，|尸耳=4,直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)3兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線(xiàn)的方程為：f=8y

B.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：V=-4

C.當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)焦點(diǎn)產(chǎn)時(shí)，以AF為直徑的圓與x軸相切

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D.當(dāng)直線(xiàn)/過(guò)焦點(diǎn)/時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切

三、填空題

3.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線(xiàn)C的方程為X2-E=1（X21）,設(shè)點(diǎn)T