2025年高考數(shù)學一輪復習講義：同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式（原卷版）

專題21同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用......................................3

【考點2】誘導公式的應用....................................................4

【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用....................................6

【分層檢測】................................................................7

【基礎篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................8

【培優(yōu)篇】..................................................................9

考試要求：

1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x+cos2x=l,歿1壬=tanx.

cosX

2.能利用單位圓中的對稱性推導出邪a,兀土a的正弦、余弦、正切的誘導公式.

；知識梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關系

⑴平方關系：siR+cos2a=1.

(2)商數(shù)關系：然3=tana(a若+E,左?Z).

cosa\j

2.三角函數(shù)的誘導公式

公式—*二三四五六

2E+兀

角兀+a~a兀-a^+ct

a（左￡Z）

正弦sina—sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana-tan_a一tana

口訣奇變偶不變，符號看象限

|常用結論

1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；sina=tanct-cosa.

2.誘導公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指胃的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱

的變化.

3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.

彳真題自測

一、單選題

1.（2023?全國,高考真題）設甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos/?=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

(jr\COSa

2.(2021?全國?高考真題)若are[0,彳tan2a=~：—,則tantz=()

2J2-sum

.V15口&「逐nV15

15533

2

3.（2021?全國，高考真題）若tan6=-2,則吧紗士吧也=（）

sin0+cos0

6226

A.——B.----C.D.-

5575

4.（2021?全國?高考真題）cos2^-cos21^=（

）

D.B

A.；B.BC.叵

2322

二、填空題

5.（2023?全國?高考真題）若/（x）=（x-l『+ax+sin[x+；J為偶函數(shù)，貝l]a=

三、解答題

6.（2023?全國?高考真題）在AASC中，已知N3AC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinZABC；

⑵若。為BC上一點，且NBA。=90。，求△ADC的面積.

考點突破

【考點1】同角三角函數(shù)基本關系式的應用

一、單選題

1.（2024?四川眉山三模）已知ae（0,3，cos]tz+|J=-A，則sina=（）

人12+5gD12-5g012A/3+5n12^-5

26262626

2.（2024?河南三門峽?模擬預測）若tan&=2,則丁12a,的值為（）

cos2a—sma

4244

A.——B.-C.-D.—

7397

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預測）已知角a的終邊過點P（l,-2）,則（）

sina-cosa

A.--------------=-1B.sin2a—3sinacosa=2

2sma+cosa

c3

C.cos2a=一D.tana+—\=——

5I4J3

4.（2024?全國?模擬預測）美國數(shù)學史家、穆倫堡學院名譽數(shù)學教授威廉?鄧納姆在1994年出版的The

MathematicalUniverse一書中寫道："相比之下，數(shù)學家達到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明'，在這樣的證

明中一個極好的令人信服的圖示就傳達了證明，甚至不需要任何解釋.很難比它更優(yōu)雅了.”如圖所示正是

數(shù)學家所達到的"終極優(yōu)雅"，該圖（ABCD為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推

導出的正確選項為（）

3

SADf2

A.AD=sin2xB.AB-sin2xC.DE=cos2xD.-cosx

'AAEF

三、填空題

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）若0<a<|",cos]a+t卜;，則8$[-曰=..

6.（2024?廣東廣州?二模）已知復數(shù)z=2cos：；;m。e€昨的實部為0,貝心3n2，=.

反思提升：

cinn

1.（1）利用sin2a+cos2a=1可以實現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用2=tana可以實現(xiàn)角a

cosex.

的弦切互化.

/jcinv—k/?COSX

（2）形如一:--7~3-----,6zsin2x+Z?sinxcosx+ccos2x等類型可進行弦化切.

csmx+acosx

2.注意公式的逆用及變形應用：1=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這三個式子，

利用（sin。土cosa）2=l±2sinotcosa,可以知一求二.

【考點2】誘導公式的應用

一、單選題

1.（23-24高三上?江蘇南通期末）已知％￡0,—,sinx+cosx=^^-,則tan1%-孚]=（）

4J5V4J

A.3B.-3C.-y/5D.2

2.（16-17高三上?廣西梧州?階段練習）若cos貝ijcos（7i—2a）=（

4立

~9~

二、多選題

3.（23-24高一上?陜西咸陽?期末）下列選項中,

A.2sinl50cosl5°B.cos18°cos42°-sin18°sin42°

tan22.5°

C.2COS2150-1

1-tan222.5°

4.（2024?海南?？?二模）已知函數(shù)/（%）=Asin（〃四+0）（其中A>0,^>0,|^|<|）的部分圖象如圖所

示，則（）

4

A.①=2

B.7（"的圖象關于點［詈,o）中心對稱

C./（x）=2cos12%一弓］

57r7T-r

D.”尤）在一■―,--上的值域為

三、填空題

5.（2024?河北邯鄲?二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所

示的五角星中，以AdC,D,E為頂點的多邊形為正邊邊形，設則

cosa+cos2c+cos3a+cos4a=,costzcos2ctcos3?cos4cz=.

6.（2024?湖南長沙?一模）已知0為坐標原點,過A（l,0）作x軸的垂線交直線>=6于點8,C滿足幅=2比，

過8作x軸的平行線交E：y=x于點P（P在2的右側），若NOPC=3NOBA,則sinNCOP=.

反思提升：

（1）誘導公式的兩個應用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.

②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

（2）含2兀整數(shù)倍的誘導公式的應用

由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2兀的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將271的整數(shù)倍去

掉后再進行運算.如COS（5TI—a）=cos（7t—a）=_cosa.

【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用

一、單選題

5

已知tan]a+E)=51,貝i]cos(2a2兀

1.（2024?福建南平?二模）)

23

3344

A.--B.C.——D.-

5455

?c3貝

2.（2024?福建廈門?三模）已知a,sin2aI]sin[a+]J=()

A..4

B.c.正D.-

2555

二、多選題

3.（23-24高一上?河南三門峽?期末）下列等式正確的有（

叵

A.cosl35°=B.sinl5°cosl5°=—

~14

5715兀

tan——+tan——

C.cos74°sin140-sin74°cos14°=—D.4,魚=-6

2l-tan」

12

4.（2023?黑龍江?模擬預測）關于函數(shù)/（x）=；cos?7T-2x]的圖象和性質，下列說法正確的是（）

S7T

A.X=?是函數(shù)”元）的一條對稱軸

o

（二，。]是函數(shù)〃X）的一個對稱中心

B.

147r

C.將曲線y=：sin2尤向左平移9個單位可得到曲線y=〃力

28

函數(shù)”X）在（-|，0的值域為-比1

D.75

三、填空題

5.（2024?福建廈門?一模）若sin[a+：J=—,貝！Jcos]a-171

4

1e.七K71)

6.（2023?河南鄭州?模擬預測）已知cos[x+2=-+sinx,貝卜11114%一7J=

6

反思提升：

1.利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，靈活

使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響.

2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見

的互余關系有三一a與煮+a,三+a與煮一a,g+a與市一a等，常見的互補關系有5一8與

汁8與牛一。，￡+6與竽一6等.

分層檢測

【基礎篇】

6

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預測）已知正方體ABC。-431GA的外接球的球心為。，則sinNAOC=（）

1D,也

B.一C

3-T3

（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知tan卜-：）=-g,則2sin20+sin2^_

2.)

l+sin26

11

A.——B.0c?ID.-

23

什.15兀貝!Jcos12a-q71

3.（2024?浙江紹興?二模）右sin[五+a)

6

A,也2V277

B.C.一D.——

9-9~99

已知a篝-1-貝i]c°s[a+：卜

4.（2024?山東聊城?三模）,且sin21=-)

8

399

A.aB.C.—D.-----

441616

二、多選題

5.（2022?重慶涪陵?模擬預測）已知向量m=（85夕,110）,〃=（85尸,51114）3，尸￡[0,2]）,。＞力），且

m+n=（0,1）,則下列說法正確的是（）

產(chǎn)rl

A?m+n=1B.cos(a-77)=-1C.\m-n\的值為2D.sin(a+0=O

6.（23-24高三上?山西呂梁?階段練習）計算下列各式的值，其結果為2的有（）

A.tanl5°+tan60°B，2(cos80°

C.(l+tanl8°)(l+tan270)D.4sinl8°sin54°

/人\2sinacosa_2

7-（2。2。?全國?模擬預測）已知+）=2c°sa+l0<c^<^,則下列說法正確的是（）

A./（a）的最小值為-0B./（0）的最小值為-1

c.y（a）的最大值為g■一1D.的最大值為1-0

三、填空題

2

8.（2024?北京順義?二模）在AABC中,c=3,a+b=7,cosC=1,則△ABC的面積為一

（?河北承德?二模）已知；則sinxsinx

9.2024tanx=,----------------1---------------

cos3xcos2xcos2xcosx

10.（2024?安徽池州?模擬預測）筒車亦稱為〃水轉筒車〃，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于

隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史?如圖，假設在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆時

針方向做每6分鐘轉一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心。距離水面3C的高度為1.5米，設筒車上的某個盛水

7

筒尸的初始位置為點。（水面與筒車右側的交點），從此處開始計時，/分鐘時，該盛水筒距水面距離為

)則“2023)=

“==Asin(G/+0)+。A>0.>0

圖2

四、解答題

37r110

11.（21-22高二下?吉林,階段練習）已知力…，tana-\-------=-----

tana3

(1)求tana的值;

,sina+cosa,,小

(2)求^----------的值;

sma-cosa

(3)^<2sin2a-sinacosa-3cos2a的值.

cos—+asin

12.（22-23高一上?安徽黃山?階段練習）（1）已知角。終邊上一點尸（T3）,求(2J的值;

tan(-K4

i

化簡求值：))64

(2)(log43+log83-(log32+log92+27J

【能力篇】

一、單選題

1e?71

1.（2024?湖南常德?一模）已知cos則sma)+sin[2a()

A10_46

A.—B.cD.-

9-9-t5

二、多選題

2.（2024?浙江溫州?二模）已知角a的頂點為坐標原點，始邊與1軸的非負半軸重合，尸（-3,4）為其終邊上

一點,若角夕的終邊與角2a的終邊關于直線丁二一元對稱，則（）

cos(…)=|

A.