2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：正弦定理和余弦定理（（解析版））

專題26正弦定理和余弦定理（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................19

【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形..........................................19

【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀..................................................24

【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問題............................................28

【分層檢測(cè)】...............................................................33

【基礎(chǔ)篇】.................................................................33

【能力篇】.................................................................43

【培優(yōu)篇】.................................................................46

考試要求：

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

知識(shí)梳理

1.正'余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理余弦定理正弦定理

—22CCOSA；

a_____b_____c___

公式〃=/+/_2cacosB；

sinAsinBsinC

/=〃2+/—2〃bcosC

⑴〃=2HsinA,Z?=27?sinB,c=

Z?2+.2—〃227?sinC；

cosA—&；a

/c\?..nb.廠c

(2)smA—2H，smsm^~2R;

常見變4十次―序

cosB—2ac；

形(3)a：b：c=

6z2+Z?2—c2sinA'sinB：sinC；

3s「lab

(4)asinB=Z?sinA,Z?sinC=csinB,

asmC=csinA

2.在△ABC中，已知a,6和A時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

ccc

圖形

AB；…BA…….吐

ARAB

關(guān)系式a=bsinAZ?sinA<a<ba^ba>baWb

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解

3.三角形常用面積公式

(l)S=：a?瓦(瓦表示a邊上的高).

111dbc

(2)S=]absinC=/acsin3=/Z?csinA=4H.

⑶S=J(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

|常用結(jié)論

1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC；

2

(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BC

(3)sin~~2-=cosy；

A+BC

(4)cos-2—=sin].

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=Z?cosA+acosB.

3.在△ABC中,兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊,A>5u>a>b=sinA>sin50cosA<cos

B.

.真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.2A/2B.3亞C.4V2D.672

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知AABC為等腰直角三角形，為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角

C-AB-O為150。，則直線與平面A2C所成角的正切值為（）

A.-B.—C.—D.-

5555

二、多選題

3.（2022?全國(guó)?高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為斗鳥，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為過耳作。的切線

3

與。交于M,N兩點(diǎn)，且cosN片NK=g,則。的禺心率為（）

A&R2c屈D如

2222

三、填空題

4.（2023?全國(guó),高考真題）在AABC中，NBAC=60。,AB=2,BC=娓，/5AC的角平分線交BC于。，則

AD=.

AT

5.（2022?全國(guó),高考真題）已知44BC中，點(diǎn)。在邊上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.當(dāng)士取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

四、解答題

6.（2023?全國(guó),高考真題）在“1BC中，已知N&1C=12O。，AB=2,AC=l.

⑴求sinNABC；

⑵若。為BC上一點(diǎn)，且44。=90。，求△ADC的面積.

3

7.（2023?全國(guó)考真題）已知在AABC中，A+5=3C,2sin（A—C）=sin5.

⑴求sinA；

⑵設(shè)AB=5,求A3邊上的高.

8.（2023?全國(guó)?高考真題）記融。的內(nèi)角A5,C的對(duì)邊分別為已知AABC的面積為石，。為中

點(diǎn)，且AD=1.

TT

⑴若NAOC=,,求tan8；

⑵若。2+02=8,求瓦C.

9.（2022?全國(guó)?高考真題）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)

正三角形的面積依次為岳,邑,S3,已知凡-S2+S3=亭,sin8=g.

⑴求△ABC的面積；

（2）若sinAsinC=，求b.

3

10.（2022?全國(guó)?高考真題）記AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知sinCsin（A-b）=sin3sin（C-A）.

⑴證明:2/=/+」2;

25

（2）若a=5,cosA=/，求△ABC的周長(zhǎng).

11.（2022?全國(guó)?高考真題）記“RC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosAsin2,.

1+sinAl+cos2B

⑴若c=q,求8

（2）求《42的最小值.

c

12.（2021?全國(guó),高考真題）在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。、b、c,b=a+l,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求"BC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)。，使得AA5c為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

參考答案：

1.C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得APDO三APCO,^PDB=APCA,從而得到=

再在△R4C中利用余弦定理求得PA=從而求得=由此在APBC中利用余弦定理與三角形面

積公式即可得解；

法二：先在△JVIC中利用余弦定理求得PA=a，cosZPCB=1,從而求得西.定=一3,再利用空間向

量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于總即的方程組，從而求得尸8=后，由此在APBC中利用余弦定

理與三角形面積公式即可得解.

4

【詳解】法一：

連結(jié)AC,交于。，連結(jié)PO,則。為AC,3少的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4,所以AC=2。=4近，則￡>O=CO=2&,

又PC=PD=3,PO=OP,所以APDO三APCO,則NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=，所以APDB三APC4,則必=尸3,

在△PAC中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°,

貝l|由余弦定理可得PA2=AC2+PC--2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4忘x3x—=17,

2

故PA=JF7,貝I]P8=&7,

故在APBC中，PC=3,PB=5BC=4,

PC?+BC?-PB°9+16-17_1

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4-3'

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?NPCB=

3

所以APBC的面積為S=4PC-8CsinNPCB=Lx3x4x^^=4VI.

223

法二:

連結(jié)AC,交于。，連結(jié)尸。，則。為AC,3。的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4,所以AC=2。=4應(yīng)，

在△24C中，PC=3,NPG4=45。，

貝!）由余弦定理可得尸A?=AC?+PC?—2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4忘x3義無=17,故PA=,

2

5

府+叱-叱

所以cos/APC=

2PA?PC卷f=-3則

PA-PC=|FA||PC|COSZAPC=V17x3x二一3,

不妨記PB=m,ZBPD=0,

因?yàn)樗?；（西+正）=（（而+而），所以（向+定『=（PB+PD^,

□rt---?2---?2---?---?---?2---?2---?---?

即尸A+PC+2PA?PC=PB+PD+2PBPD，

則17+9+2x（—3）=m2+9+2x3xzncos夕,整理得療+6zncos，-11=0①,

又在APBD中，BO?=PB2+PD2-2PB-PDcosZBPD，即32=n?+9—6根cos6,則m2-6mcos<9-23=0

兩式相力口得2加2-34=0,故PB=m=后，

故在aPBC中，PC=3,PB=^,BC=4,

PC?+BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4-3

又0Vzpc8<兀，所以sin/PCB=Jl—cos?/PCB=

3

所以^PBC的面積為3=,2。.8。5m/2。5=,*3*4*^^=4行.

223

故選：c.

2.C

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取A3的中點(diǎn)E,連接CE,OE,因?yàn)锳ABC是等腰直角三角形，且A3為斜邊，則有CE1AB,

又是等邊三角形，則/定從而NCED為二面角C-AB-。的平面角，即NCED=150\

顯然CEc￡)￡=￡,CE,DEu平面CDE,于是AB平面CDE,又ABu平面ABC,

因此平面CDE_L平面ABC,顯然平面CDEc平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線8在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

6

從而“CE為直線CO與平面ABC所成的角，令A(yù)B=2,則CE=1,DE=VL在ACDE中，由余弦定理得:

CD=VCE2+DE1-ICE-DEcosZCED=Jl+3-2xlx73x(-^)=77)

DECD

由正弦定理得,即sin〃CE=一°T，

sinZ￡>C￡sinZCED<72A/7

顯然/DCE是銳角，cosZDCE=Vl-sin2ZDCE=

所以直線CO與平面A3C所成的角的正切為更

5

故選：C

3.AC

【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在無軸，設(shè)過耳作圓。的切線切點(diǎn)為G,利用正弦定理結(jié)合三角變換、

雙曲線的定義得到26=3°或即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.

【詳解】［方法一］:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

設(shè)過片作圓。的切線切點(diǎn)為B,

3

所以O(shè)B，F(xiàn)］N,因?yàn)閏osN片NB=g>0,所以N在雙曲線的左支,

|OB|=a,Q周=c,|耳B|=b,沒4F\NFz=a,由即cosa=1,貝!Jsina=g

3S

|NA|=-fl,|NI^|=-a

|NF,|-|N^|=2O

5

-a--a-2b\=2a,

22J

2b=a,e=

2

選A

7

情況二

y

3

若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏os/居Ng=《＞0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|=a,\OF\=c,|耳B|=b,設(shè)/耳叫=0,

334

由cosN耳NK=g,即COSO=M，貝1Jsina=(,

35

|NA|=-a,|NF,|=-a

|NEi|-|NE,|=2fl

3c,5c

—a+2b—Q=2a,

22

b3

所以?=3a,即2=

a2

所以雙曲線的離心率e

選C

［方法二］:答案回代法

A選項(xiàng)6=延

2

特值雙曲線

2

—(-V5,0),E,(75,0),

過耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+如卜

???兩交點(diǎn)都在左支,，閭，

.?.|NE,|=5,|NI?|=1,|^|=2V5,

3

則cos/月叫=丁

、生T古Vo

C選項(xiàng)e=-----

2

8

22

特值雙曲線W=L?.耳卜5M0），B（瘋o）,

過耳且與圓相切的一條直線為y=|（x+4?）,

,兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，百

.?』用|=5,|西卜9,|耳國(guó)=2而，

3

則cosNG”='

[方法三]:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在X軸，設(shè)過片作圓。的切線切點(diǎn)為G,

若分別在左右支，

3

因?yàn)?。GJ.*,且cosN居Ng=《＞0,所以N在雙曲線的右支,

又|OG|=a,\OF^=c,\GF]=b,

沒NF\NF[=a,NFEN=0,

,.R|_|N用_2c

在△月”中,---------------------------

sin[3sin(a+/)sina

|麗—|N園2cac

=

故sm(a+H/式)—sinA/=—sma即s.in/(a+夕)-si.n夕衣-si-na

所以~~Q?n-n=~'

sinacosp+coscrsinp-sinpsina

=3.ab...4

而cosa=—,sinpn=—,cos/n?=—,故sma=一,

5cc5

b3

代入整理得到2b=3。，即一==,

a2

若M,N均在左支上,

9

y

故質(zhì)曰際=且即____________?____________

sin/?-sin(<z+y0)sinasin/?-sinacos/?-cosasin/3sina

代入cosa=°,sin^=—,sina=-,整理得到：■=7,

5c54Z?+2a4

故選：AC.

4.2

【分析】方法一：利用余弦定理求出力C,再根據(jù)等面積法求出AT>；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出民C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：iHAB=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+"-2x2x8xcos60。=6,

因?yàn)?>0,解得：6=1+5

由S^ABC=^^ABD+e.ACD可得,

—x2xZ?xsin60°=—x2xADxsin30°+—xADx/?xsin30°,

222

e業(yè)2司1+⑹

解得:=2

一邙一3+6

2

10

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+)2—2x2x)xcos60。=6,因?yàn)?>0,解得：6=1+石,

sinC手

由正弦定理可得，磊=白=高，解得…爪耳1

因?yàn)?+若>標(biāo)>^，所以C=45。，B=180°-60°-45°=75°,

又/BA￡)=30°,所以NAD3=75°,即AD=AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī).

5.73-1/-1+V3

AC2

【分析】設(shè)CD=23Z)=2%>0,利用余弦定理表示出結(jié)合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】［方法一］:余弦定理

^CD=2BD=2m>Q,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m,

在AACD中，AC2CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4/77,

22

AC_4m+4-4m_4"+4+2zn)-12(l+/n)?12

4

所以而//+4+2〃?m2+4+2m=-----

v7m+1

>4——12=4-2>/3

3

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=—;即m=若-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

Ar

所以當(dāng)布取最小值時(shí),加3T

故答案為：V3-1.

11

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，0C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

貝！IC(2t,0),A(1,g),B(t0)

_AC2⑵-廳+342-41+4

=4一”>4-2^

=(Z+1)2+323

'AFt+2t+4(f+1)+-----

r+1

當(dāng)月.僅當(dāng)》+1=有,即8。=括-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2x

/.2C2+Z?2=12+6x2,

/=4+4JJ—4X

c2=X2+4+2X

.?.2/+/=12+6/,

/=4+4%2-4%

令生=貝U2c2+*02=12+6/，

AB

12+6x212+6/2

"+2=>6-2^/3,

%2+2x+4x+l)+^—

7X+1J

?>4-273,

當(dāng)且僅當(dāng)X+1=—7,即％=G+1時(shí)等號(hào)成立.

x+1

［方法四］:判別式法

設(shè)貝i」CD=2x

在△ABD中，AB-=BD-+AD2-2BDADCOSZADB=X2+4+2X,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADCOSZADC=4X2+4-4X,

匚UI、IAC_4A'-+4-4.x、r4x~+4—4x

所以一r------------，記/=「--------，

AB-x+4+2xx+4+2x

貝"(4—f)尤2-(4+2f)x+(4-4r)=0

由方程有解得：A=（4+2f）2-4（4—r）（4-4r）zo

12

即產(chǎn)一8/+440,解得：4-2括4/W4+2有

所以襦=4一26，止匕時(shí)％=占=6一1

所以當(dāng)F取最小值時(shí)，X=73-1,即-1.

6.(1)等;

唔

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)BC的值為BC=近，然后由余弦定理可得cosB=蛀，最后由同角

14

三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB二叵;

14

（2）由題意可得》叫=4,則SAACD=：S-BC，據(jù)此即可求得AWC的面積.

【詳解】（1）由余弦定理可得：

BC2=6^=b2+c2-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

a2+c2-b27+4—15s

則BC=幣,cos8=

lac2x2xV7R

sinZABC=A/1-COS2B

q—xABxADxsin90°

(2)由三角形面積公式可得產(chǎn)也=?----------------=4,

△AS—xACxADxsin30°

2

則S-s=gs”Bc=gx］；x2xlxsinl2oj=*.

7.(i)2^2

io

(2)6

【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；

（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sin8,再由正弦定理求出b,根據(jù)等面積法求

解即可.

【詳解】（1）-.-A+B=3C,

13

TT

..7i-C=3C,即。=—,

4

又2sin(A—C)=sin8=sin(A+C),

2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

/.sinA=3cosA,

即tanA=3,所以0<A<],

33屈

/.sinA=

A/IO-10

i_7io

(2)由(1)知，cosA=

回一io

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

v2亞

c_b

由正弦定理,可得/?=--——=2-S/TO,

sinCsinBV2

~T

—AB-h=—AB-AC-sinA,

22

:.h=b'SinA=2A/10X=6.

10

(2)b=c=2.

【分析】（1）方法L利用三角形面積公式求出〃，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出。，作出5c邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出〃，再利用三角形面積公式求出-4。。即可求解作答；方法2,利用向量

運(yùn)算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出NAZ）。即可求解作答.

TT

【詳解】（1）方法1：在AABC中，因?yàn)閆）為中點(diǎn)，AADC=—,AD=1,

14

則s=-AD-DCsinZADC=-xlx-ax—=^a=-S=—,解得a=4,

△ADC222282△2

9jr

在中，ZADB=—,由余弦定理得c?uBZ^+ADOZgrhADcosZADB,

即°2=4+l—2x2xlx(—‘)=7,解得C=V7,則cos8=^^=硬，

225/7x214

所以tanB=皿h3.

cos55

TT

方法2：在AABC中，因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，Z.ADC=—,AD=1,

則sA?c=-ADDCsinZADC=-xlx-ax^=^a=-SABC=—^解得。=4,

“皿222282A2

在AACD中，由余弦定理得b1=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC,

即加=4+l-2x2xlxg=3,解得6=若，WAC2+AD2=4=CD2,貝ljNCAD=5,

C=色，過A作AE_LBC于E,于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=走，BE=-,

6222

所以tanB=4^=走.

BE5

,1,1

c=~A+1-2X/QX1XCOS(兀一/AOC)

(2)方法1：在△ABD與AACD中，由余弦定理得■

11

b91=—a92+l-2x—axlxcosZADC

42

整理得*『+2=62+°2,而/+/=8，則a=2出,

又SAA℃=gxJ^xlxsin/AOC=乎，解得sin4M>C=l,而OcNADCcir,于是NADC=g,

所以6=C=JAD2+CQ2=2.

方法2：在AABC中，因?yàn)椤锽C中點(diǎn)，貝1]2詬=荏+正，又而=麗-正，

^^4AD+CB=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=16-即4+/=16,解得。=20，

又S='xJ^xlxsinNAOC=立，解得sinNADC=1,Iff]0<ZADC<TC,于是/ADC=3,

?A?c222

所以方=c=JAD2+QJ2=2.

9.(呼

15

【分析】（1）先表示出分$2,W，再由S「S?+$3=*求得l+—從=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得ac,

再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得—J=—生—，即可求解.

sin~BsinAsinC

【詳解】（1）由題意得工=；“2.1=//,邑=//,邑=/02,則

qCIC_02月人21石2_6

Si—+S4——a----bH------c——，

1234442

〃2*2_序1

即/+/一〃2=2,由余弦定理得cos5=----------，整理得以cosB=l,貝IJCOS/>0,又sin3=z，

lac3

則c°sB=51j=子，的=￡=竽，則凡…如sinB=%

3V2

1

b_a_cb_ac_ac-^=-,則=3

（2）由正弦定理得:

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC?J24sinB2

V

/,=lsinB=-

22

10.⑴見解析

⑵14

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出6c,從而可求得6+c,即可得解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)閟inCsin（A-B）=sin3sin（C—A）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC,

所以QL/+/一12兒〃+/一/=_"/+〃一°2

lac2bc2ab

a2+c2-b1

即

2

所以2/=Z?2+c2;

(2)解：因?yàn)椤?5,cosA=-,

由(1)得/+。2=50,

由余弦定理可得。2=〃+/-2bccosA,

16

貝ij50——be=25,

31

31

所以bc==,

2

故伍+c)2=〃+c2+2歷=50+31=81,

所以b+c=9,

所以AABC的周長(zhǎng)為a+6+c=14.

,、71

1L⑴工；

o

⑵40-5.

【分析】⑴根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將E=用^化成c°s(A+B)=smB,再結(jié)

TT

合O<3<5，即可求出；

⑵由(1)知，C=g+B,4==-28,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成4cos23+二7-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

【詳解】⑴因?yàn)閭鋝in2B2sinBcosBsinB

即

1+cos2B2cos2BcosB

sinB=cosAcosB-sinAsin3=cos(A+B)=-cosC=—

2

而0<3《，所以B哈

JI兀

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<C<私0<3<一,

22

而sin3=_cosC=sin[c—'1),

所以C=g+5,即有A=g-28,所以不]

22V4j124J

匚匚?/+/sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一z—=--------Z---------=-------------Z-----------

c2sin2Ccos2B

f2cos2B-l)2+l-cos2B.2r-r-

---------------=4COS2B+―-——5>2V8-5=4V2-5

cosBcosB

當(dāng)且僅當(dāng)cos?B=*時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為40-5.

12.(1)竺也；(2)存在，且。=2.

4

17

【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3%結(jié)合已知條件求出。的值，進(jìn)一步可求得"、。的值，利用余弦定

理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

（2）分析可知，角C為鈍角，由8sC<0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】（1）因?yàn)?sinC=3sinA,貝!J2c=2（。+2）=3。，貝°。=4,故6=5,c=6,

cosc/+〃-白=_L,所以，C為銳角，則sinC=Jl-cos2C=^,

2ab88

國(guó)叱C\\AV3聽1577

IAIILL,3=—a》sinC=—x4x5x----=--------；

△AABC2284

（2）顯然c>b>a,若AABC為鈍角三角形，則C為鈍角，

,TZS>+b2—c2+—（。+2）a2—2a—3

由余弦定理可得cosC=---------——=——~~\——乙=-7——r<0,

lab

角軍得一lva<3,貝

由三角形三邊關(guān)系可得Q+〃+1>Q+2,可得。>1,?.?Q￡Z,故a=2.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形

一、單選題

1.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，ZACB=120°,3C=2AC,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，ADA.CD,

ZBDC=120°,則tanZACD=（）

A.242B./C.76D.在

22

22

2.（2024?浙江金華三模）已知橢圓C：K=l（a>⑹，K、&分別為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，且

NMFE=60。,若白嗎外的面積為孚，則。=（）

A.2忘B.3C.2A/3D.4

二、多選題

3.（2024?山東濟(jì)南?三模）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為R.若a=l,且

sinA-Z?sinB=（c+Z?）sinC,貝!!（）

A.sinA=—B.AABC面積的最大值為無

24

c.R=2叵D.BC邊上的高的最大值為遮

36

三、填空題

4.（2024?四川成都?三模）AASC的內(nèi)角A,&C的對(duì)邊分別為a,b,c,若=2ac且sinC=2sinA,則cosA的

18

值為______

四、解答題

5.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))在AABC中,角A8,C的對(duì)邊分別是a,6,c,且4acosB—bcosC=ccosB.

(1)求cosB的值；

(2)若AABC的面積為獨(dú)W,b=3應(yīng)，求AABC的周長(zhǎng).

2

6.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其外接圓的半徑為2石，且

bcosC=a+二一csinB.

3

⑴求角B；

(2)若23的角平分線交AC于點(diǎn)3。=若，點(diǎn)E在線段AC上，EC=2EA,求△由組的面積.

參考答案:

1.B

【分析】在Rt^ADC中，設(shè)NACD=6?,AC=x,即可表示出CB,CD,在△BCD中利用正弦定理得到

2x_xcosO

^=sin("60。),再由兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解.

【詳解】在RtAADC中，設(shè)NACD=e0<8<、，令A(yù)C=x(x>0),

貝1JCB=2x,CD=xcos6,

在△3CD中，可得N8CD=120?！?，ZCBD=0-6O°,

BCCD

由正弦定理

sinZCDBsinZCBD

2xxcosOxcosO

得逅-sin（6-60。）-sin6>-^cos6>'

T22

4_1

所以0一1,c括,

—tan6---

22

RJWtan0=—,BPtanZACD=—.

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系，從而通過設(shè)元、轉(zhuǎn)化到△BCD中利用正弦定理

19

得到關(guān)系式.

2.B

【分析】設(shè)|M耳|=0，|四工|=4，由題意可得P=2,q=2a--,結(jié)合余弦定理可得或畢?=2,消

c