2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測(cè)卷3（新高考專用）解析版

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義之模擬檢測(cè)卷03（新高考專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.（2024?廣東?二模）已知集合4={加11（尤一1）20},集合3={#2-3尤<0},則4"=（）

A.（0,2]B.[2,3）C.（0,+e）D.

2.（2024?浙江溫州?一模）設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2023?全國(guó)?高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作

文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）

5211

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023?北京東城?二模）已知點(diǎn)在圓。:X2+、2=機(jī)上，過(guò)〃作圓。的切線/,則/的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.（22-23高一下?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）已知私〃表示兩條直線，。，氏7表示平面，下列命題中正確的有（）

①若cp|7=八尸Pl7="，且加//〃，則。//月；

②若佻〃相交且都在平面。，方外，mlla.mlIp.nlla.nlIp,則a//力；

③若根//。,根//月,則。//￡；

④若機(jī)///〃//月,且小〃"，則。//.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（23-24高一上?遼寧大連?期末）已知％,y為正實(shí)數(shù)，且無(wú)+y=l,貝、一+6y+3的最小值為（）

孫

A.24B.25C.6+472D.6近-3

7.（2024?浙江寧波?二模）已知數(shù)歹（]{%}滿足?=加2-〃，對(duì)任意題w{l,2,3}都有4用，且對(duì)任意

都有為<4+1，則實(shí)數(shù)幾的取值范圍是（）

-11

A，[五加B-啟4uIMD-K

8.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量&,5滿足忖+方|=3,小5=0,若（:=/1%+（1-2成（4€1t）,且一￡=/石，

則同的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.-

22

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（2024?重慶?二模）英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯（1883-1946）研究了國(guó)民收入支配與國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系，

強(qiáng)調(diào)政府對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的干預(yù)，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)派一凱恩斯學(xué)派.機(jī)恩斯抽象出三個(gè)核

心要素：國(guó)民收入y,國(guó)民消費(fèi)c和國(guó)民投資/,假設(shè)國(guó)民收入不是用于消費(fèi)就是用于投資，就有：

=a+°y.其中常數(shù)。。表示房租、水電等固定消費(fèi)，。（④1）為國(guó)民"邊際消費(fèi)傾向”.則（）

A.若固定/且/..0,則國(guó)民收入越高，"邊際消費(fèi)傾向“越大

B.若固定y且匕.0,則"邊際消費(fèi)傾向"越大，國(guó)民投資越高

C.若。=］，則收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的5倍

D.若。==4，則收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的玄1

10.（24-25高三上?江蘇?開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)/（x）=sin（2x+］）+cos（2無(wú)+今，其中正確命題是（）

66

A.y=/（x）是以兀為最小正周期的周期函數(shù)

B.y=/（x）的最大值為&

C.將函數(shù)yn應(yīng)cosZx的圖象向左平移點(diǎn)個(gè)單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合

D.y=/a）在區(qū)間（9TT,子137r）上單調(diào)遞減

2424

11.（23-24高二下?四川綿陽(yáng)?期中）等比數(shù)列｛4｝的公比為式q<0）,且。,MS成等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.q=—2B.右*q=1,貝!Ja2a8=256

C.若52=-1,則$4=-4D.善言=-2

%一事

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（2023?天津北辰?三模）直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)以2,-3）,與圓（7:爐+/+2尤+2>-14=0相交截得的弦長(zhǎng)為2巾，

則直線/的方程為.

13.（2024?廣東江蘇?高考真題）若曲線y=e'+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+l）+a的切線，則

14.（2024?江蘇南通?二模）若正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2,則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為

該十面體的外接球的表面積為.

2

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15.（13分）（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABC。中，AB^AD=4,BC=6.

⑴若A=g,C=-1,求sin/皮）C的值；

（2）若CD=2,cosA=3cosC,求四邊形ABC。的面積.

16.（15分）（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測(cè)）2024年7月26日至8月11日將在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).

為了普及奧運(yùn)知識(shí)，M大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過(guò)后才能參加決賽

⑴初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記小王

在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；

（2）M大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：已

進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360

元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)

立.

（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為7（。），求的極大值；

（ii）M大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120元，

試求此時(shí)P的取值范圍.

17.（15分）（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：T+多=1（。＞匕＞0）的離心率為不4民。分別為橢圓C的

ab2

左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于42的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2月.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)廠的直線/與C交于兩點(diǎn)，記AODE的面積為S,過(guò)線段DE的中點(diǎn)G作直線x=4

的垂線，垂足為N,設(shè)直線DN,EN的斜率分別為左,％.

①求S的取值范圍；

S

②求證：僅不為定值,

18.（17分）（23-24高三上?遼寧沈陽(yáng)?期末）如圖，在平行六面體-中，AB=AD=AAX=1,

3

_____.1

ZDAB=90°cos<>=--,cos<AAi,AD>=~,點(diǎn)M為3D中點(diǎn).

2

(1)證明：用M〃平面AG。；

(2)求二面角的正弦值.

19.(17分)(2024?山東?一模)已知函數(shù)/(x)=lnx+gq(無(wú)一1)2.

⑴當(dāng)。=-g時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

3

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-2x+l有兩個(gè)極值點(diǎn)引,々，且8(玉)+8(尤2)2-1-「，求a的取值范圍.

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案cBADABCDACABD

題號(hào)11

答案AB

1.C

【分析】先求出集合A3,由并集的定義求解即可.

【詳解】由ln(x-l)20可得：x>2,所以A=[2,+e),

由Y-3X<0可得：0<x<3,所以3=(0,3),

所以AU3=(0,+8).

故選：C.

2.B

【分析】由i的周期性化簡(jiǎn)(1+牙°°,計(jì)算后判斷所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.

【詳解】

由復(fù)數(shù)z-a+if0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

則設(shè)z=a+bi(a>0,Z?<0),

10025050505050250

由(1+i)=[(l+i)]=(2i)=2i=2i=-2

4

得z-(l+if°=—25°(。+萬(wàn))=—25%—25°歷，

由-25%<0,-25°6>0,

得復(fù)數(shù)z-(l+if°對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.

故選：B.

3.A

【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古

典概率求解作答.

【詳解】用工，2,3,4,5,6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(L6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，

其中甲乙抽到相同結(jié)果有(LD,(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6個(gè)，

因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率P=930=95

366

故選：A

4.D

【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】圓心為(0,0),所以自?=石，所以過(guò)M的切線/的斜率為-5=-日,

設(shè)傾斜角為。，貝han。=-且，

3

由于，e[0,7i),故6=—,

6

故選：D

5

5.A

【分析】根據(jù)線面平行和面面平行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，^a［\7=m,p^Y=n,且加〃〃，則。〃口或相交，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于③和④，。與夕也可能相交，均錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)加，“相交確定平面/，根據(jù)線面平行的判定定理知a〃/，4〃7,根據(jù)平行平面的傳遞性得知

a11P.

故選：A.

6.B

【分析】把x一+6v2—+3變?yōu)?一+4一,然后利用基本不等式中常數(shù)代換技巧求解最值即可.

孫^y

【詳解】因?yàn)閄,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=l,所以x+”+3=x+6y+3(x+y)=9±2z=2+?

xyxyxyy

(94Yx1,9y_[9y__4x__

=—I—(x+y)=13H------1>13+2/—x—=25,

1%1y\Xy

9y_4x3

當(dāng)且僅當(dāng)〈工一7即<:時(shí)，等號(hào)成立，所以x+6y+3的最小值為25.

2xy

尤+y=1

5

故選：B

7.C

【分析】由題意可得數(shù)列｛%｝在［L3］上是遞減數(shù)列，數(shù)列｛%｝在［7,+功上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的

單調(diào)性即可得解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意｛1,2,3｝都有an>an+i,

所以數(shù)列｛%｝在［L3］上是遞減數(shù)列，

因?yàn)閷?duì)任意〃€N7,〃eN｝都有“"<a?+1,

所以數(shù)列｛%｝在［7,+e)上是遞增數(shù)列，

|21>0

一

明以711

|22>—，解得

乙1D/

I-L

15

I22<——

2

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍是

6

故選：c.

8.D

【分析】令Z=W，b=MB=AN,根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形將已知條件轉(zhuǎn)化，得到衣，麗，然后數(shù)

形結(jié)合求同的最大值.

【詳解】如圖:令3=b=MB=AN,則Z+B=麗+施=近，故網(wǎng)=3.

因?yàn)?0=0,所以說(shuō),府，記A3的中點(diǎn)為。，所以點(diǎn)M在以A3為直徑的圓。上.

設(shè)"=/，連接MN,因?yàn)?=%+（1-癡，所以點(diǎn)C在直線MV上.

因?yàn)?所以"?（￡一方）=0,即而.收=0，所以就_1.說(shuō).

結(jié)合圖形可知，當(dāng)標(biāo)，通時(shí)，|就|即同取得最大值，J.|?L=|AO|=|.

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量中有關(guān)最值的求解思路：一是形化，利用向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何

中的最值或范圍問(wèn)題；二是數(shù)化，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的

解集、方程有解等問(wèn)題.

9.AC

【分析】利用已知可得。=1-色可判斷A；由/=丫-八。-。。，可判斷B；若可得￥=54+5/，

由導(dǎo)數(shù)的意義可判斷C；同理可判斷D.

\Y=C+I

【詳解】由題意可得固定/且/20,又「V，所以￥=%+〃+/,

[C=a0+ai

所以。=1-4」，由于％，/為定值，所以可得y增大時(shí)（國(guó)民收入越高），

。增大（"邊際消費(fèi)傾向"越大），故A正確；

由上可得/=y-y?。-4,4,卜為定值，故。增大，/減?。ㄍ顿Y越?。?，故B錯(cuò)誤；

7

4

若〃=W，由丫=%+。丫+/,可得y=5%+5/,

由導(dǎo)數(shù)的定義可得鼻Ay=5,所以可得收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的5倍，故C正確；

A/

45

同C項(xiàng)討論可得若。=-w，可得9y=5%+5/,因此收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的1倍，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.ABD

【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)=V^sin(2x+總，接著即可由函數(shù)性質(zhì)直接得出函數(shù)的最小正周期和最值，進(jìn)而可

判斷AB；對(duì)于C,由平移變換知識(shí)求得y=0cos2x變換之后的解析式為y=后sin(2x+*)即可判斷；對(duì)

于D,由xe吟，野得2》+浮吟呼)，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷.

【詳解1由題得/(尤)=sin(2x+—)+cos(2x+-)=拒]^^sin(2x+—)+~^cos(2x+—)

=sin(2x+￡+：)=夜sin(2x+,

2兀

對(duì)于A,函數(shù)最小正周期為丁=71,故A正確；

對(duì)于B,函數(shù)最大值為&,故B正確；

對(duì)于C,將函數(shù)y=0cos2x的圖象向左平移2個(gè)單位可得到函數(shù)解析式為

y=^2cos2Jx+g]=V2cos(2x+—)=V2sin(2x+—+—)=A/2sin(2x+—),

124J1212212

所以該函數(shù)圖象不會(huì)與已知函數(shù)的圖象重合，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)xe(去詈)，2x+||e(p^),因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在區(qū)間伶,當(dāng))上單調(diào)遞減，

TV13冗

所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(三,年)上單調(diào)遞減，故D正確.

2424

故選：ABD.

11.AB

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的%，%，%成等差數(shù)列，求出q的值，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)殡p，%，%成等差數(shù)列，

2

所以2a3=a4+a5,即2a3=a3q+a3q,

又因?yàn)槊?，所?=q+q2,解得q=l或q=-2,

而q<0,所以〃=-2,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閝=1,所以/。8=尺=回4")2=28=256,故B正確；

8

對(duì)于C,因?yàn)橐?一1,所以$2=q+出=-1，

所以=%+4+。3+。4=(1+/)S2=—5,故C錯(cuò)誤;

〃7+。8+"93o

對(duì)于D,=q=-y,故D錯(cuò)誤.

〃4+。5+a6

故選：AB.

12.5元-12y-46=0或x=2

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，分斜率存

在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.

【詳解】圓C:V+_/+2x+2y-14=0,即(x+l[+(y+l『=16,圓心為半徑牛=4,

因?yàn)橹本€與圓相交截得的弦長(zhǎng)為2近,

所以圓心到直線的距離d=肉”）2=3，

若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為x=2,滿足圓心到直線x=2的距離為3,符合題意;

若直線的斜率存在，設(shè)斜率為左，則直線方程為y+3=Mx-2）,即依-、-2左-3=0,

，解得無(wú)=［，所以直線方程為＞+3=［（x-2）,即5x-1246=0,

則

綜上可得直線方程為5x-12y-46=0或尤=2.

故答案為：5%-12丁一46=°或%=2

13.In2

【分析】先求出曲線y=e，+x在（0,1）的切線方程，再設(shè)曲線y=ln（x+l）+。的切點(diǎn)為（飛,山（飛+1）+4）,求

出了',利用公切線斜率相等求出％,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.

【詳解】由y=1+尤得y'=e*+l,yix=0=e°+l=2,

故曲線y=在（0,1）處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln（x+l）+〃得y=---,

x+1

設(shè)切線與曲線）=ln（x+l）+a相切的切點(diǎn)為（%0，山（%（）+1）+々），

由兩曲線有公切線得丫'=二=2,解得/=-:，則切點(diǎn)為

玉）十工2I22

切線方程為y=2fx+—j+d!+ln—=2x+l+d!—In2,

9

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

14.4兀

66

【分析】根據(jù)給定條件，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積公式計(jì)算體積；建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接球半

徑即可求出表面積.

【詳解】正四棱錐P-A3CD的所有棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)4',",(7,。,￡尸,”,雙是所在棱的中點(diǎn)，如圖，

^PB2+PD2=8=BD2,即有P3_LPD,則正四棱錐尸—ABCD的高為夜，

xx

于是％ABCD=—x4x^2=4④,%A'B'CD'=-l-^-=，

r—/VDClJcc>r—t\L>cC(

j332。

句"?。了到平面4IW的距離d考以“gX**,

所以所求十面體的體積為V=Vp_ABC0一吟.ABCD一4vA-AMN=^^一￥一4*￡=^^；

Jo12o

^-AC[}BD=O,以直線0A02,0P分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(>/2,0,0),P(0,0,應(yīng)),2(0,72,0),0(0，-0,0),則A吟,0,1),B'(0,與冬,

M也，顯，0),N成，一旦，0),設(shè)外接球球心O'(x,y,z),半徑R,

z22

(X+-R

\

正

0

x-

O'A'=R2尸222

++-R0

y-

(Z-立

O'B'=R解0

則因此＜(Z交-z-

O'M=R'z222-

!Xyz-R

\一2R2

O'N=R

&2

)+22

!zXy+ZR

\2-)2+-

所以十面體的外接球的表面積為S=47t.

10

故答案為：述；4兀

6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是

關(guān)鍵.

3

15.⑴了

4

⑵160+8方

【分析】(1)中求出8D,在△■BCD中，由正弦定理求出sin/BDC的值;

(2)和△BCD中，由余弦定理求出cosA和cosC,得sinA和sinC,進(jìn)而可求四邊形ABC。的面積.

冗

【詳解】(1)在中，AB=AD=4,A=石,貝(JNAD8=—,

6

BD=2A￡)cosZADB=2x4xcos^=4G,

6

BCBD

在△及?中，由正弦定理得

sinZBDCsinC

6sin—

BCsinC3.

sinZBDC=____3

BD464

(2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得

B￡>2=AB2+A￡>2-2AB-ADCOSA=42+42-2X4X4XCOSA=32-32COSA,

B￡>2=CB2+CD2-2CBCDCOSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA-3cosc=-l,又cosA=3cosC,得cosA=-2,cosC=-,，

則sinA=逑，sinC=逋，

39

四邊形ABC。的面積5=山加+%cL；ABSDsinA+：CHC?sinC

「x4x4x逑+、6x2x越J6忘+8/

23293

44

16.(1)E(X)=-,-

⑵⑴晨4°°「日13、

【分析】(1)6道題中小王能答對(duì)4道，答錯(cuò)2道，結(jié)合超幾何分布計(jì)算即可，再結(jié)合條件概率計(jì)算即可.

(2)由/(p)=3p3-6p2+3p[o<p<,),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.

(3)分析每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金的期望E(F),解不等式9E(y"1120即可.

11

【詳解】(1)由題意知，X的可能取值為。,1,2,

0002i

則尸(x=o)=『E

p(x=i)=管］，

C2co2

尸(X=2)=*|,

故X的分布列為

X012

182

p

1515?

1QOA

貝ljE(X)=Ox—+lx—+2x—=—

v7151553

記事件A：小王己經(jīng)答對(duì)一題，事件B：小王未進(jìn)入決賽,

,,、n(AB)C'C*4x2_4

則小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率P(川4)=^7^="二2~W~1'

〃(AJC4c2+。4

(2)(i)由題意知，/(p)=C；p(l-p)2=3/-6/?+3。［。<,

則八p)=3(3p—l)(p-l),

令/'(P)=O,解得或P=1(舍)，

當(dāng)pe,,￡|時(shí)，f\p)>0,當(dāng)寸，尸(0<0,

所以在區(qū)間［o,m內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)〃寸，“P)有極大值，且“P)的極大值為，j

(口)由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量y,

則y的可能取值為60,120,180,360,

尸(丫=60)=(1-03,

p(y=i20)=c；p(i-p)2,

2

F(y=18O)=C^(l-Jp),

P(Y=360)=p3,

所以頤y)=60(1-p)3+120C；p(l-p)2+180C；p2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+1),

12

所以9E（y）21120,

BP540(/2^3+3/7+1\)>1120,整理得2/+30一2^91M,

經(jīng)觀察可知P=］i是方程2P，+3p—噂79=0的根，

故小3p一||=2"f/W："+|p+D

因?yàn)?P2+9/+亍9Q>0恒成立，

2911

所以由2/+3p—為20可得p—：之0,解得得

又0<p<3=,所以P的取值范「圍13為、.

4|_34J

17.⑴工+匚1

43

3-

-;②證明見解析

,爐2

【分析】（1）根據(jù)離心率以及△上4B面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得C的方程為土+二=1;

43

（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出△”>￡的面積S的表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可求得S的取值范圍為

H］；

②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得G［藐占，91N［4,肅］），得出斜率表達(dá)式即可得

生一網(wǎng)|」'3%"?'可得標(biāo)閃=5為定值?

“2=從+才

C1

【詳解】（1）由題意知一=7

a2

—x2ab=

12

22

所以。的方程為土+匕=1；

43

（2）①易知尸（1,0）,

設(shè)直線OE方程為％=陽(yáng)+1,。（石,乂）,石（%2，%），6（%0，%）,如下圖所示:

13

所以△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+l)>0,

6m9

且%+%=一——9-----，X%=------9-----

3m2+4123m2+4

2

可得S=S0=g1.|%—y2kg，(％+%>-4丫通=1-6Jm+1

3m2+4

令d病+l=t,tNl，

S_-6t-61

可得一3r+1一3'+1,由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得y=3，+i在,21時(shí)單調(diào)遞增;

3

S=-<---^=

所以可得2-12

JlH—3+-

1

即S的取值范圍為（o，T

-3m214

②易知％--7---^]=--5---

23m+43m2+43m2+4

—r,口，4-3m、-3m

可侍G[3/+4'3加+4)

3m2+4

3m3m

X-I------5-----%+3??+4]|%+3ff?+4%2-----5-----

所以|匕-勾=“3療+43療+4

再一4x2-4myx-3my,-3

-3Hg-3)卜+工]

（沖1-3）（租%-3）

lj^4+31%r)3m2

+3(%-%)

3m2+4

二%%-3租(％+%)+9-9m218m2八

5——+5——+9

3m2+43m2+4

回一%|_2s

33

14

S3

因此為定值.

18.⑴證明見詳解

⑵逅

3

【分析】⑴依次證得四邊形網(wǎng)DQ與四邊形與NDW是平行四邊形，得到甲W//N，再利用線面平行的

判定定理即可得證;

（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面歷見與平面明。的法

向量，再利用空間向量法即可得解.

【詳解】（1）連結(jié)42，交AG于點(diǎn)N,連結(jié)。N,

在平行六面體ABC。-A4GR中，DD\UBB.DD\=BB\,N是BQ的中點(diǎn),

所以四邊形88QD是平行四邊形，又點(diǎn)M為3D中點(diǎn)，

則B.N=M。且B、NHMD,

所以四邊形耳NDM是平行四邊形，從而4M//M）,

因?yàn)?1Mtz平面4G。，DNuAQD,所以qM//平面AG。.

（2）以A為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),8(1,0,0),￡>(0,l,0),C(l,l,0),設(shè)點(diǎn)。為(x,y,z),其中z>0,

則甌=(無(wú),y,z),通=(1,0,0),礪=(0,1,0),

因?yàn)锳4=l,cos<A4,AB>=—,cos<醺■，而>=；,

22

肥

222x=----

|M|=ix+y+z=12

X^2y1

所以?▼="，即w=T'解得.y二一

網(wǎng)?網(wǎng)22

y_11

A\AD1z=一

ixi-22

同|同2

15