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4.3.1等比數(shù)列的概念第一課時(shí)Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation1ADDYOURTITLEHERE情景導(dǎo)入
類比等差數(shù)列的研究思路和方法,從運(yùn)算的角度出發(fā),觀察下列幾個(gè)問
題中的數(shù)列,它們有什么規(guī)律?1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄的數(shù)列:
2.《莊子·天下篇》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”,那么從第1天開始,各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是
ADDYOURTITLEHERE情景導(dǎo)入
類比等差數(shù)列的研究思路和方法,從運(yùn)算的角度出發(fā),觀察下列幾個(gè)問
題中的數(shù)列,它們有什么規(guī)律?3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下,某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代,那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始,各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是
2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入銀行a元,存期為5年,年利率為r,那么按照復(fù)利,他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5.⑥ADDYOURTITLEHERE情景導(dǎo)入思考1:觀察上述數(shù)列中的項(xiàng),每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之間有什么關(guān)系?
每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于
常數(shù).第2項(xiàng)起,同一個(gè)
2,4,8,16,32,64,…⑤a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5.⑥ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)一
等比數(shù)列的定義
一般地,若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列;這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比常用字母q(q≠0)表示.
遞推公式:(q為常數(shù),且q≠0)(q為常數(shù),且q≠0,n≥2)或
ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一
(1)1,3,9,27,…
(3)5,5,5,5,…(2)1,-1,1,-1,…(5)1,0,1,0,…
判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列,哪些不是?如果是,寫出
首項(xiàng)a1和公比q,如果不是,說明理由.a(chǎn)1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1(4)0,0,0,0,…(6)1,a,a2,a3,…(7)x0,x,x2,x3,…a1=x0,q=x1、等比數(shù)列中,每一項(xiàng)都不能為0;2、對(duì)于常數(shù)列a,a,a,a,...若a=0,則為等差數(shù)列若a≠0,則既為等差又為等比數(shù)列.ADDYOURTITLEHERE方法小結(jié)(2)公比q一定是由后項(xiàng)比前項(xiàng)所得,而不能用前項(xiàng)比后項(xiàng)來(lái)求,且q≠0;(1)等比數(shù)列{an}中,an≠0;(3)若q=1,則該數(shù)列為非零常數(shù)列.
(4)常數(shù)列a,a,a,a,
…時(shí),既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;時(shí),只是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列.ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)二
等比中項(xiàng)
如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).(ab>0)(ab>0)注意:
若a,b異號(hào)則無(wú)等比中項(xiàng);
若a,b同號(hào)則有兩個(gè)等比中項(xiàng).ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二(1)2,x,8成等比數(shù)列,則x=_______;(2)2,x,8,-16成等比數(shù)列,則x=______.ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)三
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式方法1:不完全歸納法等差數(shù)列……由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:……由此歸納等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:等比數(shù)列類比ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)三
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式方法2:累乘法類比……+)等差數(shù)列累加法……共n–1個(gè)×)等比數(shù)列ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解思考2:如何方法2(累乘法)對(duì)其加以嚴(yán)格的證明呢?證明:將等式左右兩邊分別相乘可得:此式對(duì)n=1也成立∵,…,…………ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)三
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列,首項(xiàng)為,公比為q,則通項(xiàng)公式為注意:a1≠0,q≠0ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)三
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d
…an-an-1=d(n≥2)上述各式兩邊同時(shí)相加,得an-a1=(n-1)d方法2:∵由等差數(shù)列的定義可得累加法又∵當(dāng)n=1時(shí),上式也成立∴an=a1+(n-1)dan+1-an=d∴an=a1+(n-1)dADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可以求得任意一項(xiàng).(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1=1,公比q=2,則其通項(xiàng)公式是:______ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)四(課本P31練習(xí)T2)2.已知{an}是一個(gè)等比數(shù)列,請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).
a1a3a5a7q2820.2500.080.0032ADDYOURTITLEHERE例題講解
例1
解得ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)五(課本P31練習(xí)T3)3.在等比數(shù)列{an}中,a1a3=36,a2+a4=60.求a1和公比q.ADDYOURTITLEHERE例題講解
例2
an=a1qn-1
①解:由題意,得am=a1qm-1
②①的兩邊分別除以②的兩邊,得ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)六在等比數(shù)列{an}中,a2=5,a4=10,求公比q.ADDYOURTITLEHERE例題講解
例3數(shù)列{an}共有5項(xiàng),前三項(xiàng)成等比數(shù)列,后三項(xiàng)成等差數(shù)列,第3項(xiàng)等于80,第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136,第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.解:設(shè)前三項(xiàng)的公比為q,后三項(xiàng)的公差為d,則數(shù)列的各項(xiàng)依次為80,80+d,80+2d.于是得,所以這個(gè)數(shù)列是20,40,80,96,112,
或180,120,80,16,-48.ADDYOURTITLEHERE方法小結(jié)ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)七
解:設(shè)三個(gè)正數(shù)為:得:(a>0,q≠0)ADDYOURTITLEHERE課堂小結(jié)等比數(shù)列名稱等差數(shù)列定義
常數(shù)通項(xiàng)公式1中項(xiàng)公式2an=am+(n-m)d從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)公差(d)d可正、可負(fù)、可零從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)公比(q)q可正、可負(fù)、不可零an=amqn-m第二課時(shí)Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation2ADDYOURTITLEHERE新知探究知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系o12345612345678等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解等比數(shù)列{an}的三種判定、證明方法:ADDYOURTITLEHERE新知探究課本P31練習(xí)T22.已知{an}是一個(gè)等比數(shù)列,請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).
a1a3a5a7q2820.2500.080.0032由a1·a7=a3·a5,猜想若p+q=s+t,則apaq=asat由a1·a7=a3·a5,猜想若p+q=s+t,則apaq=asatADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解等比數(shù)列{an}中,若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,則apaq=asat=
ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)一
2.在等比數(shù)列{an}中,已知a7·a12=5,則a8·a9·a10·a11等于(
)A.10 B.25C.50 D.75
√√×××ADDYOURTITLEHERE知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列項(xiàng)的對(duì)稱性ADDYOURTITLEHERE例題講解
例4
用10000元購(gòu)買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.
(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息,12個(gè)月能獲得多少利息
(精確到0.01元)?
(2)若以季度復(fù)利計(jì)息,存4個(gè)季度,則當(dāng)每季度利率為多少
時(shí),按季結(jié)算的利息不少于(1)中按月結(jié)算的利息(精
確到10-5)?ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)二(課本P34練習(xí)T3)3.某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車,2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛.如果在后續(xù)的幾年中,后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%,那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛(精確到1)?ADDYOURTITLEHERE例題講解
例5
ADDYOURTITLEHERE例題講解
例5
已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3(1){an}為等差數(shù)列,公差d=2,證明數(shù)列{}為等比數(shù)列(2){an}為等比數(shù)列,公比q=,證明數(shù)列{}為等差數(shù)列解:(2)∵a1=3,q=設(shè)cn=則cn=∴cn+1-cn=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2又c1=1故數(shù)列{}是以首項(xiàng)為1,公差為-2的等差數(shù)列ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)三(課本P34練習(xí)T2)
ADDYOURTITLEHERE例題講解
例6某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品,產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始,工廠在接下來(lái)的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn),以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%,產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%,那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后,月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)?ADDYOURTITLEHERE鞏固練習(xí)練習(xí)四(課本P34練習(xí)T4)4.某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)為105,力爭(zhēng)2年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”“良”的天數(shù)達(dá)到240.這個(gè)城市空氣質(zhì)量“優(yōu)”“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)達(dá)到多少(精確到0.01)?ADDYOURTITLEHERE新知探究思考1:
已知等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a1,公比q,取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng),構(gòu)成新的數(shù)列,是否還是等比數(shù)列?取出a1,a12,a23,a34……呢?ADDYOURTITLE
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