一、微分的概念

一、微分的概念§5.5微分

若在有限增量公式

中刪去高階無窮小量項(xiàng)關(guān)于的一個線性近似式,這就是“微分”;其中的線性因子即為四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、高階微分二、微分的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù).所以,微分和導(dǎo)數(shù)是一對相輔相成的概念.2021/6/271微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關(guān)于自變量增量的數(shù).如果給邊長x一個增量,正方形面積的增量

的線性部分

和

的高階部分()2.因此,當(dāng)邊長x增加一個微小量

時,

可用一、微分的概念

由兩部分組成:設(shè)一邊長為x的正方形,它的面積S=x2

是x的函線性部分,請先看一個具體例子.2021/6/272

的線性部分來近似.由此產(chǎn)生的誤差是一個關(guān)于的高階無窮小量,即以為邊長的小正方形(如圖).2021/6/273可以表示成定義5

設(shè)函數(shù)

如果增量可微,并稱

為f在點(diǎn)處的微分,記作其中A是與

無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)f在點(diǎn)由定義,函數(shù)在點(diǎn)

處的微分與增量只相差一個關(guān)于

的高階無窮小量,而是

的線性函數(shù).2021/6/274于是

定理1函數(shù)在點(diǎn)

可微的充要條件是

在點(diǎn)可導(dǎo),且證(必要性)

如果

在點(diǎn)可微,據(jù)(1)式有更通俗地說,

是

的線性近似.2021/6/275即

在點(diǎn)可導(dǎo),且(充分性)設(shè)在點(diǎn)

處可導(dǎo),則由的有限增量公式說明函數(shù)增量

可且表示為的線性部分,與關(guān)于的高階無窮小量部分之和.所以

在點(diǎn)可微,微分概念的幾何解釋,示于下圖:2021/6/276它是點(diǎn)P處切線相

在點(diǎn)

的增量為而微分是應(yīng)于

的增量.當(dāng)很小時,兩者之差相比于將是更小的量(高階無窮小).更由于2021/6/277故若則得到的高階無窮小量.若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微,則稱是上它既依賴于,

也與有關(guān).的可微函數(shù).2021/6/278(4)式的寫法會帶來不少好處,首先可以把導(dǎo)數(shù)看

所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商.更多的好處將體現(xiàn)在后面習(xí)慣上喜歡把寫成,于是

(3)式可改寫成這相當(dāng)于的情形,

此時顯然有(5)

積分學(xué)部分中.成函數(shù)的微分與自變量的微分之商,即2021/6/279例12021/6/2710由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,可方便得出微分運(yùn)算法則:故運(yùn)算法則4又可以寫成二、微分的運(yùn)算法則2021/6/2711解它在形式上與(4)式完全一樣,不管

是自變量還例2求的微分.立.這個性質(zhì)稱為“一階微分形式不變性”.是中間變量(另一個變量的可微函數(shù)),上式都成2021/6/2712的計(jì)算中,用了一階微分形式不變性.例3求的微分.解2021/6/2713三、高階微分或?qū)懽鞣Q為f的二階微分.則當(dāng)f

二階可導(dǎo)時,dy關(guān)于x的微分為若將一階微分僅看成是

的函數(shù),注由于

與x無關(guān),因此x的二階微分

三者各不相同,不可混淆.2021/6/2714當(dāng)x是中間變量時,二階微分依次下去,可由階微分求n階微分:對的n階微分均稱為高階微分.高階微分不具有形式不變性.當(dāng)x是自變量時,的二階微分是為2021/6/2715例4解法一不一定為0,而當(dāng)x為自變量時,它比

(6)式多了一項(xiàng)當(dāng)時,由(6)得2021/6/2716解法二依(7)式得如果將漏掉就會產(chǎn)生錯誤.2021/6/2717四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.

函數(shù)值的近似計(jì)算(9)式的幾何意義是當(dāng)x與x0充分接近時,可用點(diǎn)故當(dāng)

很小時,有

由此得記

,即當(dāng)

時，(8)式可改寫為2021/6/2718公式(9)分別用于sinx,tanx,ln(1+x),ex(x0=0),例5試求sin33o的近似值(保留三位有效數(shù)字).解由公式(9)得到

處的切線近似代替曲線,這種線性近可得近似計(jì)算公式(試與等價無窮小相比較):似的方法可以簡化一些復(fù)雜的計(jì)算問題.2021/6/27192.

誤差的估計(jì)設(shè)數(shù)x是由測量得到的,y是由函數(shù)經(jīng)過果已知測量值x0的誤差限為

,

即算得到的

y0=f(x0)也是y=f(x)的一個近似值.如差,實(shí)際測得的值只是x

的某個近似值x0.由x0計(jì)計(jì)算得到.由于測量工具精度等原因,存在測量誤2021/6/2720例6設(shè)測得一球體直徑為42cm,測量工具的精度則當(dāng)很小時,量y0的絕對誤差估計(jì)