2024-2025學(xué)年北京師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z=21+i，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(

)A.(1,?1) B.(?1,1) C.(?1,?1) D.(1,1)2.已知集合A={0,1,2}，B={x|x>c}，若A∩B={1,2}，則c的最小值是(

)A.?1 B.0 C.1 D.23.拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為(

)A.x=1 B.x=?1 C.y=1 D.y=?14.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=lnx B.y=x2 C.y=(15.若雙曲線C:x2a2?y2bA.12 B.23 C.326.已知a=ln0.3，b=30.2，c=0.20.3A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a7.已知函數(shù)f(x)=1x,x<02x?a,x≥0的值域為RA.a<0 B.a>0 C.a≤1 D.a≥18.在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA?sinB)，則∠C=(

)A.π6 B.π3 C.2π39.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則“0<a1<dA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知{an}是無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，a1=3,S2=3A.(?3,1) B.[?2,1) C.(?3,32)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=ln(x?1)+112.已知{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若S2=3a1，a213.若向量a=(x,1)，b=(?1,y)滿足|a+b14.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2).直線y=22與曲線y=f(x)的兩個交點A，B如圖所示.若|AB|=π4，且f(x)在區(qū)間15.已知函數(shù)f(x)=11+x2?kx?b，給出下列四個結(jié)論：

①存在實數(shù)k和b，使函數(shù)f(x)沒有零點；

②存在實數(shù)k，對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恰有1個零點；

③存在實數(shù)b，對任意實數(shù)k，函數(shù)f(x)不會恰有2個零點；

④對任意實數(shù)k和b，函數(shù)f(x)不會恰有3三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=12．

(1)求a的值和17.(本小題13分)

在△ABC中，asinB=2bsinAcosB．

(Ⅰ)求∠B的大小；

(Ⅱ)若a=8，再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在，求△ABC的面積．

條件①：BC邊上中線的長為21；

條件②：cosA=?23；

條件③：b=718.(本小題14分)

某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗.將這20只白鼠隨機分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物A，第2組注射藥物B.試驗結(jié)果如下表所示．皰疹面積(單位：m[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)第1組(只)34120第2組(只)13231(Ⅰ)現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2的概率；

(Ⅱ)從兩組皮膚皰疹面積在[60,80)區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機選取3只抽血化驗，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

(Ⅲ)用“ξk=0”表示第k組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在[30,50)區(qū)間內(nèi)，“ξk=1”表示第k組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在[50,80)區(qū)間內(nèi)(k=1,2)，寫出方差D19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，上、下頂點分別為B1，B2，直線AB1的方程為x?3y+3=0．

(Ⅰ)求橢圓E的方程及離心率；

(Ⅱ)P是橢圓上一點，且在第一象限內(nèi)，M是點P關(guān)于x軸的對稱點.過20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2?(2a+1)x+alnx，a∈R．

(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程．

(2)若f(x)在x=1處取得極值，求f(x)的極值．

(3)若f(x)在[1,e]上的最小值為?2a，求a21.(本小題15分)

對于由有限個自然數(shù)組成的集合A，定義集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A}，記集合S(A)的元素個數(shù)為d(S(A)).定義變換T，變換T將集合A變換為集合T(A)=A∪S(A)．

(Ⅰ)若A={0,1,2}，求S(A)，T(A)；

(Ⅱ)若集合A有n個元素，證明：“d(S(A))=2n?1”的充要條件是“集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數(shù)列”；

(Ⅲ)若A?{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}?T(T(A))，求元素個數(shù)最少的集合A．

參考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.D

8.B

9.A

10.D

11.(1,2)∪(2,+∞)

12.2

15

13.2?14.2

?π15.①②③

16.解：(1)因為f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=12，

所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(2×π4+π6)=a×22×22?12=12，

解得a=2，

所以f(x)=2sinxcosx+cos(2x+π6)=sin2x+cos2xcosπ6?sin2xsinπ6

=sin2x+32cos2x?12sin2x=317.解：(Ⅰ)因為asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得：sinAsinB=2sinBsinAcosB，

在△ABC中，sinB>0，sinA>0，

可得cosB=12，

因為B∈(0,π)，可得B=π3；

(Ⅱ)選條件①：BC邊上中線的長為21，

設(shè)BC邊中點為M，連接AM，則AM=21，BM=4，

在△ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2?2AB?BM?cosB，即21=AB2+16?8AB?cosπ3，

整理得AB2?4AB?5=0，解得AB=5或AB=?1(舍去)，

所以△ABC的面積為S△ABC=12AB?BC?sinB=103；

選條件②：因為cosA=?23，則sinA=1?cos2A=18.解：(Ⅰ)記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2為事件C，

其中從第1組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為810，

從第2組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為610，

所以P(C)=810×610=1225．

(Ⅱ)依題意X的可能取值為X123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2．

(Ⅲ)依題意可得P(ξ1=0)=710，P(ξ1=1)=310，

所以E(ξ1)=0×719.解：(Ⅰ)因為直線AB1的方程為x?3y+3=0，

所以A(?3,0)，B1(0,1)，

即a=3，b=1，所以c=a2?b2=2，

所以橢圓方程為x23+y2=1，離心率e=ca=23=63；

(Ⅱ)證明：依題意，如圖，設(shè)P(x0,y0)，(x0>0,y0>0)，則M(x0,?y0)，

20.解：(1)若a=0，則f(x)=x2?x，則f′(x)=2x?1，

故f(2)=2，f′(2)=3，

故曲線y=f(x)在點P(2,f(2))處的切線方程為y?2=3(x?2)，即3x?y?4=0；

(2)f(x)=x2?(2a+1)x+alnx，a∈R定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=2x?(2a+1)+ax，

由于f(x)在x=1處取得極值，故f′(1)=2?(2a+1)+a=0，∴a=1，

則f′(x)=2x?3+1x=2x2?3x+1x=(2x?1)(x?1)x，

令f′(x)>0，則0<x<12或x>1，函數(shù)f(x)在(0,12),(1,+∞)上均單調(diào)遞增，

令f′(x)<0，則12<x<1，函數(shù)f(x)在(12,1)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=12時，f(x)取到極大值f(12)=14?32+ln12=?54?ln2，

當(dāng)x=1時，f(x)取到極小值f(1)=1?3=?2；

(3)由于f′(x)=2x?(2a+1)+ax=(2x?1)(x?a)x,x∈[1,e]，

當(dāng)a≤1時，f′(x)≥0，僅在a=1，x=1時等號取得，f(x)21.解：(Ⅰ)若集合A={0,1,2}，則S(A)=T(A)={0,1,2,3,4}.….(3分)

(Ⅱ)令A(yù)={x1,x2,…xn}.不妨設(shè)x1<x2<…<xn．

充分性：設(shè){xk}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列．

則xi+xj=x1+(i?1)d+x1+(j?1)d=2x1+(i+j?2)d(1≤i,j≤n)

且2≤i+j≤2n.所以xi+xj共有2n?1個不同的值．即d(S(A))=2n?1．

必要性：若d(S(A))=2n?1．

因為2xi<xi+xi+1<2xi+1，(i=1,2,…,n?1)．

所以S(A)中有2n?1個不同的元素：2x1，2x2，…，2xn，x1+x2，x2+x3，…，xn?1+xn．

任意xi+xj(1≤i,j≤n)

的值都與上述某一項相等．

又xi+xi+1<xi+xi+2<xi+1+xi+2，且xi+xi+1<2xi+1<xi+1+xi+2，i=1，2，…，n?2．

所以xi+xi+2=2xi+1，所以{xk}是等差數(shù)列，且公差不為0.….(8分)

(Ⅲ)首先證明：1∈A.假設(shè)1?A，A中的元素均大于1，從而1?S(A)，

因此1?T(A)，1?S(T(A))，故1?T(T(A))，與{1,2,3,…,25,26}?T(T(