數(shù)學(xué)課堂探究：獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一列聯(lián)表與等高條形圖利用數(shù)形結(jié)合的思想,借助等高條形圖來判斷兩個分類變量是否相關(guān)是判斷變量相關(guān)的常見方法之一．一般地，在等高條形圖中,eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d）相差越大,兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大．在作等高條形圖時可以用列聯(lián)表來尋找相關(guān)數(shù)據(jù)，作圖要精確，且易于觀察,以便對結(jié)論的判斷不出現(xiàn)偏差．【典型例題1】研究人員選取170名青年男女大學(xué)生對他們進(jìn)行一種心理測驗．發(fā)現(xiàn)60名女生對該心理測驗中的最后一個題目的反應(yīng)是:作肯定的有18名,否定的有42名.110名男生在相同的題目上作肯定的有22名，否定的有88名．試判斷性別與態(tài)度之間是否有關(guān)系．思路分析：通過閱讀理解得出列聯(lián)表，畫出相應(yīng)的條形圖，得到變量的關(guān)聯(lián)性．解:根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)建立如下列聯(lián)表：肯定否定總計女生184260男生2288110總計40130170相應(yīng)的等高條形圖如圖所示．比較來看，女生中肯定的人數(shù)的比例要高于男生中肯定的人數(shù)的比例，因此可以在某種程度上認(rèn)為性別與態(tài)度之間有關(guān)系．點評大致判斷一下兩個分類變量是否有關(guān)，可以借助等高條形圖，這種判斷可加深對獨立性檢驗基本思想的理解．探究二獨立性檢驗解決一般的獨立性檢驗問題,首先由所給的2×2列聯(lián)表確定a,b，c，d，n的值，然后代入隨機(jī)變量的計算公式求出觀測值k,將k與臨界值k0進(jìn)行對比，確定有多大的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系．【典型例題2】為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān),調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計吸煙43162205不吸煙13121134總計5628333950歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)系嗎?思路分析:求出觀測值k，對照臨界值即可得出結(jié)論．解:由2×2列聯(lián)表可知：a＝43，b＝162，c＝13，d＝121，a＋b＝205，c＋d＝134，a＋c＝56，b＋d＝283，n＝a＋b＋c＋d＝339,代入公式得K2的觀測值為k＝eq\f（339×43×121－162×132,205×134×56×283）≈7。469。由于7.469＞6.635，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)系．規(guī)律小結(jié)解決一般的獨立性檢驗問題的步驟:(1)通過列聯(lián)表確定a，b，c,d，n的值，根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值k0;(2）利用K2＝求出K2的觀測值k；(3）如果k≥k0，就推斷“兩個分類變量有關(guān)系"，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“兩個分類變量有關(guān)系”．探究三獨立性檢驗的綜合應(yīng)用1．獨立性檢驗類似于數(shù)學(xué)中的反證法，要確認(rèn)“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度，首先假設(shè)結(jié)論不成立,在假設(shè)下，我們構(gòu)造的統(tǒng)計量K2應(yīng)該很?。绻捎^測數(shù)據(jù)計算得到的K2值很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理，再根據(jù)不合理的程度與臨界值的相關(guān)關(guān)系作出判斷．2．統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來推測全部數(shù)據(jù)的性質(zhì),因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關(guān)系，而不是因果關(guān)系．【典型例題3】為了調(diào)查某生產(chǎn)線上質(zhì)量監(jiān)督員甲對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響,現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：甲在生產(chǎn)現(xiàn)場時，990件產(chǎn)品中有合格品982件，次品8件；甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場時，510件產(chǎn)品中有合格品493件，次品17件．試分別用列聯(lián)表、獨立性檢驗的方法分析監(jiān)督員甲對產(chǎn)品質(zhì)量好壞有無影響．能否在犯錯誤的概率不超過0。001的前提下,認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系？思路分析：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握數(shù)據(jù)作出2×2列聯(lián)表，然后具體分析．解:（1)2×2列聯(lián)表如下：合格品數(shù)次品數(shù)總計甲在生產(chǎn)現(xiàn)場9828990甲不在生產(chǎn)現(xiàn)場49317510總計1475251500由列聯(lián)表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8｜＝12750,相差較大，可在某種程度上認(rèn)為“質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系”．（2)由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算得到K2的觀測值為k＝eq\f(1500×982×17－493×82，990×510×1475×25)≈13.097＞10。828,因此在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為質(zhì)量監(jiān)督員甲是否在生產(chǎn)現(xiàn)場與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)系．探究四易錯辨析易錯點判斷兩個分類變量的相關(guān)程度時出錯【典型例題4】在一項研究吸煙與患肺癌的關(guān)系的調(diào)查中，共調(diào)查了6578人,經(jīng)計算得K2＝62。98，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有__________的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，這種判斷出錯的可能性是__________．(參考值P(K2≥10.828)＝0。001)錯解:99.9%0.1%錯因分析：審題錯誤，由題意知我們有99。9%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系"，這種判斷出錯的可能性是0.1%,因此我們有0。1％的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”,這種判斷出錯的可能性是99。9％.正解：0。1％99。9%點評我們使用獨立性檢驗判斷兩個分類變量是否有關(guān)時，先求出隨機(jī)變量K2的觀測值k，然后將k與臨界值k0比較,如果k≥k0，我