建筑力學(xué)課件：變形計(jì)算

變形計(jì)算7.1軸向拉（壓）桿的變形胡克定律7.2彎曲變形7.3梁的剛度條件7.4虛功原理和單位荷載法7.5圖乘法7.6靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移和溫度變化所

引起的位移計(jì)算7.7互等定理1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律

2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律

內(nèi)力在n段中分別為常量時(shí)

EA稱為桿的抗拉壓剛度。

PPFN(x)dxx§7.1軸向拉（壓）桿的變形胡克定律3、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

4、泊松比（或橫向變形系數(shù)）

[例]如圖a)所示的階梯桿，已知橫截面面積AAB＝ABC＝400mm2，ACD＝200mm2，彈性模量E＝200GPa，受力情況為FP1＝30kN，F(xiàn)P2＝10kN，各段長(zhǎng)度如圖a)所示。試求桿的總變形。

解(1)作軸力圖桿的軸力圖如圖b)所示。

(2) 計(jì)算桿的變形應(yīng)用胡克定律分別求出各段桿的變形桿的總變形等于各段變形之和計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明桿的總變形為縮短。

§7.2彎曲變形研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；②解超靜定梁（為變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用ω表示。與ω軸同向?yàn)檎粗疄樨?fù)。

7.2.1彎曲變形與位移的基本概念2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用

表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。3、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：ω=ω(x)4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：小變形PxωCqC1ω一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形ωxM>0ωxM<0(1)7.2.2小撓度微分方程及其積分對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：二、用積分法求梁的變形1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。（1）

支點(diǎn)位移條件：（2）

連續(xù)條件：（3）光滑條件：[例]

求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxω

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xωPL解：

建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分xωPLa[例]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)PLaxω

寫出彈性曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxω1、載荷疊加

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）7.2.3疊加法求梁的變形一、疊加法求梁的變形

[例]按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解、①載荷分解如圖②

由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB

Caa

③疊加qqPP=+AAABBBCaa一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[ω/L]稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸：

、設(shè)計(jì)載荷：(對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）§7.3梁的剛度條件

[例]

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長(zhǎng)a=200mm的正方形，均布載荷集度，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長(zhǎng)量及梁跨中點(diǎn)D處沿鉛垂方向的位移。

解：靜力分析，求出支座A點(diǎn)的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：拉桿BC的伸長(zhǎng)為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得：

邊界條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入上式得故當(dāng)時(shí)，。疊加法：

說明：AB梁不變形，BC桿變形后引起AB梁中點(diǎn)的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點(diǎn)的位移疊加。

7.4.1虛功原理根據(jù)變形體在外力做功時(shí)力與位移是否存在直接關(guān)系，將外力所做的功分為外力實(shí)功和外力虛功；根據(jù)內(nèi)力在變形上做功（產(chǎn)生應(yīng)變能）時(shí)內(nèi)力與變形是否存在直接關(guān)系，將內(nèi)力所做的功分為內(nèi)力實(shí)功和內(nèi)力虛功。上節(jié)內(nèi)容介紹彈性體應(yīng)變能和余能計(jì)算，實(shí)際上是功能原理在外力和內(nèi)力做實(shí)功時(shí)的具體應(yīng)用，概括為實(shí)功原理。為了能普遍解決桿件或者桿系上任何一點(diǎn)沿任何方向的位移計(jì)算問題，以功能原理為前提，進(jìn)一步來(lái)討論變形體系的虛功原理。一、虛功原理的概念如圖所示簡(jiǎn)支梁，設(shè)第一組荷載F1先作用在梁上達(dá)到第一次平衡（虛線1），然后在第一組荷載作用的基礎(chǔ)上加上第二組荷載F2達(dá)到第二次平衡（虛線2）?！?.4虛功原理和單位荷載法圖中△11是由于F1的作用沿F1方向產(chǎn)生的位移，△22是由于F2的作用沿F2方向產(chǎn)生的位移，△12是由于的F2作用在F1方向上產(chǎn)生的位移。位移的腳標(biāo)解釋為：第一個(gè)腳標(biāo)表示位移發(fā)生的地點(diǎn)和方向；第二個(gè)腳標(biāo)表示引起位移的原因。圖12-10

F1在△11上做的功用W11表示，F(xiàn)2在△22上做的功用W22表示，F(xiàn)1在，△12上做的功用W12表示。W11、W22是外力實(shí)功；W12不是F1在本身引起的位移上做的功，而是F2引起的在F1位移方向上做的功，W12是外力虛功。根據(jù)功能原理，外力做功的同時(shí)，內(nèi)力也做功（產(chǎn)生應(yīng)變能），F(xiàn)1引起的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上做的功用Vε11表示，F(xiàn)2引起的內(nèi)力在相應(yīng)的變形上做的功用Vε22表示，F(xiàn)1引起的內(nèi)力在F2引起的內(nèi)力及其相應(yīng)變形上做的功用Vε12表示。同理、是內(nèi)Vε11Vε22力實(shí)功，Vε12是內(nèi)力虛功。根據(jù)功能原理，梁在兩組外力先后作用下，外力所作的總功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)力的應(yīng)變能（內(nèi)力做的功），表達(dá)式為

因?yàn)?，所以可得

上式稱為虛功原理，也稱為虛功方程。它表明：第一組外力在第二組外力所引起的位移上所做的外力虛功，等于第一組內(nèi)力在第二組內(nèi)力所引起的變形上所做得的功。在虛功原理中，做功的外力（或者內(nèi)力）和位移（或者變形）可以是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的，而且兩者之一可以是虛設(shè)的。如果是實(shí)功，對(duì)于一個(gè)給定的平衡力系，只有一種給定的平衡狀態(tài)；而虛功，對(duì)應(yīng)于某一個(gè)給定的平衡力系，可以選取多種變形狀態(tài)，或者對(duì)應(yīng)于某一個(gè)給定的變形狀態(tài)，可以選取多種平衡力系。虛功原理的應(yīng)用范圍很普遍，適用于線彈性體，非線彈性體，彈塑性體和塑性體等變形體系。二、虛功原理的應(yīng)用形式1.虛功原理求未知力——虛位移原理在理論力學(xué)中我們知道，在某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系在約束所允許的條件下，可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移稱為虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。任何一個(gè)桿件可看成質(zhì)點(diǎn)系。應(yīng)用虛功原理時(shí)，當(dāng)力為實(shí)際狀態(tài)，位移為虛設(shè)狀態(tài)，此時(shí)虛功原理稱為虛位移原理。

如圖（a）所示一根外伸梁，在C點(diǎn)作用一個(gè)主動(dòng)力F,梁在主動(dòng)力和支座反力的作用下處于平衡狀態(tài)，此時(shí)為實(shí)際狀態(tài)，要求計(jì)算支座反力。

（a）(b)應(yīng)用虛位移原理求解步驟如下：（1）撤除與相應(yīng)的鏈桿，使梁發(fā)生位移狀態(tài)，如圖(b)所示。（2）實(shí)際力在虛設(shè)位移狀態(tài)上作虛功，虛功方程式為

公式中力與相應(yīng)的虛位移方向一致取正號(hào)虛功，力與相應(yīng)的虛位移方向相反取負(fù)號(hào)虛功。（3）根據(jù)圖（b）所示的幾何關(guān)系，可得

將上式代入式,可得

所以可求出支座反力：

從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子可看出，虛功方程式實(shí)際上是實(shí)際受力狀態(tài)的力矩平衡方程，應(yīng)用虛位移原理可以將一個(gè)力的平衡問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)分析虛位移狀態(tài)中的幾何關(guān)系問題。

2．應(yīng)用虛功原理求位移——虛力原理應(yīng)用虛功原理求某一體系的未知位移時(shí)，以桿系的實(shí)際位移狀態(tài)作為虛功原理的位移狀態(tài)，再根據(jù)所要求的未知位移適當(dāng)?shù)倪x擇虛力狀態(tài)，此時(shí)的虛功原理稱為虛力原理。如圖(a)所示一外伸梁，已知支座A下沉了，如虛線所示，這是實(shí)際位移狀態(tài)?，F(xiàn)用虛力原理求外伸梁C的位移。

（a）(b)求解步驟如下：（1）在所求位移的位置和方向上，虛設(shè)荷載F作用，作為虛設(shè)狀態(tài)。F在所求位移上做虛功。虛功方程式如下：

（2）由圖12-12（b）所示，列平衡方程,可得：

將代入式（12-25a）后，得：

由此求得：

若要確定在實(shí)際荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向或轉(zhuǎn)向的位移，可依據(jù)單位力法來(lái)求解。具體方法法如下。在所求位移點(diǎn)處施加一個(gè)相應(yīng)的單位力，由單位力所引起的桿件任意截面上的內(nèi)力為、、、。于是，單位力法計(jì)算桿件位移的一般表達(dá)式，即

(7-1)

此式是將實(shí)際荷載所引起的位移當(dāng)作虛位移，而將虛設(shè)的單位力當(dāng)作荷載。對(duì)于線彈性桿件，由實(shí)際荷載引起的微段兩端橫截面間的變形位移分別為：

7.4.2單位力法

(7-2a)

(7-2b)

(7-2c)

(2-2d)

以上式中的、、、為桿件橫截面上實(shí)際荷載引起的內(nèi)力。將以上四個(gè)公式代入式（12-29）即得

(7-3)此式即為用單位力法求線彈性體位移的計(jì)算公式。如果是非圓截面桿，上式中IP的換為It。在應(yīng)用單位力法求解實(shí)際荷載作用下的位移應(yīng)注意：（1）單位力是所求位移相應(yīng)的廣義力。如果△是線位移，則單位力即為施加于該處沿所求線位移方向的力；如果△是轉(zhuǎn)角位移，則單位力為施加于該截面處的彎曲力偶或扭轉(zhuǎn)力偶。（2）根據(jù)實(shí)際荷載引起的內(nèi)力，公式（7-3）右端的組成項(xiàng)視具體情況而定。

（3）若所求位移的結(jié)果為正值，則表示其指向與單位力指向一致；若為負(fù)值，則表示其指向與單位力指向相反。從公式（7-3）可看出，單位力法實(shí)際上是卡氏第二定理的簡(jiǎn)化方法?？ㄊ系诙ɡ碇械姆謩e等于單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力、、、。

在桿件數(shù)量多的情況下,不方便.下面介紹計(jì)算位移的圖乘法.剛架與梁的位移計(jì)算公式為：§7.5圖乘法一、圖乘法(對(duì)于等截面桿)(對(duì)于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?A面積矩例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:MPMi1、應(yīng)用條件：桿段應(yīng)是等截面直桿段，兩個(gè)圖形中至少應(yīng)有一個(gè)直線圖形，標(biāo)距y0應(yīng)取自直線圖中。2、正負(fù)規(guī)定：面積A與標(biāo)距y0在桿的同一邊時(shí)，乘積A

y0應(yīng)取正；A與標(biāo)距y0在桿的不同邊時(shí)取負(fù)號(hào)。圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角解:例.試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移.解:MP二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法Ch二次拋物線A三、圖形分解求MP三、圖形分解求MP

當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí),取哪個(gè)圖形的面積均可.MP三、圖形分解求

取

yc的圖形必須是直線,不能是曲線或折線.能用

圖面積乘MP圖豎標(biāo)嗎?三、圖形分解求MP三、圖乘法小結(jié)1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3）應(yīng)取自直線圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形.三、圖形分解求MP三、圖形分解求C截面豎向位移MP

例1.圖示梁EI

為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。三、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP三、應(yīng)用舉例l/2ql/2MP

例.圖示梁EI

為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP

例.已知EI

為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。三、應(yīng)用舉例解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力，材料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移。