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文檔簡介
湖北省宜昌市2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.2.已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等,是的中點(diǎn),則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.3.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.4.是虛數(shù)單位,則()A.1 B.2 C. D.5.設(shè),則()A. B. C. D.6.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.8.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.59.已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.310.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.11.在中,,則()A. B. C. D.12.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,求____________.14.已知,(,),則=_______.15.已知向量,,,若,則______.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時,三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)已知等差數(shù)列滿足,公差,等比數(shù)列滿足,,.求數(shù)列,的通項公式;若數(shù)列滿足,求的前項和.19.(12分)已知,,(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知銳角的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,,求邊上的高的最大值.20.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和21.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.22.(10分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),,交于點(diǎn).求證:~.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析:設(shè)的交點(diǎn)為,連接,則為所成的角或其補(bǔ)角;設(shè)正四棱錐的棱長為,則,所以,故C為正確答案.考點(diǎn):異面直線所成的角.3、C【解析】
判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個選項中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為,B選項漸近線為,C選項漸近線為,D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,再由模長公式,即可求解.【詳解】由.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,該點(diǎn)位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】,故,故選A.10、C【解析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點(diǎn)時,取得最大值.【詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時,取得最大值,最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.11、A【解析】
先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.12、A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、-1【解析】
由向量垂直得向量的數(shù)量積為0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)論.【詳解】由已知,∵,∴,.故答案為:-1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.16、4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)的周長為,結(jié)合離心率,求出,即可求出方程;(2)設(shè),則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標(biāo),直接驗證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)和三點(diǎn)共線,將點(diǎn)坐標(biāo)用表示,坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,的周長為6,設(shè)橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設(shè),則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對稱性不妨令點(diǎn)在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因為,設(shè)所以,即.又因為位于軸異側(cè),所以.因為三點(diǎn)共線,即應(yīng)與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論思想和計算求解能力,屬于較難題.18、,;.【解析】
由,公差,有,,成等比數(shù)列,所以,解得.進(jìn)而求出數(shù)列,的通項公式;當(dāng)時,由,所以,當(dāng)時,由,,可得,進(jìn)而求出前項和.【詳解】解:由題意知,,公差,有1,,成等比數(shù)列,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式.?dāng)?shù)列的公比,其通項公式.當(dāng)時,由,所以.當(dāng)時,由,,兩式相減得,所以.故所以的前項和,.又時,,也符合上式,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念,通項公式,前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,方程思想,分類討論思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.19、(1)的最小正周期為:;函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2).【解析】
(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式,結(jié)合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成余弦型函數(shù)解析式形式,利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進(jìn)行求解即可;(2)由(1)結(jié)合,求出的大小,再根據(jù)三角形面積公式,結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)的最小正周期為:;當(dāng)時,即當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為:;(2)因為,所以設(shè)邊上的高為,所以有,由余弦定理可知:(當(dāng)用僅當(dāng)時,取等號),所以,因此邊上的高的最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦的二倍角公式、誘導(dǎo)公式、輔助角公式,考查了余弦定理、三角形面積公式,考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1);(2)【解析】
(1)由化為,利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系,得到是首項為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時,數(shù)列從開始成等差數(shù)列,,代入得是首項為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系和錯位相減法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費(fèi)用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費(fèi)用為(元);2°若,則,的分布列
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