概率與數(shù)理統(tǒng)計典型例題

《概率與數(shù)理統(tǒng)計》第一章隨機事件與概率典型例題一、利用概率的性質(zhì)、事件間的關(guān)系和運算律進行求解.設A,B,C為三個事件，且P(AB)=0.9,P(ABC)=0.97,則P(AB—C)=..設A,B為兩個任意事件，證明：IP(AB)-P(A)P(B)l<1.4二、古典概型與幾何概型的概率計算.袋中有〃個紅球，b個白球，現(xiàn)從袋中每次任取一球，取后不放回，試求第k次取到紅球的概率.(—)a+b.從數(shù)字1,2,,9中可重復地任聰次，試求所取徹個數(shù)的乘積能被10整除的概率.(1-55+際-44)9n3.50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，從而成為不合格品，試求10個部件都是合格品的概率.(1959)1960.擲5顆骰子，求出現(xiàn)最大的點數(shù)為5的概率..(配對問題)某人寫了5封信給不同的5個人，并在5個信封上寫好了各人的地址，現(xiàn)在每個信封里隨意地塞進一封信，試求至少有一封信放對了信封的概率.k=0

.在線段AD上任取兩點B,C，在B,C處折斷而得三條線段，求“這三條線段能構(gòu)成三角形”的概率.（0.25）.從（0,1）中任取兩個數(shù)，試求這兩個數(shù)之和小于1,且其積小于16的概率.13（13（-+—ln3）416三、事件獨立性3.設事件A與B獨立，且兩個事件僅發(fā)生一個的概率都是—，試求P（A）.16.甲、乙兩人輪流投籃，甲先投，且甲每輪只投一次，而乙每輪可投兩次，先投中者為勝.已知甲、乙每次投籃的命中率分別為p和3.（1）求甲取勝的概率;（2）p求何值時，甲、乙兩人的勝負概率相同？（§￡;p=14）四、條件概率與積事件概率的計算1.已知10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)從中取產(chǎn)品兩次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）兩次均取到正品；（2）在第一次取到正品的條件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）兩次中恰有一次取到正品；（5）兩次中28741644至少有一次取到正品.（28;7;4;16;竺）459545452.某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，假設撥過了的數(shù)字不再重復，試求下列事件的概率：（1）撥號不超過3次而接通電話；（2）第3次撥號才接通電話.（0.3；0.1）五、全概率公式和貝葉斯公式概型1.假設有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件為一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件為一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑選出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件（取出的零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.2690的概率.（-; ）514212.有100個零件，其中90個一等品，10個二等品，隨機地取2個,安裝在一臺設備上，若2個零件中有1個（，=0,1,2）二等品，則該設備的使用壽命服從參數(shù)為九=，?+1的指數(shù)分布，試求：（1）設備壽命超過1的概率；（2）若已知該設備壽命超過1，則安裝在設備上的2個零件均是一等品的概率./89 2 1 89e-1 、（ e-1+—e—2+e-3； ）110 11 110 89e-i+20e-2+e-3六、伯努利試驗1.甲袋中9個白球與1個黑球，乙袋中有10個白球，每次從甲、乙兩袋中隨機地取一球交換放入另一袋中，這樣做了3次，試求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假設一廠家生產(chǎn)的每臺儀器以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠，現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了幾臺儀器（假設生產(chǎn)過程相互獨立），求恰好有k臺能出廠的概率.（Ck（0.94）k（0.06）n-k）n綜合題1.某段時間［t,t+t］（t>0）內(nèi)，證券交易所來了k個股民的概率為00讓e-1,k=0,1,2,,入〉0，每個來到交易所的股民購買長虹股票的概率為p，k!且各股民是否購買這種股票相互獨立（1）求此段時間內(nèi)，交易所共有廠個股民購買長虹股票的概率；（2）若已知這段時間內(nèi)，交易所共有廠個股民購買了長虹股票，求交易所內(nèi)來了m個股民的概率.c ［入t（1—p）］m-r（（入tp）r、.—— e一九t（1-p）,mNr（、e-入tp;1 （m-r）! ）0, m<r.三架飛機（一架長機，兩架僚機）一同飛往某目的地進行轟炸，但要到達目的地需要無線電導航，而只有長機有這種設備。到達目的地之前，必須經(jīng)過敵方的高射炮陣地上空，這時任一飛機被擊落的概率都是0.2，到達目的地之后，各飛機將獨立地進行轟炸，炸毀目標的概率都是0.3，求目標被炸毀的概率.（0.477）.設有三箱同型號產(chǎn)品，分別裝有合格品20件、12件和15件；不合格品為5件、4件和5件，現(xiàn)任意打開一箱，并從箱內(nèi)任取一件進行檢驗，由于檢驗誤差，每件合格品被誤驗為不合格品的概率為0.04，每件不合格品被誤驗為合格品的概率為0.04，試求；（1）取到的一件產(chǎn)品經(jīng)檢驗定為合格品的概率；（2）若已知取到的一件產(chǎn)品被檢驗定為合格品，則它確實是合格品的概率.2323 7 —X0.96(23x0.96+—x0.4;30 30 30 0.745第二章隨機變量及其分布典型例題一、有關(guān)隨機變量與分布的基本概念設F(x)為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，而且F(0)=0，證明:r門)一G(xJF(X)-FIj'210,x<1是分布函數(shù).二、求隨機變量的分布律與分布函數(shù)0，x<-104 -1<x<1試求X的分布律.1.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=to，?試求X的分布律.0.8, 1<x<31,x>3.同時擲兩枚骰子，觀察它們出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子出現(xiàn)的最大點數(shù)X的分布律.

.向直線上擲隨機點，已知隨機點落入H=(-8,0］,H=(0,1］,H=(1,+8)的概率1 23分別等于0.2、0.5、0.3，并且隨機點在(0,1］上服從均勻分布，假定隨機點落入?yún)^(qū)間(-8,0］得0分，落在區(qū)間(0,1］的X點得X分，落在區(qū)間(1,+8)內(nèi)得1分，以0<X<-0<X<-21/X<12 <，試求X的分布函數(shù).1<X<32其他2羽、r，，一，，，、一 1..設連續(xù)型隨機變量X的密度為f(X)=<1,3-2x,0,三、已知事件發(fā)生的概率，求事件中的未知參數(shù)f3X2 0<X<2.設隨機變量X,Y同分布，X的概率密度為f(x)=<8X,0X2，已知事件、0,其他A={X>a},B={Y>a}獨立，且P(AB)=3，試求常數(shù)a..設離散型隨機變量X的概率分布為P{X=n}=apn,(n=0,1,2,)，而且X取奇3數(shù)值的概率為3，試求常數(shù)a,p的值.四、利用常見分布求相關(guān)事件的概率(主要參看教材)假設某科統(tǒng)考的成績X近似服從正態(tài)分布N(70,102)，已知第100名的成績?yōu)?0，問第20名的成績?yōu)槎嗌?？五、求隨機變量函數(shù)的分布一.一.，一、.一 11An ,、兀….已知隨機變量X的分布律為：P{X=n}=—,(n=1,2,)，求Y=sm—X的12J 2分布律..設X的密度函數(shù)為f(x)=ffX>'試求Y=eX的概率密度f(y).XI0,X<1 Y

3.已知隨機變量X的概率密度f(x),求隨機變量丫=min{X,X2}的概率密度Xf(y).Y4.設隨機變量4.設隨機變量X的概率密度f(x)=\X—,—1<x<02-,0<x<2,令Y=X2,F(x,y)為二維40,其他隨機變量(x,Y)的分布函數(shù).(1)求Y的概率密度3)；(2)求f(-2，4).六、綜合題1.設隨機變量X的分布律為:X-1012pi1111462121 1 2以及矩陣A=1X2 2 ，試求A的秩r(A)的分布函數(shù).—1—1X—12.一商場對某商品的銷售情況作了統(tǒng)計，知顧客對該商品的需求X服從正態(tài)分布N(四,。2)，且日均銷售量日為40件，銷售機會在30件到50件之間的概率為0.5，若進貨不足，每件利潤損失為70元；若進貨量過大，則因資金積壓，每件損失100元，求日最優(yōu)進貨量.(37)第三章多維隨機變量及其分布典型例題

一、聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的計算1.將三個相同的球等可能地放入編號為1、2、3的三個盒子中，記落入第1號與第2號盒子中球的個數(shù)分別為XI.(1)求(XI)的聯(lián)合分布律；(2)求X與y的邊緣分布律；(3)問X與y是否獨立？(4)求y關(guān)于X=1的條件分布律..設隨機變量y,y,y相互獨立，且均服從參數(shù)為p的0—1分布，令1231,-1,1,-1,y+y+y=123y+y+y中123k,(kk=1,2)(1)求(X,X)的聯(lián)合分布律；(2)為p為何值時，E(XX)取最小值?1 2 12.設(X,y)服從D上的均勻分布，其中D為％軸、j軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域，試求：(1)(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)(X,y)的聯(lián)合分布函數(shù).二、已知部分分布律或邊緣分布，求聯(lián)合分布律或相關(guān)參數(shù)(參見教材)三、利用已知分布求相關(guān)事件的概率.(X\.設二維隨機變量(X,y)~N(0,0,1,1,0)，則P—<0=.Iy).設X與y是兩個相互獨立的隨機變量，它們均勻分布在(0,b)內(nèi)，試求方程12+Xt+y=0有實根的概率.四、隨機變量函數(shù)的分布211.設隨機變量x與y獨立同分布，且X的概率分布為：p{x=1}=3,p{x=2}=3記U=max{X,y},V=min{X,y}.(1)求(U,V)的概率分布；(2)求(U,V)的協(xié)方差Cov(U,V).

2.設二維隨機變量(X,2.設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=2—x—y,0<x<1,0<y<10,其他，(1)求尸{X>2Y}；(2)求Z=X+Y的概率密度f(z).Z五、隨機變量的獨立性的討論(參見教材)第四章隨機變量的數(shù)字特征典型例題一、期望和方差的計算(參見教材中的練習題).一臺設備由三大部件構(gòu)成，在設備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應為0.1，0.2和0.3,假設各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學期望E(X)和方差D(X).2.一民航送客車載有20位旅客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求E(X)(設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立).二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差(參見教材中的練習題)1.設隨機變量X的概率密度為f(x)= ,-8<x<+8，求E[min(lX1,1)].兀(1+x2).在長為l的線段上任意取兩點，求兩點間距離的數(shù)學期望與方差.三、有關(guān)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、獨立性與相關(guān)性的命題，1 0< <2.設(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=k(x+y)， —x,y—，求、0,其他Cov(X,Y)與|3(X,Y)..設二維隨機變量(X,Y)在矩形G={(x,y)10<x<2,0<y<1}上服從均勻分布，記U=10,若，,V=|0,若，2,（1）求U和V的聯(lián)合分布律；（2）求U[1,若 [1,若2和V的相關(guān)系數(shù)PXY.設隨機變量X的密度函數(shù)為f（x）=1e山i,—8<x<+8,（1）求E（IX1）和2D（IXI）；（2）求X與|XI的協(xié)方差，問X與1XI是否不相關(guān)？（3）問X與1XI是否獨立？為什么？.設Z=1X+1Y，其中X~N（1,32）,Y~N（0,42），且p=-1，（1）求Z的數(shù)學3 2 XY2期望及方差；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）X與Z是否相互獨立？為什么？四、有關(guān)數(shù)字特征的應用題.一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為0,工廠規(guī)定，出售的設備若在售出一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠售出一臺設備贏利100元，調(diào)換一臺設備廠方需花費300元，試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望.（300xe-:）.一商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨的數(shù)量X（以公斤計）與顧客對該商品的需求量Y是相互獨立的隨機變量，且都服從[10,20]上的均勻分布，商店每售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了進貨量，商店可從其他地方調(diào)劑供應，這時每單位商品可獲利500元，試計算此商店經(jīng)銷該商品每周所得利潤的期2望值.（141663）.假設由自動生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（內(nèi)1），內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)|-1，x<10徑X有如下關(guān)系：T=\20,10<X<12，問平均內(nèi)徑日取何值時，銷售一個零-5,X>12125件的平均利潤最大？(日=11--ln—六10.9)221第五章大數(shù)定律和中心極限定理典型例題一、有關(guān)切比雪夫不等式的命題.設隨機變量X與y的數(shù)學期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)切比雪夫不等式，尸{IX+y1>6}<.(--2).設隨機變量X?B(n,p)，試用切比雪夫不等式證明：尸{IX-npf}<4..設連續(xù)型隨機變量X的r階絕對長E(IXIr)存在(r>0)，證明：對任意￡>0，有P{IXI>8}<E(IX|r).￡r二、有關(guān)大數(shù)定律的命題1.設隨機變量X,X,相互獨立同服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則當nf8時，12y」XX2依概率收斂于 .(0.5)nnii=12.設隨機變量X,X,,X,相互獨立同分布，且E