空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 限時訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【解析版】

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、單項(xiàng)選擇題1．(★)下列命題正確的是()A．三點(diǎn)確定一個平面B．一條直線和一點(diǎn)確定一個平面C．圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個平面D．梯形可以確定一個平面答案D2．(★)已知直線a，b分別在不同的平面α，β內(nèi)，則“a和b相交”是“α和β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，若直線a和直線b相交，則平面α，β一定有公共點(diǎn)，所以平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，直線a和直線b可能平行、相交、異面，所以“a和b相交”是“α和β相交”的充分不必要條件．3．(★)(2023·晉陽模擬)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案D解析由題意可知，直線EF與正方體的左、右兩個側(cè)面平行，與正方體的上、下底面相交，前、后側(cè)面相交，所以直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.4．(★)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交或平行均有可能答案D解析在如圖所示的長方體中，m，n1，n2，n3與l都異面，但是m∥n1，m與n2異面，m與n3相交，所以D正確．5．(★★)(2024·大連模擬)如圖，P是正方體ABCD－A1B1C1D1面對角線A1C1上的動點(diǎn)，下列直線中，始終與直線BP異面的是()A．直線DD1 B．直線B1CC．直線AD1 D．直線AC答案D解析對于A，連接BD，B1D1，設(shè)A1C1∩B1D1＝Q，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)Q時，BP與DD1共面；對于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時，直線BP與直線B1C相交；對于C，因?yàn)锳B∥C1D1且AB＝C1D1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以AD1∥BC1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時，BP與AD1共面；對于D，連接AC，因?yàn)镻?平面ABCD，B∈平面ABCD，AC?平面ABCD，B?AC，所以直線BP與直線AC是異面直線．6．(★★)(2023·長沙質(zhì)檢)我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將兩底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分別是棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為()A.eq\f(2\r(21),3) B.eq\f(4\r(21),3)C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析如圖所示，延長AN與CC1的延長線交于點(diǎn)P，則P∈平面BB1C1C，連接PM與B1C1交于點(diǎn)E，連接NE，A1M，則四邊形AMEN即是平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形，由已知可得AM＝AN＝eq\r(5)，B1C1＝2eq\r(2).因?yàn)镹是A1C1的中點(diǎn)，所以eq\f(PC1,PC)＝eq\f(C1N,CA)＝eq\f(1,2)，即PC1＝CC1，則PC1＝BB1，又M為BB1的中點(diǎn)，所以B1M＝eq\f(1,2)PC1.由△PC1E∽△MB1E，得eq\f(B1E,C1E)＝eq\f(1,2)，可得B1E＝eq\f(1,3)B1C1＝eq\f(2\r(2),3)，C1E＝eq\f(4\r(2),3)，ME＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＋12)＝eq\f(\r(17),3)，NE＝eq\r(C1E2＋C1N2－2C1E·C1Ncos45°)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),3)))2＋12－2×\f(4\r(2),3)×1×cos45°)＝eq\f(\r(17),3)，MN＝eq\r(A1N2＋A1M2)＝eq\r(6).所以四邊形AMEN的面積S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＋eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(2\r(21),3).二、多項(xiàng)選擇題7．(★)(2023·長治模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的是()A．直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)B．設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1C．由A，C1，B1確定的平面是ADC1B1D．由A，C1，B1確定的平面與由A，C1，D確定的平面是同一個平面答案BCD解析如圖1所示，點(diǎn)A?平面CC1B1B，所以直線AC1?平面CC1B1B，故A錯誤；如圖2所示，因?yàn)镺O1?平面AA1C1C，OO1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1，故B正確；如圖3所示，因?yàn)锳D∥B1C1且AD＝B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以A，B1，C1，D四點(diǎn)共面，故C，D正確．8．(★★)(2023·臨沂模擬)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論成立的是()A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面答案ABC解析如圖所示，連接A1B，由幾何關(guān)系可得點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)，且F為BC1中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥A1C1，即EF與A1C1不是異面直線，故D錯誤；易得EF與CD異面，故C正確；由幾何關(guān)系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，則EF⊥BB1，EF⊥BD，故A，B正確．9．(★★)(2024·衡水模擬)如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1棱AA1，AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，則()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線答案BD解析如圖，取棱CC1的中點(diǎn)N，A1D1的中點(diǎn)M，連接EM，MH，HN，NG，F(xiàn)G，AC，A1C1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵M(jìn)H∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，同理可得E，M，G，N四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，H，N四點(diǎn)共面，∴E，M，H，N，G，F(xiàn)六點(diǎn)共面，均在平面EFGNHM內(nèi)，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF?平面EFGNHM，∴EF與GH是相交直線，故D正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴eq\r(3)EF＝GH，即GH≠2EF，故B正確．10．(★★★)(2023·聊城模擬)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F(xiàn)分別為棱AB，A1D1的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有()A．D1B⊥CEB．三棱錐D－CEF的體積為eq\f(8,3)C．若P是棱C1D1上一點(diǎn)，且D1P＝1，則E，C，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面D．平面CEF截該長方體所得的截面為五邊形答案BCD解析連接DE，D1E，D1B，如圖所示，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EB＝BC＝2，所以CE＝eq\r(EB2＋BC2)＝2eq\r(2)，同理DE＝CE＝2eq\r(2)，又DC＝4，所以DE2＋EC2＝DC2，即DE⊥EC，又因?yàn)镈D1⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，所以DD1⊥CE，又DE∩DD1＝D，所以CE⊥平面DD1E，即CE⊥D1E，又D1E∩D1B＝D1，若D1B⊥CE，則CE⊥平面D1EB，即CE⊥EB，又CE與EB不垂直，所以CE不垂直于D1B，故A錯誤；由等體積法可得VD－CEF＝VF－CED＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2＝eq\f(8,3)，故B正確；如圖所示，使D1P＝1，取C1D1的中點(diǎn)G，則P為D1G的中點(diǎn)，連接FP，CP，A1G，取A1B1的中點(diǎn)H，連接HC1，HE，易得A1G∥HC1，EC∥HC1，所以A1G∥EC，所以FP∥EC，所以E，C，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面，故C正確；由選項(xiàng)C可得E，C，P，F(xiàn)四點(diǎn)共面，平面CEF即為平面CEFP，在C項(xiàng)解析圖中作EM∥CP，交AA1于點(diǎn)M，所以E，M，P，C在同一平面內(nèi)，即M點(diǎn)在平面ECP內(nèi)，所以E，C，P，F(xiàn)，M在同一平面內(nèi)，所以平面CEF截該長方體所得的截面為五邊形FMECP，故D正確．三、填空題11．(★)(2024·大同模擬)若直線l在平面α外，則l與平面α的公共點(diǎn)個數(shù)為______________．答案0或1解析直線l在平面α外，則直線l與平面α相交或者平行，當(dāng)直線l與平面α相交時，公共點(diǎn)的個數(shù)是1，當(dāng)直線l與平面α平行時，公共點(diǎn)的個數(shù)是0.12．(★★)(2023·山西大學(xué)附屬中學(xué)質(zhì)檢)在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC和C1D1的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面把正方體ABCD－A1B1C1D1截成兩部分，則截面與平面BCC1B1的交線段長為________．答案eq\f(10,3)解析如圖，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)M，連接FM交CC1于點(diǎn)G，連接EG并延長交B1C1的延長線于點(diǎn)N，連接NF并延長交A1D1于點(diǎn)H，連接AH，則五邊形AEGFH為經(jīng)過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的正方體的截面，截面與平面BCC1B1的交線段即為EG，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以CE＝eq\f(1,2)BC＝2，因?yàn)镃E∥AD，所以△MCE∽△MDA，所以eq\f(CM,DM)＝eq\f(CE,DA