新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點題型第9講空間角（學(xué)生版）

第9講空間角真題展示2022新高考一卷第9題已知正方體SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0試題亮點正方體是最常見的幾何形體之一，它雖然結(jié)構(gòu)簡單，但卻擁有豐富的幾何性質(zhì).試題簡潔明了，考查目的明確，考查內(nèi)容源于教材，屬于學(xué)生知識儲備中的基礎(chǔ)性知識?？忌恍杈哂谢镜目臻g想象能力和構(gòu)圖能力，通過簡單的運(yùn)算求解即可得到正確答案．試題對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用和指導(dǎo)意義.試題面向全體考生，同時也為不同能力層次的考生提供了多樣性展示平臺，增強(qiáng)考生自信心，促進(jìn)考生正常發(fā)揮水平.知識要點整理一、線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.二、線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.三、面面平行的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.四、線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.五、線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.六、面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.七、兩個平面的夾角平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．八、空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))三年真題一、單選題1．如圖，SKIPIF1<0是直三棱柱，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，M，N分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為（

）A．60° B．90° C．45° D．120°4．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答題6．如圖，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AM與直線PC所成的角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大??；(3)求多面體SKIPIF1<0的體積．7．如圖，SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大??；(3)求三棱錐SKIPIF1<0的體積．8．如圖，在長方體SKIPIF1<0中，E、P分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大?。?．如圖，已知長方體SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于E，F(xiàn)為SKIPIF1<0的中點．(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角（銳角）的大??；(3)求點A到平面SKIPIF1<0的距離．三年模擬一、單選題1．如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0均為所在棱的中點，則下列結(jié)論正確的有（

）①棱SKIPIF1<0上一定存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0②三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0③過點SKIPIF1<0作正方體的截面，則截面面積為SKIPIF1<0④設(shè)點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值為SKIPIF1<0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．在各棱長均相等的直三棱柱SKIPIF1<0中，點M在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，點N在AC上且SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與NB所成角的正切值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點M，N分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則下述結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；

②平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0；

④直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的底面為正三角形，M，N分別為AC，SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與MN所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°5．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點G是P在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿對角線SKIPIF1<0將矩形折成一個大小為SKIPIF1<0的二面角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）①四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0②點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0③四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0④異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則下列選項正確的是（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交B．當(dāng)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的中點時，則點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影是點SKIPIF1<0C．存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值二、多選題8．已知在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面是一個等腰直角三角形，且SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點.則（

）A．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角余弦值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<09．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直B．點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<010．如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，以下說法正確的是（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．過點SKIPIF1<0作正方體的截面，所得截面的面積是SKIPIF1<0D．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<011．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角是SKIPIF1<0C．當(dāng)點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點時，三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是SKIPIF1<0D．當(dāng)點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0．三、填空題12．手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P，Q，M，N分別是棱AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．13．已知三棱柱SKIPI