新高考數學二輪復習對點題型第8講求與幾何體的切接（學生版）

第8講球與幾何體的切接問題真題展示2022新高考一卷第8題已知正四棱錐的側棱長為SKIPIF1<0，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知識要點整理球與各種幾何體切、接問題近幾年全國高考命題來看,這部分內容以選擇題、填空題為主，大題很少見。首先明確定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球.一、球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.球與正方體（1）正方體的內切球，如圖1.

位置關系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；

數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.

（2）正方體的棱切球，如圖2.

位置關系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；

數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.（3）正方體的外接球，如圖3.

位置關系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；

數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.例1棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（） B． C． D．球與長方體例2自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．例3（全國卷I高考題）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（）.A.B.C.D.球與正棱柱（1）結論1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．（2）結論2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．二、球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1、正四面體與球的切接問題

（1）

正四面體的內切球，如圖4.位置關系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；

數據關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；

例4正四面體的棱長為a，則其內切球的半徑為______．例5求棱長為1的正四面體外接球的半徑。結論：正四面體的高線與底面的交點是△ABC的中心且其高線通過球心，這是構造直角三角形解題的依據．此題關鍵是確定外接球的球心的位置，突破這一點此問題便迎刃而解，正四面體外接球的半徑是正四面體高的eq\f(3,4)，內切球的半徑是正四面體高的eq\f(1,4).（3）

正四面體的棱切球，位置關系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；

數據關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有

例6例7設正四面體中，第一個球是它的內切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比．（4）為什么正四面體外接球和內切球心是同一個點？2.其它棱錐與球的切接問題（1）球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.（2）球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.結論1：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．結論2：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構造正方體．途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可將棱錐補成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可將三棱錐補成長方體或正方體．例8正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．例9（福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側棱兩兩垂直，使我們很快聯想到長方體的一個角，馬上構造長方體，由側棱長均相等，所以可構造正方體模型.點評：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．例10【2012年新課標高考卷】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，是球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）A.B.C.D.思路分析：的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點到面的距離.由練習：3、由性質確定球心利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，確定球心．4、內切球問題若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球。1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內切球半徑的通用做法。三、球與球相切問題對于球與球的相切組合成復雜的幾何體問題，要根據豐富的空間想象力，通過準確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解.例11思路分析：結合圖形，的方程.例12把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．思路分析：關鍵在于能根據要求構造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體四、球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例13把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（） A．l0cm B．10cm C．10cm D．30cm球與旋轉體切接問題首先畫出球及其它旋轉體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關系．例14求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．例15在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最?。C合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題．解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．發(fā)揮好空間想象力，借助于數形結合進行轉化，問題即可得解．如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結論直接求解,此時結論的記憶必須準確.高考題往往與三視圖相結合，題目的難易不一，在復習中切忌好高騖遠，應重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實題目的類型，升華解題的境界.三年真題1．已知正四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，其四個面的中心分別為SKIPIF1<0，設四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=SKIPIF1<0E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．13．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（）.A．直線AA1 B．直線A1B1C．直線A1D1 D．直線B1C15．兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%8．某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：SKIPIF1<0）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨9．在正方體SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三年模擬1．已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為6，設集合SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直線l與平面SKIPIF1<0相交，則下列命題中，正確的個數為（

）①平面SKIPIF1<0內的所有直線均與直線l異面；②平面SKIPIF1<0內存在與直線l垂直的直線；③平面SKIPIF1<0內不存在直線與直線l平行；④平面SKIPIF1<0內所有直線均與直線l相交.A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，且SKIPIF1<0均為正三角形，SKIPIF1<0，則該木楔子的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，若截面SKIPIF1<0分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知邊長為SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，沿對角線SKIPIF1<0把SKIPIF1<0折起，使二面角SKIPIF1<0為直二面角，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在正方體各棱及表面上運動且滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0軌跡所圍成圖形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是邊長為2的等邊三角形，則底面SKIPIF1<0的面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該四棱錐內切球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知A，B，C均在球O的球面上運動，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內切球的表面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．四面體ABCD的頂點都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD的體積最大為（）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<013．如