新高考數學二輪復習 小題綜合練專題04 排列組合與二項式定理（解析版）

專題04排列組合與二項式定理小題綜合一、單選題1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）盒子里有8個除顏色外完全相同的小球，其中2個黑色，6個白色.現(xiàn)每次不放回地抽取2個小球，直到2個黑球全部取出為止，則共有（

）種不同的取法.A．10 B．4 C．16 D．20【答案】A【分析】利用分類加法計數原理即可求出結果.【詳解】1次取完：2黑，共1種取法；2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2種取法；3次取完：①前2次中取出一個黑球，第3次取出一個黑球；②前2次都是白球，最后一次2個黑球，共SKIPIF1<0.4次取完：①前3次中取出一個黑球，第4次取出一個黑球；②前3次都是白球，最后一次2個黑球，共SKIPIF1<0；根據分類計數原理知，共10種，故選：A.2．（2023·校考模擬預測）為慶祝中國共產黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名學生代表參加，活動結束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有（

）種．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．【詳解】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有SKIPIF1<0種，故選：SKIPIF1<0．3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．84 B．56 C．36 D．28【答案】A【分析】根據給定的展開式特征，列出SKIPIF1<0的表達式，再利用組合數性質計算作答.【詳解】依題意，SKIPIF1<0.故選：A4．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．15 D．16【答案】D【分析】令SKIPIF1<0計算可得.【詳解】因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.故選：D5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每個人從SKIPIF1<0這5種菜中任意選用2種，則SKIPIF1<0菜有2人選用、SKIPIF1<0菜有1人選用的情形共有（

）A．54 B．81 C．135 D．162【答案】C【分析】先選出選擇SKIPIF1<0菜的兩人，再分兩人中有1人選用了B菜和都沒有選擇B菜兩種情況討論求解即可.【詳解】SKIPIF1<0菜有2人選用有SKIPIF1<0種，比如甲、乙選用了SKIPIF1<0菜，①甲、乙之中有1人選用了B菜，有SKIPIF1<0種，比如甲用了B菜，則乙從SKIPIF1<0中任意選用1種，有SKIPIF1<0種，丙從C，D，E中任意選用2種，有SKIPIF1<0種，故共有SKIPIF1<0②丙選用了B菜，丙再從SKIPIF1<0中任意選用1種，有SKIPIF1<0種，甲、乙再從SKIPIF1<0中各任意選用1種，有SKIPIF1<0種，故共有SKIPIF1<0由①②可知所有情形是SKIPIF1<0.故選：C6．（2023·浙江·高三專題練習）甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數是（

）A．120 B．210 C．211 D．216【答案】D【分析】共有三種情況，3人各站一個臺階，或2人站一個臺階，另1人站另一個臺階，或3人站一個臺階，然后根據分類計數原理即可求解．【詳解】由題意分三種情況：第一種情況是3人各站一個臺階，有SKIPIF1<0種；第二種情況是2人站一個臺階，另1人站另一個臺階，有SKIPIF1<0種，第三種情況是3人站一個臺階，有SKIPIF1<0種，所以根據分類計數原理知共有不同的站法種數是SKIPIF1<0種．故選：D．7．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）學校舉行德育知識競賽，甲?乙?丙?丁?戊5位同學晉級到了決賽環(huán)節(jié)，通過筆試決出了第1名到第5名.甲?乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對他們說：“決賽5人的成績各不相同，但你們倆的名次是相鄰的”，丙?丁兩名參賽者也去詢問成績，回答者對丙說：“很遺憾，你和丁都未拿到冠軍”，又對丁說：“你當然不會是最差的”.從這個回答分析，5人的名次排列共有（

）種不同的可能情況.A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】分冠軍為甲乙兩人中的一人；冠軍為戊，丁為第二名；冠軍為戊，丁為第三名；冠軍為戊，丁為第四名，四種情況，結合相鄰問題及特殊元素法分別求解即可.【詳解】解：由題意可知，冠軍不會是丙、丁且丁不是第5名，當冠軍為甲乙兩人中的一人時，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第二名一定兩人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊兩個人就只能是第四(三)和第五名了，此時共有SKIPIF1<0種情況；當冠軍為戊，丁為第二名時，將甲乙捆綁在一起，內部排列共SKIPIF1<0種，此時甲，乙，丙三個人的只能是第三、四、五名了，共有SKIPIF1<0種，所以此時共有SKIPIF1<0種情況；當冠軍為戊，丁為第三名時，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲乙，所以此時共有SKIPIF1<0種情況；當冠軍為戊，丁為第四名時，由于甲乙兩人名次相鄰，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲乙，所以此時共有SKIPIF1<0種情況；所以共有SKIPIF1<0種.故選：B.8．（2023·浙江·二模）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的展開式中含SKIPIF1<0項系數為SKIPIF1<0，則含SKIPIF1<0項系數的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二項式定理通項公式分別寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項和含SKIPIF1<0的項，再由含SKIPIF1<0項系數為SKIPIF1<0列式得SKIPIF1<0的關系式，表示出含SKIPIF1<0項系數并將其轉化為關于SKIPIF1<0的一元二次方程式，根據二次函數的性質求解最小值即可.【詳解】二項式SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，二項式SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，由題意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0項系數為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0項系數的最小值為SKIPIF1<0.故選：D9．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）二項式SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二項式定理可得SKIPIF1<0展開式通項，分別令SKIPIF1<0即可確定SKIPIF1<0的系數.【詳解】SKIPIF1<0展開式通項為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0.故選：D.10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先構造二項式SKIPIF1<0，再根據兩邊求導，再變形后求導，賦值后即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，兩邊求導得，SKIPIF1<0，兩邊乘以SKIPIF1<0后得，SKIPIF1<0，兩邊求導得，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故選：A二、填空題11．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知SKIPIF1<0的展開式中各項系數的和為4，則實數SKIPIF1<0的值為___________.【答案】1【分析】令SKIPIF1<0即可求解.【詳解】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為:1.12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0的展開式中，常數項為______．【答案】41【分析】將問題轉化成SKIPIF1<0的常數項及含SKIPIF1<0的項，利用二項展開式的通項公式求出第SKIPIF1<0項，令SKIPIF1<0的指數為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求出常數項及含SKIPIF1<0的項，進而相加可得答案．【詳解】先求SKIPIF1<0的展開式中常數項以及含SKIPIF1<0的項；SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0的展開式中常數項為SKIPIF1<0，含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展開式中常數項為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<013．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）多項式SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0項的系數為______（用數字作答）．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據組合數的方法求解即可.【詳解】依題意，SKIPIF1<0中，含SKIPIF1<0項的為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數為___________（用數字作答）.【答案】14【分析】根據二項式定理求出含SKIPIF1<0的項，即可得其系數.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數為14.故答案為：1415．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為__________.【答案】9【分析】利用二項展開式的通項，分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數，即可得出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，可得展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，可得展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0．故答案為：9．16．（2023·浙江·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數是______.【答案】20【分析】直接用二項式定理討論即可.【詳解】二項式SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0中取x時，這一項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0中取y時，這一項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<017．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）SKIPIF1<0展開式的常數項為___________.（用最簡分數表示）【答案】SKIPIF1<0【分析】根據給定條件，求出二項式展開式的通項公式，再求出常數項作答.【詳解】SKIPIF1<0展開式通項公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展開式的常數項是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<018．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┮粋€圓的圓周上均勻分布6個點，在這些點與圓心共7個點中，任取3個點，這3個點能構成不同的等邊三角形個數為__________.【答案】8【分析】利用圓的對稱性，分兩種情況：相鄰兩個點和圓心、相間隔的三點，即可求出結果.【詳解】如圖1，由圓上相鄰兩個點和圓心可構成等邊三角形，共有6個；如圖2，由圓上相間隔的三點可構成等邊三角形，共有2個；所以，7個點中，任取3個點，這3個點能構成不同的等邊三角形個數為SKIPIF1<0個.

故答案為：8.19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數是___________.（用數字作答）.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出SKIPIF1<0展開式的通項，再分別令SKIPIF1<0的指數等于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即可得解.【詳解】SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.20．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）在SKIPIF1<0的展開式中，x的系數為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】分別列出SKIPIF1<0的展開式的通項，由此確定結論.【詳解】二項式SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二項式SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中，含x的項為SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0的展開式中，x的系數為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.21．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知SKIPIF1<0的展開式中常數項為120，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據二項展開式的通項即可得到關于SKIPIF1<0的方程，解出即可.【詳解】SKIPIF1<0的展開式通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中的常數項為SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.22．（2023·浙江金華·模擬預測）SKIPIF1<0除以100的余數是__________．【答案】1【分析】將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，利用二項定理將其展開，即可求得答案.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0是100的倍數，故SKIPIF1<0除以100的余數等于SKIPIF1<0，故答案為：123．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意可知SKIPIF1<0，進而利用展開式的通項公式化簡整理，即可得出結果.【詳解】由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式的通項SKIPIF1<0中SKIPIF1<0時，展開式的通項公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于要求展開式中SKIPIF1<0的系數，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，展開式的項為SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0的系數為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.24．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的展開式中，含SKI