新高考數(shù)學二輪復習 題型歸納演練專題4-2 正余弦定理中的高頻小題歸類原卷版

專題4-2正余弦定理中的高頻小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u專題4-2正余弦定理中的高頻小題歸類 1 1題型一：利用正弦定理邊角互化 1題型二：利用余弦定理邊角互化 5題型三：利用正余弦定理解三角形 10題型四：判斷三角形解的個數(shù) 16題型五：利用正余弦定理判斷三角形形狀 22題型六：三角形周長，面積問題 26題型七：正余弦定理實際應用 32 38一、單選題 38二、多選題 44三、填空題 46題型一：利用正弦定理邊角互化【典例分析】例題1．（2022·福建·浦城縣第三中學高三期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為銳角，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·甘肅定西·高二開學考試）在銳角SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是______.【答案】SKIPIF1<0【提分秘籍】利用正弦定理邊角互化主要思路：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0;化成角后，再進行相應的運算?！咀兪窖菥殹?．（2022·河南·高三階段練習（理））在SKIPIF1<0中，D為SKIPIF1<0邊上一點，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．2．（2022·上海市金山中學高一期末）記SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0的面積為S，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．3．（2022·江西宜春·高二階段練習（理））在SKIPIF1<0ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點M滿足SKIPIF1<0，且∠MAB=∠MBA，則SKIPIF1<0AMC的面積為_____________.題型二：利用余弦定理邊角互化【典例分析】例題1．（2022·江蘇·無錫市第一中學高三階段練習）設SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0內角SKIPIF1<0的對邊，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0________.例題2．（2022·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學高一階段練習）SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大值______．例題3．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________.【提分秘籍】在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，所對的邊分別是SKIPIF1<0,則：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦定理的推論SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·廣東江門·高三階段練習）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·山西·晉城市第一中學校高三階段練習）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．以上都不對3．（2022·福建·高二期中）若△SKIPIF1<0的邊長SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且邊a，c的等差中項為1，則SKIPIF1<0的取值范圍是________．4．（2022·四川成都·高三階段練習（理））在SKIPIF1<0中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若SKIPIF1<0；則當角A最大時，SKIPIF1<0的面積為______.題型三：利用正余弦定理解三角形【典例分析】例題1．（2022·山西·高三階段練習）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2022·湖北·高二期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．10例題3．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學高二階段練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【提分秘籍】解三角形問題，綜合應用正弦定理，余弦定理，有時候需要將邊化為角，利用三角函數(shù)來解三角形問題；求最值問題時也涉及到基本不等式.【變式演練】1．（2022·上海市金山中學高一期末）記SKIPIF1<0內角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的取值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·上海·復旦附中高一期末）已知SKIPIF1<0中，角A、B、C的對邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．3 B．4 C．7 D．83．（2022·四川省南充高級中學高二期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是角SKIPIF1<0的對邊，SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．14．（2022·福建·浦城縣第三中學高三期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為銳角，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高三開學考試）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，若角A的內角平分線SKIPIF1<0的長為3，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．21 B．24 C．27 D．36題型四：判斷三角形解的個數(shù)【典例分析】例題1．（2022·黑龍江·賓縣第二中學高三階段練習）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例題2．（2022·上?！じ裰轮袑W高二階段練習）在下列關于SKIPIF1<0的四個條件中選擇一個，能夠使角SKIPIF1<0被唯一確定的是：（

）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④例題3．（2022·江蘇徐州·高一期中）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請您給出一個SKIPIF1<0值，使得SKIPIF1<0有兩解，則您給的SKIPIF1<0值為______．例題4．（2022·重慶市育才中學高一階段練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的對邊分別為SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0的三角形有兩解，則SKIPIF1<0的取值范圍為__________.【提分秘籍】為銳角為鈍角或者直角圖形關系式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解的個數(shù)一解兩解一解一解上表中若SKIPIF1<0為銳角,當SKIPIF1<0時無解;若SKIPIF1<0為鈍角或直角,當SKIPIF1<0時無解.【變式演練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）在SKIPIF1<0中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·青海玉樹·高一期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則此三角形解的情況為（

）A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．有無數(shù)解3．（2022·全國·高一課時練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是__________．4．（2022·河南·南陽中學模擬預測（文））在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有唯一解，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.題型五：利用正余弦定理判斷三角形形狀【典例分析】例題1．（2022·全國·高一課時練習）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形例題2．（2022·全國·高一課時練習）已知SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0三個內角SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形例題3．（2022·四川成都·高一期末）已知SKIPIF1<0內角SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【提分秘籍】①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角三角形；②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·河北張家口·高三期中）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．（2022·河北·石家莊市第十五中學高二階段練習）已知SKIPIF1<0的三個內角SKIPIF1<0所對應的邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形 D．頂角為SKIPIF1<0的等腰三角形3．（2022·福建省福州高級中學高一期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，已知三個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022·陜西·白水縣白水中學高二階段練習）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型六：三角形周長，面積問題【典例分析】例題1．（2022·河北張家口·高三期中）鈍角SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例題2．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0周長的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·江蘇·揚州中學高二開學考試）已知SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0對應的邊分別是SKIPIF1<0，內角SKIPIF1<0的角平分線交邊SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最小值是（

）A．16 B．SKIPIF1<0 C．64 D．SKIPIF1<0【提分秘籍】1、三角形面積的計算公式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0（其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各邊長，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的內切圓半徑）；④SKIPIF1<0(其中，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的各邊長，SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑).2、三角形面積最值：核心技巧：利用基本不等式SKIPIF1<0，再代入面積公式.3、三角形面積取值范圍：核心技巧：利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入面積公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.4、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.【變式演練】1．（2022·全國·高二開學考試）在SKIPIF1<0中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．24 B．25 C．27 D．282．（2022·江西贛州·高三期中（文））在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，△ABC的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．6 B．8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·浙江·高三開學考試）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的一點，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的兩倍，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型七：正余弦定理實際應用【典例分析】例題1．（2022·四川達州·高二期末（理））某班同學利用課外實踐課，測量北京延慶會展中心冬奧會火炬臺“大雪花”的垂直高度SKIPIF1<0.在過SKIPIF1<0點的水平面上確定兩觀測點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處測得SKIPIF1<0的仰角為30°，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的北偏東60°方向上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正東方向30米處，在SKIPIF1<0處測得SKIPIF1<0在北偏西60°方向上，則SKIPIF1<0（

）A．10米 B．12米 C．16米 D．18米例題2．（2022·全國·高三專題練習（文））我國無人機技術處于世界領先水平，并廣泛民用于搶險救災?視頻拍攝?環(huán)保監(jiān)測等領域．如圖，有一個從地面SKIPIF1<0處垂直上升的無人機SKIPIF1<0，對地面SKIPIF1<0兩受災點的視角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．已知地面上三處受災點SKIPIF1<0共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則無人機SKIPIF1<0到地面受災點SKIPIF1<0處的遙測距離PD的長度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·浙江·慈溪中學高三期中）雷峰塔又名黃妃塔?西關磚塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風景區(qū)南岸夕照山（海拔46米）之上.是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發(fā)舍利?祈求國泰民安而建.始建于北宋太平興國二年（977年），歷代屢加重修.現(xiàn)存建筑以原雷峰塔為原型設計，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔.李華同學為測量塔高，在西湖邊相距SKIPIF1<0的SKIPIF1<0?SKIPIF1<0兩處（海拔均約16米）各放置一架垂直于地面高為SKIPIF1<0米的測角儀SKIPIF1<0?SKIPIF1<0（如圖所示）.在測角儀SKIPIF1<0處測得兩個數(shù)據(jù)：塔頂SKIPIF1<0仰角SKIPIF1<0及塔頂SKIPIF1<0與觀測儀SKIPIF1<0點的視角SKIPIF1<0在測角儀SKIPIF1<0處測得塔頂SKIPIF1<0與觀測儀SKIPIF1<0點的視角SKIPIF1<0，李華根據(jù)以上數(shù)據(jù)能估計雷鋒塔SKIPIF1<0的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．70.5 B．71 C．71.5 D．722．（2022·陜西·藍田縣城關中學高二期中（理））甲、乙兩名學生決定利用解三角形的相關知識估算一下友誼大廈的高度，甲同學在點A處測得友誼大廈頂端C的仰角是63.435°，隨后，他沿著某一方向直行SKIPIF1<0m后到達點B，測得友誼大廈頂端C的仰角為45°，乙同學站在友誼大廈底端的點D，測量發(fā)現(xiàn)甲同學在移動的過程中，∠ADB恰好為60°，若甲、乙兩名同學始終在同一水平面上，則友誼大廈的高度大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．270m B．280m C．290m D．300m3．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級中學有限公司高三階段練習）如圖甲，圣SKIPIF1<0索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美.為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物SKIPIF1<0，高約為40SKIPIF1<0，如圖乙，在它們之間的地面上的點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0三點共線）處測得樓頂SKIPIF1<0?教堂頂SKIPIF1<0的仰角分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在樓頂SKIPIF1<0處測得塔頂SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，則估算索菲亞教堂的高度SKIPIF1<0約為（

）A．50 B．55 C．60 D．704．（2022·湖北·襄陽五中高三開學考試）如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點SKIPIF1<0距地面的距離，小明同學在場館內的A點測得SKIPIF1<0的仰角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），（點SKIPIF1<0在同一水平地面上），則大跳臺最高高度SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0一、單選題1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學一模（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0外接圓的周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．20 B．SKIPIF1<0 C．27 D．SKIPIF1<02．（2022·吉林·吉化第一高級中學校高三階段練習）材料一：已知三角形三邊長分別為SKIPIF1<0，則三角形的面積為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.這個公式被稱為海倫一秦九韶公式.材料二：阿波羅尼奧斯（Apollonius）在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義：我們把平面內與兩個定點SKIPIF1<0的距離的和等于常數(shù)（大于SKIPIF1<0）的點的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答：已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重慶·高三階段練習）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．4 C．2 D．15．（2022·寧夏·銀川三沙源上游學校高二期中（理））云臺閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，全全落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12SKIPIF1<0，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（

）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，精確到1SKIPIF1<0）A．42SKIPIF1<0 B．45SKIPIF1<0 C．51SKIPIF1<0 D．57SKIPIF1<06．（2022·江蘇·南京市第一中學高二階段練習）在鈍角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0對應的邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·天津南開·高一期末）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（