江蘇省南京市臨江高級中學2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源2/22022-2023學年臨江高級中學高二期中數(shù)學試卷一．單選題（共8小題）1.10個相同的小球分成3堆，每堆至少一個，則有種分法A B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】10個相同的小球分成3堆，只需關(guān)注三堆中小球的個數(shù)，列舉求解即可.【詳解】根據(jù)題意，10個相同的小球分成3堆，每堆至少1個，就是將10個球分成3組，可以分成，，，，，，，，共8種分法.故選：D2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)且又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】逐一分析對應(yīng)選項的奇偶性和區(qū)間上單調(diào)性即可.【詳解】由題知A選項中為非奇非偶函數(shù)，故A選項不正確，B選項中為非奇非偶函數(shù)，故B選項不正確，C選項中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，當時有或，故在上不單調(diào)遞增，故C選項不正確，D選項中是奇函數(shù)，求導(dǎo)得，又，，故恒成立，滿足在上單調(diào)遞增，故D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，屬于基礎(chǔ)題.3.在2016年“兩會”記者招待會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中選出3名進行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能連續(xù)提問，則不同的提問方式有（）A.420種 B.260種 C.180種 D.80種【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用分類加法計數(shù)，結(jié)合排列、組合數(shù)求不同分類下的提問方式，最后加總即可.【詳解】若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，故所有的不同的提問方式的種數(shù)是.故選：B4.已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（）A.36 B.37 C.38 D.39【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項公式，再利用累加法求.【詳解】因為，所以，又等差數(shù)列，故首項為3，公差為2，所以，所以．故選：A.5.如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.二面角的正切值為C.直線與平面所成的角為D.四面體的外接球體積為【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項，D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.【詳解】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，A選項，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成的角為，A正確；B選項，設(shè)平面的法向量為，則有，令得：，則，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，顯然為銳角，則，所以，，故二面角的正切值為，B正確；C選項，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則，C錯誤；D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，則外接球體積為，D正確.故選：C6.的展開式中的系數(shù)為（）A.15 B. C.5 D.【答案】C【解析】【詳解】二項式展開式的通項為，故展開式中的系數(shù)為．故選：C．7.已知在區(qū)間上不單調(diào)，實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將題意轉(zhuǎn)換為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點求解即可【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有零點，故，令有，故，所以故選：D.8.已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C．二．多選題（共4小題）9.設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項積為，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】通過迭代可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，逐一判斷四個選項即可【詳解】由題意知，，，，，由此可知數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.即故.故選：ABC.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】令，則，原等式可化為，結(jié)合二項展開式的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】令，則，原等式可化為，令，則，故A項正確；的展開式的通項為，則，故B項錯誤；令，則①，令，則②，由①+②得，又，所以，故C項錯誤，D項正確．故選：AD.11.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若時，圖像如圖所示，則可以使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像及奇偶性分析函數(shù)的取值規(guī)律及其導(dǎo)函數(shù)的取值規(guī)律，由此求出使成立的的取值范圍.【詳解】由時，圖像可得當時，，當時，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，又是定義域為的偶函數(shù)，所以所以當時，，當時，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，所以當時，，，此時，當時，，，此時，當時，，，此時，當時，，，此時，當時，，，此時，當時，，，此時，當時，，當時，當時，，故選：ABD.12.已知空間三點，，，四邊形ABCD為平行四邊形，則下列結(jié)論正確的有（）A.點C的坐標為 B.C.點D到直線AB的距離為 D.平行四邊形ABCD的面積為【答案】BD【解析】【分析】A選項通過直接計算；B選項直接求出，余弦定理計算即可；C選項利用空間點到直線的距離公式計算；D選項按照面積公式計算.【詳解】A選項：設(shè)點C的坐標為，，解得，錯誤；B選項：，，，正確；C選項：，，方向上的單位向量，則點D到直線AB的距離為，錯誤；D選項：，點D到直線AB的距離為1，平行四邊形ABCD的面積為，正確.故選：BD.三．填空題（共4小題）13.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣…按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第1個數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】觀察三角形數(shù)陣，第行結(jié)束的時候一共出現(xiàn)的數(shù)的個數(shù)，即為第行從左向右的第1個數(shù)，遞推出所得答案即可．【詳解】第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，目前一共3個數(shù)，且第二行第一個數(shù)為3，第三行3個數(shù)，目前一個6個數(shù)，且第三行第一個數(shù)為6，第四行4個數(shù)，目前一個10個數(shù)，且第四行第一個數(shù)為10，依此類推第行結(jié)束的時候一共出現(xiàn)的數(shù)的個數(shù)，即為第行從左向右的第1個數(shù)，第行從左向右的第1個數(shù)為.故答案為：.14.如圖所示，在正方體中，棱長為2，、、、、、、、、、、、分別為各棱的中點，則的不同值有______個．【答案】3【解析】【分析】建立空間直角坐標系，然后得到各點坐標，算出和，利用數(shù)量積即可得到答案【詳解】解：以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，，，，所以則有3個不同的值，故答案為：315.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同排法共有______種【答案】36【解析】【分析】將丁、戊兩人排好，應(yīng)用組合排列分別求甲乙看作整體與丙插入隊列、甲乙丙看作整體插入隊列計數(shù)，最后加總.【詳解】將丁、戊兩人排好有種，隊列中有3空，甲乙看作一個整體有種，再將其與丙插入3個空中的2個則種，故種；甲乙丙看作一個整體有2種，再插入3個空中的1個則種，故種；所以共有種.故答案為：3616.若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，判斷其取最大值的位置，由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，故最大值對應(yīng)的橫坐標應(yīng)在區(qū)間內(nèi)，由此可以得到參數(shù)的不等式，解不等式即可得到的取值范圍【詳解】，令解得；令，解得或由此可得在上時增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故函數(shù)在處有極大值，在處有極小值，，解得故答案為：四．解答題（共6小題）17.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＋an＝4n.（1）求數(shù)列{an}的前100項和S100；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.【答案】（1）10000（2）an＝2n－1【解析】【分析】（1）利用并項求和法求得.（2）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求得【小問1詳解】∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000.【小問2詳解】an＋1＋an＝4n，①an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，綜上所述，.18.已知5名同學站成一排，要求甲站在正中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為m．（1）求m的值;（2）求二項式的展開式中的常數(shù)項．【答案】（1）12（2）84【解析】【分析】（1）首先排甲，再將乙安排再甲的左右兩位置中的一個，最后將其余3人全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；（2）由（1）可得，寫出展開式的通項，再令，即可求出，最后代入計算可得；【小問1詳解】解：首先將甲排在中間位置，再排乙，乙排在甲左右兩個位置中的一個位置，再排其余3人，則所有不同的排法種數(shù)．【小問2詳解】解：由（1）知，，∴的展開式的通項公式為，令，解得，展開式中的常數(shù)項為．19.已知數(shù)列{an}滿足＋＋＋…＋＝n2＋n.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【答案】（1）an＝n·2n＋1；（2）Sn=－.【解析】【分析】（1）用原式減去當n≥2時的式子，即可求出an，再驗證n＝1時是否符合即可；（2）求出bn，再利用錯位相減法可求和.【詳解】（1）∵＋＋＋…＋＝n2＋n，∴當n≥2時，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，兩式相減得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2).又∵當n＝1時，＝1＋1，∴a1＝4，滿足an＝n·2n＋1.∴an＝n·2n＋1.（2）∵bn＝＝n(－2)n，∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1，∴兩式相減得3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－，∴Sn＝－.20.如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，對角線，將△沿著對角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點M，且平面ABCD，．（1）求證：平面平面ABD；（2）求點M到平面ABE的距離；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質(zhì)有，再根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標系，確定相關(guān)點的坐標，進而求的坐標及面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量的坐標運算求點面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結(jié)合（2）中面ABE的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值，進而求其正弦值.【小問1詳解】過E作EO垂直于BD于O，連接AO，因為，，故，同理，又，所以，即．因為ABCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD．【小問2詳解】以O(shè)為坐標原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，．所以，，．面ABE的法向量為，所以，令，則．又，則點M到面ABE的距離為．【小問3詳解】由（2）得：面ABE的一個法向量為，且，．若面MBA的法向量為，則，令，則．所以，故二面角的正弦值為．21.已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值．【解析】【分析】（1）求出切線的斜率和切點的坐標，即得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即得函數(shù)的極值.【詳解】1

，，所以切線的斜率為，因為，所以切線方程為，即．2，令，x10極小所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)