數(shù)列習(xí)題6（困難）

2015-2016學(xué)年度???學(xué)校3月月考卷

試卷副標(biāo)題

1.已知數(shù)列｛。〃｝為等比數(shù)列，且。劃3+%015二R"一f,則。2014（%012+2。2014+〃2016）

的值為（）

A.冗B.2兀C.兀2D.4-

【答案】C

【解析】

試題分析：本題考查等比數(shù)列，定積分等基礎(chǔ)知識(shí).由定積分的幾何意義可得

二千心:表示圓W+y2=4在第一象限的圖形的面積，即四分之一圓，所以

。2014(。2012+。2014+。2016)=^2014^2012+^2014^2014+。204^2016

="2013+^^2013^2015+^2015

=（〃2013+々2015了二萬(wàn)？?故選C.

考點(diǎn)：等比數(shù)列，定積分的幾何意義.

2.己知｛4｝為對(duì)稱數(shù)列，（Kd<l,250柴島3+2厘曄碼=,晶島為數(shù)列

｛4｝的前n項(xiàng)和，若SJ3。對(duì)一切〃？N則首項(xiàng)4的取值范圍是（）

549不

D.

T

4

【答案】D

【解析】

試題分析：先確定4二2，S”=三〃2+〃

88I高〃'對(duì)稱軸〃=3一嚕）'對(duì)稱軸

/I16%

〃=(1--------L)

冗

,利用S“N\o對(duì)一切〃￡N”都成立，可得9.5工3（1-（）工10.5,即可求得結(jié)

果

22

,/sin%+2sina5cosa5=sinalf2sina5cosa5=2sin出+“'xcos—~~—x2cos+sin—~~—

?Al11冗c冗2冗

sinAa-L/.a--,S——n+a-----n,

8"tt8I1x16j

對(duì)稱軸n=S>S對(duì)一切nsN"都成立

2171M10

'.9.5w耳（1-------jw10.5,「.一a"wqw-W乃.

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合.

3.已知｛可｝為等差數(shù)列，。4+%=2,則。[+。[0=.

【答案】2

【解析】

試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+4。=%+%=2.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).

【方法點(diǎn)睛】本題主要考置等差數(shù)列的性質(zhì)，屬容易題.法一：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式可將%,均用首相q和公差d表示，即可求得％+%0的值.法二根據(jù)等差數(shù)列

的性質(zhì)：若〃2+〃=〃+夕，則冊(cè)+0“+4，即可求得％+。10的值.顯然第二種方

法比第一種簡(jiǎn)單快捷.

4.正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝口，若log?52/1人則。4046n二________________二

【答案】16

【解析】

試題分析：???log2(G/g)=4,/.％須=16,因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，所以

%%;%外=16.

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

5.已知數(shù)列｛〃“｝滿足〃”+1=%-〃”_[(〃N2),4=1,牝=3,記

S〃=%+/+K.則%=，$2015=?

【答案】2,2.

【解析】

試題分析：因?yàn)椋?1嗎=3，所以

%=a2-a]=2,4=a3-a2=-ha5=a4-=-3ya6=a5-a4=-2,%=a6-a5=

,所以數(shù)列｛〃“｝是以6為周期的周期數(shù)列，且％+為+%+4+%+4=0，所以

S刈5=4+生+…+生0]5=q+%+%+4+%=2?

考點(diǎn)：1.數(shù)列遞推公式；2.周期數(shù)列求和.

6.等差數(shù)列｛d｝前n項(xiàng)和為Sn,公差d<0,若SGO,SzKO,,當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的

值為.

【答案】10

【解析】

試題分析：根據(jù)所給的等差數(shù)列的S2o>O,S21<O,,根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，

看出第11項(xiàng)小于0,第10項(xiàng)和第11項(xiàng)的和大于0,得到第10項(xiàng)大于0,這樣前10項(xiàng)

的和最大.

???等差數(shù)列｛〃“｝中，S2O>0,S21<0,即S2O=6(4O+%)>0,$21=134VO,

，4o+4i>O,4]VO,，4o>°，41V。，,.W。，，S”達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)n的

值為10

考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)

7.已知等差數(shù)列｛々”｝口，a+a,+a=—那么cosQi+%)=__________.

184f

【答案】q

2

【解析】

試題分析:因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,于是4+%+%=3%+9"弓，

.57r_/.57r454V3

4+3d-][,ciy+%=2al+Ou=,故cos=—

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

8.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%=/(cos2與其前n項(xiàng)和為S“，則S30為

【答案】470

【解析】

、2〃乃

試題分析依題意可得可=n~cos---所以

3

4=一；xl,a?=--^X22,6Z=32

3—x所以

2

22

S.0=----X2+3--X即

22222

+---+302)+1(32+62+---+302)即

130x31x613.210x11x21…八”.

一一X---------+—X3~X----------=470.故填470.

2626

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)二倍角公式.2.數(shù)列的求和.3.歸納遞推的思想.

9.已知數(shù)列｛七｝的前n項(xiàng)和為S“，且5“二〃2+2〃+2,則%=

5,n=1

【答案】見=，

2〃+1,”>2

【解析】

試題分析：當(dāng)〃22,%=S〃一S,-=n2+2〃+2-[(/?-I)2+2(〃-1)+21=2〃+1；

5〃=]

當(dāng)〃=1時(shí)，a”=S[=5不符合上式，所以。=/

考點(diǎn)：?！芭cS”的關(guān)系.

10.已知數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“(〃￡N"),且滿足a“+S〃=2〃+l.

(1)求證：數(shù)列伍”-2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列伍”｝的通項(xiàng)公式；

/c\4Tli11

(2)求證：-----1—：-----F…H--------------<—.

2%。22七2。327,4+13

【答案】(1)證明見解析，q=2-1；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)由?！?S“=2〃+1,先令〃=1,得出〃i的值，由〃“+S“=2〃+l,

4“T+S“T=2(〃—1)+1兩式相減，整理得q-2=4(4I-2),于是數(shù)列｛4一2｝是

首項(xiàng)為4-2=-4，公比為1的等比數(shù)列，可得q=2-二：(2)由于

122T

-—=—)------'一，所以可用“裂項(xiàng)求和”的方法求得前〃項(xiàng)和為

n,,+ln+2

2anafl+l2-12-1

=-——J—<-,即證原式.

32,,+2-13

3

試題解析：(1)???％+S“=2〃+l,令〃=1,得2《=3,q=—.

兩式相減，得2%-〃,i=2,整理q,=g/T+l

?！?2="「2),(/z>2)

???數(shù)列｛q-2｝是首項(xiàng)為“一2二—g,公比為;的等比數(shù)列

a-2=-(—)z,,a=2——.

〃2〃2〃

11_2w+,_11

2%川=2〃2""]2"=?=(2,,+,-1)(2/,+2-1)=2,,+1-1-2,,+2-1

111

------------1--------+???+----------------

2aM22-%%2”《4+]

1_1、/1_1、/11、

-22-1-23-1+2J-1-24-1+，，'+2W+,-1-2M+2-1

111

=-------—<—.

32M+2-13

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)；2、利用“裂項(xiàng)求和法”求數(shù)列前〃項(xiàng)和：3、不等式的證

明.

11.已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)4=4,前〃項(xiàng)和為Sn,且SM+1-3S”-2〃-4=0（〃eN）.

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（ID設(shè)函數(shù)/（工）=〃/+/_4+?！?2/+…/（x）是函數(shù)/a）的導(dǎo)函數(shù)，

令b“=f'（l）,求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式，并研究其單調(diào)性.

【答案】（I）4”=5?3"T-15EN.）；

（ID々=5X3：T5/5；6）,仍“｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

【解析】

試題分析：（I）根據(jù)S“M-3S0-2〃-4=0（〃￡N.）求得

S〃一35加一2（入1）-4二0,兩式相減求得〃向-3%+2=0,判斷出｛凡+1｝是一個(gè)

等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)首項(xiàng)和公比求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）化簡(jiǎn)bn得

d=r（x）=4+2《1T+…+〃q.用錯(cuò)位相減法得出｛a｝通項(xiàng)公式，然后利用導(dǎo)數(shù)確定

其單調(diào)性.

試題解析：（I）由S“+1—3S〃-2〃-4=0（〃￡N+）得S”-3S,i—2〃+2—4=0

02）,

兩式相減得。山一3?！耙?=0,可得%討+1=3（4+1）（〃之2）,

又由已知生二14,所以4+l=3（q+l）,即｛q+1｝是一個(gè)首項(xiàng)為5,公比4=3的

等比數(shù)列，

所以〃”=5X3”T—1（降—

（II）因?yàn)?'（x）=?！?2a〃_]X+…+

所以/'（1）=?！?241+—+加]

=(5X3/,-,-1)+2(5X3,,-2-I)+...+Z?(5X3()-1)

=513〃T十2K3”2十3X3"3十...十〃x30]一

令S=3M-1+2x3rt-2+3x3"-3+???+/?x3°,則

3s=3"+2x+3x3”2+...+〃x3：

所以，作差得S二」一二，所以/,⑴二工^-3曾

24')42

,5'3向-15/?(/?+6)

即UII將「----------—

,,+2

一…5X3-15(〃+D(〃+7)U「1〃廿四,，15x3〃7八

而2+產(chǎn)---------所以，作差得%一2=下一一〃一5>仇

所以｛2｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

考點(diǎn)：1、數(shù)列的遞推公式：2、等差數(shù)列和等比數(shù)列定義及求和；3、數(shù)列的求和.

【方法點(diǎn)晴】根據(jù)題目中的條件，出現(xiàn)S”時(shí)經(jīng)常會(huì)先寫出S”/或S用的關(guān)系式，兩式相

減，利用S”-S,i=/或S“q-S.=。e進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于數(shù)列項(xiàng)冊(cè)的遞推關(guān)系式,

判斷構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡炔罨虻缺葦?shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.當(dāng)一個(gè)等差數(shù)列｛〃”｝和

一個(gè)等比數(shù)列｛〃｝對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到新數(shù)列｛為。｝,進(jìn)行求和時(shí)應(yīng)想到用錯(cuò)位相減法，

由S”=岫+a也+%A…++。也乘數(shù)列出｝公比得到

qS“=aa+a2b3+a3b「,++《口向,相減得到

(1一夕電=q/+d(b2+么…+a_1+4)+?！埃?利用等比數(shù)列求和公式運(yùn)算之后不

要忘了除以1一夕.

12.己知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，q=2,｛4｝的前〃和為S”,數(shù)列也｝為等

比數(shù)列，且她+a2b2+a3b3+…+〃也=(〃一D?2"記+4對(duì)任意的n€N*恒成立.

(I)求數(shù)列｛4｝、也｝的通項(xiàng)公式；

(11)是否存在非零整數(shù)義，使不等式〃1一,)(1--!-)……(i—J_)cosS<—=

4%凡2也-1

對(duì)一切〃wN”都成立？若存在，求出2的值；若不存在，說(shuō)明理由.

(III)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列｛%｝,滿足。39=%007,且存在正整數(shù)k,使

q,C39，q成等比數(shù)列，若數(shù)列｛%｝的公差為d,求d的所有可能取值之和.

【答案】(I)%=2幾么=2"；(II)存在％=±1滿足條件；(III)137.

【解析】

n+2

試題分析：(I)因?yàn)榘左w+a2h2+43b3+…+a力”=(n-1)-2+4對(duì)任意的neN*恒

成立，所以取〃=1,2,3,又知｛4｝為等差數(shù)列，｛〃｝為等比數(shù)列，設(shè)出首項(xiàng)，公差，

公比解方程組即可；1H))由?！?2〃，得854尹=85(〃+1)乃=(一1)向，設(shè)

b=____________1_______________則不等式等價(jià)于問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求。

(1——)(1——)-??(!——)A+1

4%見

的最小值，因勿〉。，利用以=/2(〃>)>1知么單調(diào)遞增,求”的最小值,

bn\J2n+\\/2n+3

再根據(jù)(-1)2/1<么求解；(川)特殊情況〃=0時(shí)，成立，當(dāng)d>0時(shí)，

。39=G+38"=2014=>q=2014-381,

4=。39+(4-39)4=2014+(2-39)4,由等比中項(xiàng)知扁=G,，化簡(jiǎn)得

一小-39)『+53/一77時(shí)=0=(左一39)4=53供一77),整理得：

53x38*[c\=2014-38J=38(53-J)>0=>53—cl>0

Z=39+-----eN，由《，所以

53-d[J>0

53x38

53>53-J>0,根據(jù)二故53—d=l,2,19,從而d=52,51,34,所以

53—d

公差d的所有可能取值之和為137.

試題解析：(I)法1：設(shè)數(shù)列｛q｝的公差為d,數(shù)列他｝的公比為小

n+2

因?yàn)?〃+a2b2+a3b3+…+anbn=(w-1)-2+4(MSN*)

令〃=1,2,3分別得4也=4,afy+a2b2=20,axb[+a2b2+ajby=68,又％=2

%=2也=2(2+1)(24)=16

所以ab=16即,03/—4〃-4=0,

22(2+21)(2夕?)=48

a3b3=48

得4二-3或！4=2經(jīng)檢驗(yàn)"=2a=2符合題意，d=-1,夕=6不合題意，舍去.

I馬=6I%"

所以?！?2〃也=2".

法2：因?yàn)?小仇+e，3+…+〃也=("T)，2""+4①

對(duì)任意的〃￡N*恒成立

則ae+生層+q，3+…+%也/=(〃-2)?2""+4(n>2)②

①一②得4也廣〃?2向522),又。占=4,也符合上式，所以《仇

由于｛q｝為等差數(shù)列，令％=kn+b,則a=三三

bn_2n[k(n-\)+h]

因?yàn)橐玻秊榈缺葦?shù)列，則=q(為常數(shù)),

%(n-])(kn+b)

即(qk-2k)n2+(bq-icq-2b+2k)n-qb=0對(duì)于Vn￡N*恒成立,

qk—2k=0

:「bq-kq-2b+2k=G,所以g=2,匕=0.

—qb—0

又q=2,所以％=2,故a”=2〃也=2".

(ijr

(II)由a”=2"，得cos—+

設(shè)“=______________!______________,則不等式等價(jià)于(一1)"跳＜".

(i--)(i-—)-.(i-—)^7T

4a2an

Ab>b,數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增.

蜷高I"n+ln

假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)/I.使得不等式(-1)'川/!<”對(duì)一切〃eN都成立，則

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，得4<(〃)加=々=半

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，得一2<(")…二仇=/，即％>一組5

1515

綜上，由4是非零整數(shù)，可知存在4=±1滿足條件.

IJ3

(III)易知d=0,成立.

當(dāng)d>0時(shí)，C39=q+38d=2014nq=2014-38”,

ck=C39+(4-39)4=2014+(/:-39)J,

4=c￡=>(2014-38d)[2014+(k-39)J]=20142,

=>38(53-J)[2014+(A--39W]=2014x2014,

=>(53-6/)[20l4+(A-39)t/]=53x2014,

n—(2—39)J2+53(4-77)d=0=伏-39M=53(%-77)，

=kd-39d=53Z—53x107=(d—53?=39d-53x77,

39"-53x77393-53)+53x39-53x77〃53x38°八53x38

-----------=------------------------=39--------=39H-------e/V，

"-5367-53d—5353-6/

G=2014-38d=38(53-d)>0n53-">0八一，門

又Q<，...0<53-d<53,

、d>0

.?.53-d=1,2,19,."=52,51,34,所以公差d的所有可能取值之和為137.……16分

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列通項(xiàng)；2、等比數(shù)列通項(xiàng)；3、等比中項(xiàng)；4、數(shù)列的單調(diào)性；5、恒

成立問(wèn)題.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求法，及運(yùn)用等差等比數(shù)列的

通項(xiàng)，等比中項(xiàng)，數(shù)列的單調(diào)性求恒成立問(wèn)題、公差取值問(wèn)題，屬于難題.解題時(shí)一定

要注意方法的優(yōu)化，第一問(wèn)采取特殊化的思想，轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程組求首項(xiàng)，公差公比問(wèn)

題，比較容易解決；第二問(wèn)學(xué)會(huì)構(gòu)造數(shù)列，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最小值，選擇

做商的方法研究數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求其最值，特別注意最后結(jié)果需要對(duì)〃分奇偶討論;

第三問(wèn)通過(guò)等比中項(xiàng)，構(gòu)造公差和項(xiàng)數(shù)的方程，利用項(xiàng)數(shù)是正整數(shù)，分析對(duì)公差d的要

求，進(jìn)而得到d的可能取值，此類問(wèn)題雖然比較常見，但是對(duì)變形、運(yùn)算、分析能力要

求很高.

13.設(shè)5“是數(shù)列口』的前〃項(xiàng)和，q=1,S：=凡卜“一汐22).

(1)求｛%｝的通項(xiàng);

(2)設(shè)求數(shù)列｛勿｝的前〃項(xiàng)和7；.

2〃+1

1,/?=1

n

【答案】(Da=?-2C；(2)T=-(]———)=

n,〃22"22〃+12〃+1

(2/L1)(2〃-3)

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)〃22時(shí)，由/=%-邑1，代入已知整理可得S,1-S”=2SiS“

即tw

2,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求S“，進(jìn)而可求當(dāng)〃22時(shí)〃”，在對(duì)

n=1時(shí)求％,從而可求明

S,1111

(2)由于仇二,可利用裂項(xiàng)求和即可.

2〃+1(2/1-1)(2/2+1)2V2/2-12〃+lJ

試題解析：(1)???S；=4S〃-<卜.〃上2時(shí)，S,；=(S”—S“)工一1

I/，I/

整理得，S“T-S〃=2S“TS“n!-1=2,??.數(shù)列｛」-｝是以2為公差的等差數(shù)

列，其首項(xiàng)為5=1.

5

1,/?=!

iI2s2

，丁l+2(”l)nS〃二罰,，“弟-2

,n>2

(2〃-1)(2〃-3)

11

(2)由(1)知，b“S“

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2、2〃-12〃+1

(一■W-["」)+???+(1

2335572/7-12〃+l)

.-.7=-(l---------)=-------.

"22〃+l2〃+l

考點(diǎn)：利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用.

【方法點(diǎn)睛】(1)給出Sj與%的關(guān)系，求明,常用思路：一是利用S〃-S,I=〃,(〃22)

轉(zhuǎn)化為?！钡倪f推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為5“的遞推關(guān)系，先求出S〃與”的

關(guān)系，再求2；(2)觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí),

要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消

去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和H的.

14.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S，并且叼=2,$5=15,數(shù)列｛4｝滿足：氣2,

如一萬(wàn)r"SjV'),記數(shù)列｛娼的前〃項(xiàng)和為4.

(I)求數(shù)列SA的通項(xiàng)公式4及前〃項(xiàng)和公式工

(II)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式〃及前〃項(xiàng)和公式4；

M=｛n|2T｝

(III)記集合〃+2,若M的子集個(gè)數(shù)為16,求實(shí)數(shù)』的

取值范圍。

=rr+ab=±T=2-^^—<X<1

【答案】(I)4=〃，“2；di)n2\八2]dll)16一

【解析】

試題分析：(I)化％'求通項(xiàng)，然后直接利用求和公式求和即可；(II)

w+14+11w+1n

b

如bn5”)—n=

2n可化為42n,利用累乘法即可求得2九,由此

通項(xiàng)公式可知求和適合用錯(cuò)位相減法；（III）代入工、口并化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù),仿），滿

足/㈤之乙由子集個(gè)數(shù)公式可知集合M中共有4個(gè)元素，由此討論了㈤的單調(diào)性和

取值即可.

q+d=2q=1

試題解析：（I）設(shè)數(shù)列SC的公差為d,由題意得15a】+10d=15,解得d=l

S,

，4=巴??.2；

如「〃+1

（H）由題意得45〃

如TA「/1、八/〃?-12、n

4=生_±±.L=(-)(----x----xLTx-)=—

n

疊乘得41bn_2a2n-1n-212

123n

-+L+

=—1—2J+3T

由題意得222F①

」123Tw-1n

一月=F2+T3+F4+L+n

22222②

l(i__L)

1111n2、2"n_1〃+2

—71=—I—I—FLT

2^2482n*12

1——

②一①得：2

北=2-注

???2n

2s式2f)_M+〃

〃力）一,

（111）由上面可得刀+2V,令

33515

M/(l)=l")=2〃3)蘇〃4)=7(5)=-

下面研究數(shù)列-2n的單調(diào)性,

(用)F+ln2+n(〃+1乂2-〃)

/(1)-/()=

W+W2”

???〃之3時(shí)，/(?+1)-/(?)<0,/(w+1)</(?),卻/⑹單調(diào)遞減。

???集合的子集個(gè)數(shù)為16,???中的元素個(gè)數(shù)為4,

n+n

>x

???不等式2n,刀CAT解的個(gè)數(shù)為4,

考點(diǎn)：1.化d求選項(xiàng)：2.累乘法求通項(xiàng)；3.錯(cuò)位相減法求和；4.構(gòu)造函數(shù)解不

等式.

15.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”=〃(〃+l)(〃eN").

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)若數(shù)列｛"｝滿足：2=條+含■+￡■+—+1號(hào),求數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公

式；

(3)令c“=g(〃wN*),求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和？；?

(2/7-l)x3,r+1??3

【答案】(1)a=2n；(2)a=2(3"+1)；(3)T=

nn4~2-4-

【解析】

a,=S,,/:=1

試題分析：(1)已知5“求〃”，代入q二,''求解得?！?2〃.(2)利用

5“—5“_],〃>1

?！?1一?！?尋一=2,得出〃用的表達(dá)式，進(jìn)而求出么.(3)先利用前面得出的結(jié)論,

3I1

求出g=小3"+〃，然后利用分組求和法和錯(cuò)位相減法求解.

試題解析：(1)當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=2,當(dāng)n22時(shí)，a=Sn—Sn-1=n(n+1)—(n—1)

n=2n,

ai=2滿足該式，，數(shù)列⑸｝的通項(xiàng)公式為an=2n3分

(2)q=互+各+...+上，①=紅+冬+???+%

"3+132+13"+八73+132+1

②一①得，烏!_=〃=2，得b=2(3"+1+1),又當(dāng)n=l時(shí)，b.=8,所以

3叫]的"n+I

a=2(3〃+i).

(3)c="也=n(3n+l)=n?3"+n,

n4

23n

ATI1=CI4-C2+C3++cn=(1X3+2X3+3X3++nX3)+(1+2++n),

2：)n23n+l

令Hn=lX3+2X3+3X3++nX3,①則3Hn=lX3+2X3+3X3'++nX3

②，

一②得，-2(=3+32+33++3n-nX3n-H=3(3n-1)-nX3n+1

3-1

??(2〃-1)x3"”+3

..從=-------------*

1(2〃-1)x3""〃(〃+1)3

.?數(shù)列｛cj的前n項(xiàng)和北=------------1-------------F—.

考點(diǎn)：1、數(shù)列已知S“求為；2、數(shù)列求和一一分組求和法、錯(cuò)位相減法.

16.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛?！埃墓顬橐?,前〃項(xiàng)和為S”，且〃2+。7+《2=一6.

（1）求數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式4〃與前〃項(xiàng)和S.；

（2）將數(shù)列｛勺｝的前四項(xiàng)抽取其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列｛2｝的

前三項(xiàng)，記數(shù)列｛凡仇｝的前〃項(xiàng)和為T”，若存在meN*,使得對(duì)任意總有

S”<T,”+4成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

=s_SnY，+8

【答案】⑴""'22⑵I2）

【解析】

試題分析：（1）求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，一般利用待定系數(shù)法，本題已知公差，因此只需

確定一項(xiàng)即可：由%+%+勾2=~6利用等差數(shù)列性質(zhì)得3%=-6,%=-2,再板據(jù)

等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式得：4=%+（〃-7）"=-2-〃+7=5-九，最后利用等差數(shù)

列和項(xiàng)公式求前〃項(xiàng)和S“，（2）先根據(jù)題意確定數(shù)列｛（｝的前四項(xiàng)抽取的是哪一項(xiàng)，

再根據(jù)剩下三項(xiàng)，利用待定系數(shù)法求等比數(shù)列｛"”｝通項(xiàng)，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列

｛"?”｝的前〃項(xiàng)和為「，對(duì)存在性問(wèn)題及恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題:

（S〃）3<（4）3+',S”為二次函數(shù)，可根據(jù)對(duì)稱軸求其最大值，需注意〃eN'，

而丁〃的最值，需根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定.

試題解析：

解：⑴.?.｛“〃｝為等差數(shù)列，且生+%+%=-6....3%=-6,即%=-2,

又,公差d=T,=%+（"_7”=_2_〃+7=5—〃〃wN*.

5_+?,)_44+5->)_9./

“-2一2-T_T〃eN*

9（3分）

（2）由（1）知數(shù)列｛""｝的前4項(xiàng)為4,3,2,1,

.?.等比數(shù)列｛勿｝的前3項(xiàng)為4,2,1,

②

(iVf(\

=164(5-/?)x-=12+(2/?-6)x-

、2J12

7；,=24+(4/7-12)

（8分）

4〃一124(n-l)-12_20-4n

『如2〃-22n-'

：1\<%5<果=1且4>4>T〃

49

...〃￡N“時(shí),

_9〃tr

3=------

又???”22,

時(shí)，(S〃)3=S4=S5=10,

???存在〃wN’,使得對(duì)任意〃eN”,總有S〃<7；+’成立.

49

.?.(S)3<(7X+L,1°<丁々

29

萬(wàn),+8

二實(shí)數(shù)4的取值范圍為I（12分）

考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)及求和，錯(cuò)位相減法求和

【名師點(diǎn)睛】

一般地，如果數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列，｛仇｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛5r6｝的前n項(xiàng)和時(shí)，可

采用錯(cuò)位相減法.

用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：（1）要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的

情形更值得注意.

⑵在寫出“S〃”和"qSJ的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便于下一步準(zhǔn)確寫

出“S“一qSJ的表達(dá)式.

17.設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知q=2,4=8,S”z+4S,i=5S“（〃22）,

7；是數(shù)列｛log2?！ǎ那啊?xiàng)和.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求滿足（1--1）…（1_J-）>幽.的最大正整數(shù)n的值.

T?T、T”2016

2/,-1

【答案】（1）dn=2；（2）1008.

【解析】

試題分析：（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式，常常是基本量運(yùn)算或者是由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式，

因此通過(guò)已知條件S>1+4S,』=5S”得到S向-S“=4（S“-Sj）,從而得到

=44（?>2）,然后考慮n=l時(shí)是否滿足上式，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)滿足〃22,所以數(shù)

列｛《）是等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列取對(duì)數(shù)后是等差數(shù)列，并其通項(xiàng)

公式，然后求出并求出（1-工）（1一2）…最后解關(guān)于n的不等式

T?2/7

即可求解。

試題解析：⑴???當(dāng)〃22時(shí)，S,川+4sl=5S”，

S〃+i-S〃=4⑸-S「i），

**?4+i=4〃“.

?二4=2.a,=8,

??a,—4q,

???數(shù)列｛%｝是以q=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，

2,,_|

(2)由(1)得：log2a?=log22=2n-l,

???[=>og2q+log2生+…+log?an

=1+3+…+(2〃-1)

/i(l+2/?-1)

~2~

—n2.

所以a-')。一'-)??.(i--L)

4wZ?I

2222

=-2----l--3-----l--4-----l-???n----l-

223242tv

1-3-2-435—?(/z-l)(H+l)_n+l

22-32-42--―石

人〃+11009

令——>-----,解得〃工1008.

2〃2016

故滿足條件的最大正整數(shù)〃的值為1008.

考點(diǎn)：求數(shù)列通項(xiàng)公式：解數(shù)列不等式。

（方法點(diǎn)睛】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和5?的相關(guān)條件求數(shù)歹J通項(xiàng)公式的基本思路是兩個(gè)：（1）

將和S“轉(zhuǎn)化為項(xiàng)4,即利用%=-$小將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng)。如本題由Sn+I+4sM=5S.

得，5角一5“=4（5〃-51）從而得到。用=44,然后由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式。

應(yīng)注意變量n的范圍。（2）可將條件看作是數(shù)列｛$“｝的遞推公式，先求出s.，然后題目

即轉(zhuǎn)化為己知數(shù)列的前n項(xiàng)和s“，求數(shù)列通項(xiàng)公式凡o

18.在數(shù)列｛%｝中，4=1,?！?|=1----!—，b“=—!—,其中〃cN*.

4%2%-1

（1）求證：數(shù)列出｝為等差數(shù)列;

（2）設(shè)c“=2〃"，試問(wèn)數(shù)列｛%｝中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，

求出這三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

、〃/［、肱

1一一—＜-，其中〃z=l,2,…，〃，求

（n+3）⑴

滿足等式3"+4”+…+（九+2）”=（4+3戶的所有〃的值.

【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）〃=2,3

【解析】

試題分析：（1證明數(shù)列為等差數(shù)列，一般利用定義，即證明相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)：

,,1111

bn..-bit=-----------------------=--------：-------------------=1

2《田-12a-\2%一1

fI2__L_I

2%，本題數(shù)列｛a｝通項(xiàng)未知，其

變形為消參數(shù)（2）先從三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列出發(fā)，得到等量關(guān)系，再利用奇偶性否定存

在：設(shè)第P,r,4（P＜尸＜4）構(gòu)成等差數(shù)列，則有2?2,=2。+2夕,2…=1+2叱,

、〃/、'〃

Z1"＜仁1］

又2川一夕為偶數(shù)，1+2-'為奇數(shù).故不存在（3）條件I"+3J的運(yùn)用是本

題難點(diǎn)，其結(jié)構(gòu)是將一個(gè)數(shù)列放為等比數(shù)列，因此將等式

3”+4”+…+(〃+2)"=("+3)%

調(diào)整為滿足條件的結(jié)構(gòu)：

'34〃+2、

十+…+

、〃+3〃+3)?+3；

n

+.?.+—=1

+卜-曷I"+3J,這樣就巧妙應(yīng)用了條件，解出滿足

方程解限制在為〃=1,2,3,4,5這五種情況，經(jīng)驗(yàn)算〃=2,3時(shí)等號(hào)成立

b.-b=--------------------=------------------------=1

2。用-12^-12a,-\

試題解析：（1）證明：24

?二數(shù)列｛"〃｝為等差數(shù)列

（2）解：假設(shè)數(shù)列｛%｝中存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列；不妨設(shè)為第〃，廠，q

（〃v項(xiàng)，由（1）得"〃=〃，?.?3=2：：.2?2,=2〃+2、2川-〃=1+2“一〃

又2川-P為偶數(shù)，1+2'廠〃為奇數(shù).故不存在這樣的三項(xiàng)，滿足條件.

（3）由（2）得等式3〃+4”++…+（〃+2）=（「+3）二可化為

3"+4”+..T(〃+2)”=(〃+3)”

<34]九+2

++???+

即1〃+3〃+3/〃+3)

.?.當(dāng)時(shí)，3"+4”+…+(〃+2)v(〃+3)

當(dāng)〃=1,2,3,4,5時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算〃=2,3時(shí)等號(hào)成立

.??滿足等式3"+4"+…+（〃+2）=（包+3）”的所以〃=2,3

考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，等比數(shù)列求和，放縮法求方程解

【名師點(diǎn)睛】數(shù)列中不等式的處理方法

（1）函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)

對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式.

（2）放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到.

（3）比較方法:作差或者作商比較.

（4）數(shù)學(xué)歸納法:使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

19.數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)為。（〃工0）,前n項(xiàng)和為S“，且S”+]+a（f工0）,設(shè)

bn=5n4-1,cFk+bi+b?+…+bn（kWR）

（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)t=l時(shí)，若對(duì)任意n￡N.，2bl恒成立，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)tWl時(shí)，試求三個(gè)正數(shù)a,t,k的一組值，使得｛cj為等比數(shù)列，且a,t,k

成等差數(shù)列.

-22~

【答案】（1）4=a/i；（2）一一，一一；