江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學上學期一檢試題含解析

2024—2024學年度徐州高三數(shù)學上學期一檢模擬（一）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和指數(shù)函數(shù)的值域求法即可得出結果.【詳解】依據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域可得由指數(shù)函數(shù)的值域可得所以，故選：B.2.若復數(shù)的共軛復數(shù)滿意（其中為虛數(shù)單位），則的值為（）A. B.5 C.7 D.25【答案】D【解析】【分析】求出共軛復數(shù)，以及復數(shù)，即可求出的值.【詳解】解：由題意，則，所以，，∴故選：D.3.隨機擲兩個質地勻稱的正方體骰子，骰子各個面分別標記有共六個數(shù)字，記事務“骰子向上的點數(shù)是和”，事務“骰子向上的點數(shù)是和”，事務“骰子向上的點數(shù)含有”，則下列說法正確的是（）A.事務與事務是相互獨立事務 B.事務與事務是互斥事務C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)古典概型概率公式可計算得到，知CD正誤；由獨立事務概率乘法公式驗證可知A錯誤；依據(jù)互斥事務定義可知B錯誤.【詳解】投擲兩個質地勻稱的正方體骰子，全部可能的結果有種；滿意事務的有，，共種；滿意事務的有，，共種；滿意事務的有，，，，，，，，，，，共種；，C正確；，D錯誤；，不是相互獨立事務，A錯誤；事務和事務可能同時發(fā)生，不是互斥事務，B錯誤.故選：C.4.在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點，記，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意過點作平行于，交于點，先利用三角形相像求出，然后利用向量的線性運算即可求解.【詳解】過點作平行于，交于點，因為，則為的中點，所以且，因為，所以，由可得：，所以，因為，所以，故選：.5.則三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球半徑為（）A.3 B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】依據(jù)外接球半徑與底面外接圓半徑，高度的關系計算即可.【詳解】由題由正弦定理得，外接圓直徑為，得，設球心到平面得距離為，所以，所以三棱錐的外接球半徑為，故選：B.6.已知函數(shù)在上恰好取到一次最大值與一次最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即得解.【詳解】因為，恰好取到一次最大值與一次最小值，可得，解得.故選：A.7.意大利數(shù)學家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列:,該數(shù)列從第三項起,每一項都等于前兩項的和,即遞推關系式為,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”.已知滿意上述遞推關系式的數(shù)列的通項公式為,其中的值可由和得到,比如兔子數(shù)列中代入解得.利用以上信息計算表示不超過的最大整數(shù)（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題不妨設,求出,,進而得到,通過第五項,即可得到之間的關系,依據(jù)的范圍可大致推斷的范圍,進而選出選項.【詳解】解:由題意可令,所以將數(shù)列逐個列舉可得:,,,,,故,因為,所以,故.故選:B8.已知，，（其中為自然常數(shù)），則、、的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將變形，得，，，構造函數(shù)，利用導數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性可得，，再依據(jù)可得答案.【詳解】，，，設，則，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以，綜上所述：.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量聽從正態(tài)分布，則下列結論正確的是（）A.， B.若，則C. D.隨機變量滿意，則【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的定義求數(shù)學期望和方差求解A，再依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求解相應的概率求解B,C，再依據(jù)變量關系的期望公式可求解D.【詳解】因為,所以，，A正確；因為，所以，B正確；因為，所以，C正確；因為，所以，所以,D錯誤，故選:ABC10.如圖，在邊長為2的正方體中，在線段上運動（包括端點），下列選項正確的有（）A.B.C.直線與平面所成角的最小值是D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】對于A項轉化證明平面；對于B項，反證法證明，也就驗證平面是否成立；對于C項，依據(jù)直線與平面所成角的定義先找到即為直線與平面所成角，在分析求解；對于D項，把往上翻折到與平面共面，在平面內(nèi)求動點到兩個定點距離和最小即可.【詳解】對于A項，連接，在正方體中，平面，又因為平面，故故A正確.對于B項，假設成立，又因為，并且所以平面，明顯不垂直，假設不成立，故B不正確.對于C項，連接，再連接，在正方體，易得平面所以即為直線與平面所成角，在中，，當點與點重合時最大，最大值為，直線與平面所成角的最小值是，故C不正確.對于D項，把往上翻折到與平面共面，又因為，即往上翻折成，即在四邊形中，求，易得最小值為，所以D正確.故選：AD11.已知,，下列說法正確的是（）A.存在使得是奇函數(shù)B.隨意?的圖象是中心對稱圖形C.若為的兩個極值點，則D.若在上單調(diào)，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，當時,為奇函數(shù)，從而即可推斷；對于B，設函數(shù)的對稱中心為,依據(jù)，求出對稱中心即可推斷；對于C，求導，由題意和韋達定理可得，，再由重要不等式得，即可推斷；對于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.【詳解】解：對于A，當時,為奇函數(shù)，故正確；對于B，設函數(shù)的對稱中心為,則有，又因為，，所以，解得，所以的對稱中心為，故正確；對于C，因為，又因為為的兩個極值點，所以，，所以C錯誤；對于D，若單調(diào)，則有恒成立，所以，解得，選項D正確.故選：ABD.12.已知，是拋物線：上兩動點，為拋物線的焦點，則（）A.直線過焦點時，最小值為2B.直線過焦點且傾斜角為60°時（點在第一象限），C.若中點的橫坐標為3，則最大值為8D.點坐標，且直線，斜率之和為0，與拋物線的另一交點為，則直線方程為：【答案】CD【解析】【分析】對于AB項畫出函數(shù)圖像，把用直線的傾斜角表示，驗證是否正確；對于C項，可求解；對于D項依據(jù)點可求出，就能求出所以求出直線，分別與拋物線聯(lián)立求出點，就能求出方程.【詳解】對于A項，過點分別作準線垂線，垂足分別為，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，準線與軸的交點為，設直線的傾斜角為，畫圖為：依據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，在中，，所以，同理則，故當時故最小值為，所以A不正確.對于B項，由A可知，，所以，故B不正確.對于C項，所以最大值為8，故C正確.對于D項，由，，知，所以所以直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立解得或，所以聯(lián)立解得或，所以所以直線的方程為即，故D正確.故選：CD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.的綻開式中含項的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】利用乘法安排律得到，則來自于的綻開式，依據(jù)二項式定理即可求解.【詳解】，的綻開式中項為：，的綻開式中沒有項，故的綻開式中含項的系數(shù)為，故答案為：.14.已知正項等差數(shù)列滿意，且是與的等比中項，則的前項和___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項公式與，求出的關系，依據(jù)是與的等比中項，求出的值.再依據(jù)等差數(shù)列的前項和公式求【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，所以又因為即可得，又由即即即且正項等差數(shù)列，即解得，所以故答案為：15.過點作圓的兩條切線，切點分別為，則的直線方程為___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意以為圓心，為半徑作圓，兩圓方程作差即可得直線的方程.【詳解】圓圓心，半徑，方程化為一般式方程為，則，以為圓心，為半徑作圓，其方程為，方程化為一般式方程為，∵，則是圓與圓的交點，兩圓方程作差可得：，∴直線的方程為.故答案為：.16.若函數(shù)只有一個極值點，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】對求導，利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系，分類探討3是否為極值點，結合的圖像性質即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為只有一個極值點，所以若3是極值點，因為，所以當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當趨向于0時，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無窮，當趨向正無窮時，趨向正無窮的速率遠遠大于趨向正無窮的速率，則趨向于正無窮，若3不是極值點，則3是即的一個根，且存在另一個根，此時；當時，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿意題意，綜上：或，即.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在中，邊,,所對的角分別為，，，.（1）證明：,,成等比數(shù)列；（2）求角的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)結合內(nèi)角和關系，通過三角恒等變換化簡條件等式可得，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)依據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【小問1詳解】通分化簡可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a?b?c成等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得，又，所以，當且僅當即為正三角形時等號成立，所以的最大角為.18.已知等比數(shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．（1）求b的值和數(shù)列的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再依據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；【小問1詳解】解：由題設，明顯等比數(shù)列的公比不為1，若的首項、公比分別為、，則，∴且，所以，故的通項公式為．當時，；【小問2詳解】解：令，，解得，所以數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，∵，①∵②兩式相減得∴．∴19.如圖，四邊形ABCD是邊長為的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F(xiàn)分別是AD1，AB1的中點．（1）證明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直線DB1與平面BDEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，交于點，連接，則為的中點，可證明平面，平面，從而證明結論.

（2）取的中點，連接，可得,以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系,應用向量法求線面角.【詳解】（1）證明：連接，交于點，連接，則為的中點，∵是的中點，平面,平面,所以平面又是的中點平面,平面,所以平面又平面,,所以平面平面．（2）取的中點，連接，在菱形中，為正三角形，則由平面，故以所在直線分別為軸，建立如圖示的空間直角坐標系則∴設平面BDEF的法向量為，即，令則設直線與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為【點睛】方法點睛：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設、求、算、取1、建：建立空間直角坐標系，以三條相互垂直的直線的交點為原點，沒有三條垂線時需做協(xié)助線；建立右手直角坐標系，盡可能的使得較多的關鍵點落在坐標軸或坐標平面內(nèi).2、設：設出所需的點的坐標，得出所需的向量坐標.3、求：求出所需平面的法向量4、算：運用向量的數(shù)量積運算，驗證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個平面的法向量的夾角的余弦值5、取：依據(jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.20.某學校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史學問的了解，組織開展黨史學問競賽活動并以支部為單位參與競賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，競賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取其次題作答，兩題答題結束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.（1）假如第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若其次支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求其次支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，依據(jù)全概率公式即可（2）設事務為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事務為“其次支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事務為“其次支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事務為“其次支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關的概率，再依據(jù)條件概率求解即可.【小問1詳解】設表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；【小問2詳解】設事務為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事務為“其次支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事務為“其次支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事務為“其次支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.21.已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，（1）設直線的斜率分別為，求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）法一：依據(jù)實軸長，求得a值，依據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，依據(jù)韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設方程為，與雙曲線聯(lián)立，依據(jù)韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.（2）法一：因為，依據(jù)二倍角的正切公式，結合及，化簡計算，可得，進而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點坐標，即可得直線的方程，依據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設，由，結合二倍角正切公式，可得的值，進而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【小問1詳解】法一：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為明顯直線與軸不垂直，設其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設，則.因為，所以.法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設方程為，聯(lián)立，可得，