新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1隨機事件與概率10.1.2事件的關(guān)系和運算學(xué)案新人教A版必修第二冊

10.1.2事務(wù)的關(guān)系和運算課標(biāo)要求了解隨機事務(wù)的并、交與互斥的含義，會進行簡潔的隨機事務(wù)的運算．素養(yǎng)要求通過相關(guān)概念的學(xué)習(xí)及對簡潔隨機事務(wù)的運算，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).學(xué)問點1事務(wù)的運算定義表示法圖示并事務(wù)_事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個發(fā)生__，稱這個事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))_A∪B__(或_A＋B__)交事務(wù)_事務(wù)A與事務(wù)B同時發(fā)生__，稱這樣一個事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))_A∩B__(或_AB__)學(xué)問點2事務(wù)的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系若事務(wù)A發(fā)生，事務(wù)B_肯定發(fā)生__，稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或事務(wù)A包含于事務(wù)B)_B?A__(或_A?B__)互斥事務(wù)假如事務(wù)A與事務(wù)B_不能同時發(fā)生__，稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥(且互不相容)若_A∩B＝?__，則A與B互斥對立事務(wù)假如事務(wù)A和事務(wù)B在任何一次試驗中_有且僅有一個發(fā)生__，稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立，事務(wù)A的對立事務(wù)記為eq\o(A,\s\up6(－))若_A∩B＝?__，且A∪B＝Ω，則A與B對立[拓展]1.互斥事務(wù)與對立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系(1)區(qū)分：兩個事務(wù)A與B是互斥事務(wù)，包括如下三種狀況：①若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B就不發(fā)生；②若事務(wù)B發(fā)生，則事務(wù)A就不發(fā)生；③事務(wù)A，B都不發(fā)生．而兩個事務(wù)A，B是對立事務(wù)，僅有前兩種狀況，因此事務(wù)A與B是對立事務(wù)，則A∪B是必定事務(wù)，但若A與B是互斥事務(wù)，則A∪B不肯定是必定事務(wù)，即事務(wù)A的對立事務(wù)只有一個，而事務(wù)A的互斥事務(wù)可以有多個．(2)聯(lián)系：互斥事務(wù)和對立事務(wù)在一次試驗中都不行能同時發(fā)生，而事務(wù)對立是互斥的特別狀況，即對立必互斥，但互斥不肯定對立．2．從集合的角度理解互斥事務(wù)與對立事務(wù)(1)幾個事務(wù)彼此互斥，是指由各個事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務(wù)A的對立事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補集．練一練：1．?dāng)S一枚質(zhì)地勻稱的骰子，設(shè)事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，則事務(wù)A與事務(wù)B的關(guān)系是(B)A．A?BB．A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}C．事務(wù)A與B互斥D．事務(wù)A與B是對立事務(wù)[解析]由題意事務(wù)A表示出現(xiàn)的點數(shù)是1或2或3；事務(wù)B表示出現(xiàn)的點數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}．2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的互斥事務(wù)是(D)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶[解析]事務(wù)“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種狀況．由互斥事務(wù)的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥．題型探究題型一互斥事務(wù)、對立事務(wù)的判定典例1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”．推斷上面給出的每對事務(wù)是否為互斥事務(wù)，是否為對立事務(wù)，并說明理由．[解析](1)是互斥事務(wù)，不是對立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發(fā)生的，所以是互斥事務(wù)．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事務(wù)．(2)既是互斥事務(wù)，又是對立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中，隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事務(wù)，又是對立事務(wù)．(3)不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事務(wù)可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對立事務(wù)．[歸納提升]辨析互斥事務(wù)與對立事務(wù)的思路辨析互斥事務(wù)與對立事務(wù)，可以從以下幾個方面入手：(1)從發(fā)生的角度看①在一次試驗中，兩個互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不行能同時發(fā)生；②兩個對立事務(wù)必有一個發(fā)生，但不行能同時發(fā)生．即兩事務(wù)對立，必定互斥，但兩事務(wù)互斥，未必對立．對立事務(wù)是互斥事務(wù)的一個特例．(2)從事務(wù)個數(shù)的角度看互斥的概念適用于兩個或多個事務(wù)，但對立的概念只適用于兩個事務(wù)．對點練習(xí)?(1)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至多有一次中靶”的互斥事務(wù)是(A)A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶(2)一個人連續(xù)射擊三次，則事務(wù)“至少擊中兩次”的對立事務(wù)是(D)A．恰有一次擊中 B．三次都沒擊中C．三次都擊中 D．至多擊中一次[解析](1)事務(wù)“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會與其同時發(fā)生的事務(wù)是“兩次都中靶”．(2)依據(jù)題意，一個人連續(xù)射擊三次，事務(wù)“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個事務(wù)，其對立事務(wù)為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.題型二事務(wù)的運算典例2在擲骰子的試驗中，可以定義很多事務(wù)．例如，事務(wù)C1＝{出現(xiàn)1點}，事務(wù)C2＝{出現(xiàn)2點}，事務(wù)C3＝{出現(xiàn)3點}，事務(wù)C4＝{出現(xiàn)4點}，事務(wù)C5＝{出現(xiàn)5點}，事務(wù)C6＝{出現(xiàn)6點}，事務(wù)D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事務(wù)D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事務(wù)E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事務(wù)F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請依據(jù)上述定義的事務(wù)，回答下列問題：(1)請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務(wù)；(2)利用和事務(wù)的定義，推斷上述哪些事務(wù)是和事務(wù)．[解析](1)因為事務(wù)C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務(wù)D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事務(wù)E包含事務(wù)C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務(wù)D2包含事務(wù)C4，C5，C6；事務(wù)F包含事務(wù)C2，C4，C6；事務(wù)G包含事務(wù)C1，C3，C5.且易知事務(wù)C1與事務(wù)D1相等，即C1＝D1.(2)因為事務(wù)D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.[歸納提升]事務(wù)運算應(yīng)留意的2個問題(1)進行事務(wù)的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析．(2)在一些比較簡潔的題目中，須要推斷事務(wù)之間的關(guān)系時，可以依據(jù)常識來推斷．但假如遇到比較困難的題目，就得嚴(yán)格依據(jù)事務(wù)之間關(guān)系的定義來推理．對點練習(xí)?在試驗“連續(xù)拋擲一枚勻稱的骰子2次，視察每次出現(xiàn)的點數(shù)”中，事務(wù)A表示隨機事務(wù)“第一次擲出1點”；事務(wù)Aj表示隨機事務(wù)“第一次擲出1點，其次次擲出j點”；事務(wù)B表示隨機事務(wù)“2次擲出的點數(shù)之和為6”；事務(wù)C表示隨機事務(wù)“其次次擲出的點數(shù)比第一次的大3”．(1)試用樣本點表示事務(wù)A∩B與A∪B；(2)試推斷事務(wù)A與B，A與C，B與C是否為互斥事務(wù)；(3)試用事務(wù)Aj表示隨機事務(wù)A.[解析]依題意可知樣本空間為Ω＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，11，21，31，41，51，6,2，12，22，32，42，52，6,3，13，23，33，43，53，6,4，14，24，34，44，54，6,5，15，25，35，45，55，6,6，16，26，36，46，56，6))(1)因為事務(wù)A表示隨機事務(wù)“第一次擲出1點”，所以A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}．因為事務(wù)B表示隨機事務(wù)“2次擲出的點數(shù)之和為6”，所以B＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．所以A∩B＝{(1,5)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.(2)因為事務(wù)C表示隨機事務(wù)“其次次擲出的點數(shù)比第一次的大3”，所以C＝{(1,4)，(2,5)，(3,6)}．因為A∩B＝{(1,5)}≠?，A∩C＝{(1,4)}≠?，B∩C＝?，所以事務(wù)A與事務(wù)B，事務(wù)A與事務(wù)C不是互斥事務(wù)，事務(wù)B與事務(wù)C是互斥事務(wù)．(3)因為事務(wù)Aj表示隨機事務(wù)“第一次擲出1點，其次次擲出j點”，所以A1＝{(1,1)}，A2＝{(1,2)}，A3＝{(1,3)}，A4＝{(1,4)}，A5＝{(1,5)}，A6＝{(1,6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.題型三用集合運算表示隨機事務(wù)典例3設(shè)A，B，C表示三個隨機事務(wù)，試將下列事務(wù)用A，B，C表示出來．(1)三個事務(wù)都發(fā)生；(2)三個事務(wù)至少有一個發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個發(fā)生．[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))(4)ABeq\o(C,\s\up6(－))(5)(A∪B)eq\o(C,\s\up6(－))(6)ABeq\o(C,\s\up6(－))∪Aeq\o(B,\s\up6(－))C∪eq\o(A,\s\up6(－))BC[歸納提升]利用隨機事務(wù)的運算與集合運算的對應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問題．對點練習(xí)?從某高校數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書．設(shè)A表示事務(wù)“任選一本書，這本書為數(shù)學(xué)書”；B表示事務(wù)“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事務(wù)“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”．問：(1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示什么事務(wù)？(2)在什么條件下有ABC＝A?(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示什么意思？[解析](1)ABeq\o(C,\s\up6(－))表示事務(wù)“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書”．(2)在“圖書室中全部數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC＝A.(3)eq\o(C,\s\up6(－))?B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的．易錯警示不能正確區(qū)分對立事務(wù)和互斥事務(wù)致錯典例4進行拋擲一枚骰子的試驗，有下列各組事務(wù)：(1)“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”；(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”；(3)“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”．其中是對立事務(wù)的組數(shù)是(B)A．0 B．1C．2 D．3[錯解]C[錯因分析]錯解混淆了互斥事務(wù)與對立事務(wù)，誤將互斥事務(wù)當(dāng)作了對立事務(wù)．只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”是對立事務(wù)，而(1)中“出現(xiàn)1點”與“出現(xiàn)2點”是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)，(3)中“出現(xiàn)大于3的點”與“出現(xiàn)大于4的點”不是互斥事務(wù)，所以也不是對立事務(wù)．[正解]B[誤區(qū)警示]對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，而互斥事務(wù)卻不肯定是對立事務(wù)．忽視互斥事務(wù)與對立事務(wù)之間的區(qū)分與聯(lián)系，對“恰”“至少”“都”等詞語理解不透徹．推斷兩個事務(wù)是否互斥，就要看它們是否能同時發(fā)生；推斷兩個互斥事務(wù)是否對立，就要看它們是否有一個必定發(fā)生．對點練習(xí)?(2024·廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事務(wù)的是(A)A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙站排尾”C．“甲站排頭”與“乙不站排頭”D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”[解析]依據(jù)互斥事務(wù)不能同時發(fā)生，推斷A是互斥事務(wù)；B，C，D中兩事務(wù)能同時發(fā)生，故不是互斥事務(wù)．1．?dāng)S一枚質(zhì)地勻稱的骰子，下列事務(wù)具有包含關(guān)系的是(C)A．“出現(xiàn)小于2點”與“出現(xiàn)大于2點”B．“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”C．“出現(xiàn)2點”與“出現(xiàn)偶數(shù)點”D．“出現(xiàn)小于4點”與“出現(xiàn)大于2點”[解析]出現(xiàn)偶數(shù)點，即出現(xiàn)2點、4點或6點，與出現(xiàn)2點是包含關(guān)系．2．給出事務(wù)A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則(C)A．A?B B．A?BC．A與B互斥 D．A與B互為對立事務(wù)3．已知A、B為兩個隨機事務(wù)，則“A、B為互斥事務(wù)”是“A、B為對立事務(wù)”的(B)A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件[解析]依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的概念可知，互斥不肯定對立，對立肯定互斥，所以“A、B為互斥事務(wù)”是“A、B為對立事務(wù)”的必要非充分條件．故選B.4．設(shè)M，N，P是三個事務(wù)，則M，N至少有一個不發(fā)生且P發(fā)生可表示為(A)A．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))P B．(eq\o(M,\s\up6(－))eq\o(N,\s\up6(－)))PC．(eq\o(M,\s\up6(－))∪eq\o(N,\s\up6(－)))∪P D．(eq\o(M,\s\up6(－))N)∪(Meq\o(N,\s\up6(－)))5．盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設(shè)事務(wù)A＝{3個球中有1個紅球2個白球}，事務(wù)B＝{3個球中有2個紅球1個白球}，事務(wù)C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務(wù)D＝{3個球中既有紅球又有白球}，事務(wù)E＝{3個球都是紅球}，事務(wù)F＝