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第2課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【課標(biāo)解讀】1.能在詳細(xì)的問題情境中,發(fā)覺數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.2.能夠運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題.新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點(diǎn)】要點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1.解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.2.一般步驟:審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.3.留意問題是求什么(n,an,Sn).批注(1)在歸納或求通項(xiàng)公式時,肯定要將項(xiàng)數(shù)n計算精確.(2)在數(shù)列類型不易辨別時,要留意歸納遞推關(guān)系.【夯實(shí)雙基】1.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不犯難.次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān).要見每朝行里數(shù),請公細(xì)致算相還.”意思是:有一個人要走378里路,第一天走得很快,以后由于腳痛,后一天走的路程都是前一天的一半,6天剛好走完.則此人第一天走的路程是()A.86里 B.172里C.96里 D.192里2.某企業(yè)在今年年初貸款a萬元,年利率為γ,從今年年末起先每年償還肯定金額,預(yù)料五年內(nèi)還清,則每年應(yīng)償還()A.a(chǎn)1+γ1+γ5C.a(chǎn)γ1+γ51+3.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若2a1=a3a4,且a5是a4與2的等差中項(xiàng),則q的值是()A.1B.2C.-1或1D.-2或24.若{an}是等比數(shù)列,且前n項(xiàng)和為Sn=3n-1+t,則t=________.題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1等比數(shù)列前n項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用例1侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種特別有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng),如圖,它是由多數(shù)個正方形環(huán)繞而成,且每一個正方形的四個頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上,設(shè)外圍第一個正方形的邊長是m,有人說,如此下去,蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大,那么,試問,侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎?設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度為Sn,則()A.Sn無限大 B.Sn<3(3+5)mC.Sn=3(3+5)m D.Sn可以取100m[聽課記錄]【方法總結(jié)】此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型,利用等比數(shù)列的有關(guān)學(xué)問解決,要留意步驟的規(guī)范性.鞏固訓(xùn)練1如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點(diǎn)A1,B1,C1,D1分別為正方形ABCD各邊的中點(diǎn),點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別為正方形A1,B1,C1,D1各邊的中點(diǎn),……,記正方形AnBnCnDn的面積為an,若數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm=6332,則m題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例2某制糖廠第一年制糖5萬噸.假如平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%,那么從第一年起,約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸(保留到個位)?(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg1.6=0.20,lg1.1=0.041.)[聽課記錄]【方法總結(jié)】解決數(shù)列應(yīng)用題時,一是明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題,還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問題;二是明確是求an,還是求Sn.鞏固訓(xùn)練2一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘內(nèi),它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上上升度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎?題型3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例3[2024·廣東汕尾高二期末]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=-3,S3=9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,推斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列并說明理由.[聽課記錄]【方法總結(jié)】解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,一般不能干脆套用公式,要先對已知條件轉(zhuǎn)化變形,使之符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式,然后利用公式求解.同時,要留意在題設(shè)條件下,尋求等差數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.鞏固訓(xùn)練3[2024·湖南師大附中高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿意a2=4,a1+a5=14.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且b1=a1,b32=a6,bn+1>bn,求滿意第2課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[夯實(shí)雙基]1.解析:設(shè)此人第n天走的路程為an里,n∈{1,2,3,4,5,6},所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列{an},依題可知,公比為12,所以378=a11-故選D.答案:D2.解析:設(shè)每年償還x萬元,則x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5,所以x1-1+γ51-1+γ=a(1+故選B.答案:B3.解析:由2a1=a3a4解得a6=2.因?yàn)閍5是a4與2的等差中項(xiàng),所以2a5=a4+2.把a(bǔ)6=2代入得:2a5=a4+a6,消去a4得:2q=1+q2,解得q=1.故選A.答案:A4.解析:明顯q≠1此時應(yīng)有Sn=A(qn-1)又Sn=13·3n+t,∴t=-1答案:-1題型探究·課堂解透例1解析:由題意,從外到內(nèi)正方形的邊長依次為a1=m,a2=2m32+m32=5m3,a3=25m3×32+5m3×Sn→3(3+5)m.故選B.答案:B鞏固訓(xùn)練1解析:因?yàn)镾ABCD=22SA1B1C依題意可得an+1=12an,且a1=1,所以{an}是以1為首項(xiàng),1所以Sn=1·1-12n1-12所以6332=2[1-(12)m],即(12)m=1答案:6例2解析:設(shè)該糖廠第n年的產(chǎn)量為an(n∈N*)萬噸,由題意得a1=5,an+1所以{an}是以5為首項(xiàng),1.1為公比的等比數(shù)列,所以前n年總產(chǎn)量Sn=51-1.1所以50(1.1n-1)=30,即1.1n=1.6,兩邊同取對數(shù)可得lg1.1n=lg1.6,整理得n=lg1.6lg1.1所以大約5年,可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸.鞏固訓(xùn)練2解析:用an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度,由題意,得an+1=45an;因此,數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1公比q=45的等比數(shù)列,熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度Sn=a1+a2+…+an=a11-qn1即這個熱氣球上升的高度不行能超過125m.例3解析:(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)镾2=-3,S3=9,所以a1+a所以an=a1qn-1=3·(-2)n-1.(2)因?yàn)閝=-2,所以Sn=a1qn-1所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,理由如下:因?yàn)镾n+1=1-(-2)n+1,Sn+2=1-(-2)n+2,所以Sn+1+Sn+2-2Sn=[1-(-2)n+1]+[1-(-2)n+2]-2[1-(-2)n]=1+2·(-2)n+1-22·(-2)n-2+2·(-2)n=0,即Sn+1+Sn+2=2Sn,所以Sn+1,Sn
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