湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題含解析

Page17湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考試題時(shí)量：120分鐘，滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合,求出即得解.詳解】解：所以，所以的元素個(gè)數(shù)為2.故選：B.2.設(shè)命題，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱命題的否定方法進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槊}，所以的否定為：.故選：C.3.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】將點(diǎn)代入切線方程，求出，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到.【詳解】將代入，得，易知直線的斜率為8．因?yàn)?，所以，所以．故選：B．4.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值是（）A.2 B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】先由可得的周期為6，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得的對(duì)稱軸，然后對(duì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以，由得，，所以所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為6，所以，，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，得函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即，所以．故選：A5.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且，設(shè)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.1078 B.1068 C.566 D.556【答案】A【解析】【分析】設(shè)公差為d，公比為q，由結(jié)合通項(xiàng)公式建立方程組解出d，q，即可分組利用求和公式求出結(jié)果【詳解】設(shè)公差為d，公比為q，由題，，則，，聯(lián)立可解得，，所以，，∴的前10項(xiàng)和為，故選：A6.的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】把分子中的化為，利用兩角差的余弦公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】原式=.故選：C.7.已知，，是不在同始終線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡肯定過的（）A.外心 B.重心 C.垂心 D.內(nèi)心【答案】B【解析】【分析】設(shè)出的中點(diǎn)，利用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點(diǎn)，得到選項(xiàng)【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．又，，即．又，點(diǎn)在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．8.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件變形為，令，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，且遞減，所以，故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，在多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，，列方程求解即可推斷；對(duì)B，，求解即可推斷；對(duì)CD，設(shè)，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算法則，由向量相等列方程組求解即可推斷.【詳解】對(duì)A，若，則，可解得，A對(duì)；對(duì)B，若，則，可解得，B錯(cuò)；對(duì)CD，，設(shè)，則，則，解得，故C錯(cuò)，D對(duì).故選：AD10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位B.在上遞減C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)協(xié)助角公式得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】由得，對(duì)于A:向右平移得到，故錯(cuò)誤；對(duì)于B:當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，B正確;對(duì)于C:,故是的對(duì)稱軸；故C對(duì)；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取最大值2，當(dāng)時(shí)，取最小值，故值域?yàn)?，D正確；故選：BCD11.若函數(shù)有大于零的極值，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定取得極值的條件并求出極大值，再列出不等式求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因此，即，解得，明顯選項(xiàng)A，D不滿意，B，C滿意.故選：BC12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，若，均為奇函數(shù)，則（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A，依據(jù)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)的滿意在處的值為0推斷即可；對(duì)B，依據(jù)題意不能求出的值；對(duì)C，依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得的關(guān)系；對(duì)D，依據(jù)為奇函數(shù)推導(dǎo)可得，再為奇函數(shù)可得的周期為2，再令可得，進(jìn)而依據(jù)周期性推斷即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)镽，故，即，故A正確；對(duì)B，為奇函數(shù)則，且無條件推出的值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，故，故，所以，即關(guān)于對(duì)稱.又為奇函數(shù)，故關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱有，即.故，又，所以，即的周期為2.又，即，所以，即，故D正確；故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)（其中為虛數(shù)單位），則___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則及加法法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的摸公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以.故答案為：.14.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì),即可求解.【詳解】∵等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且∴由等比數(shù)列的性質(zhì)得,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列片段和的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15.定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿意，且，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】視察題干構(gòu)造，將所求不等式華為，探討單調(diào)性進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則不等式等價(jià)為，，，即不等式等價(jià)為，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，，即在R上是減函數(shù)，則不等式的解為，即不等式的解集為，故答案為：．16.在矩形中，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)點(diǎn)軌跡可知，，由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算可得，由不等式性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在矩形內(nèi)的部分，設(shè)，則，，，，，又，，，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查平面幾何中的向量數(shù)量積的取值范圍的求解問題，求解此類問題的基本方法為：①建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來求解；②依據(jù)平面對(duì)量的線性運(yùn)算，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知模長(zhǎng)和夾角的向量的數(shù)量積的求解問題.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步?．17.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再依據(jù)及兩角差的正弦公式計(jì)算可得；（2）首先求出，再依據(jù)及兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【小問1詳解】解：因?yàn)?，均為銳角，所以.又，所以，.所以.【小問2詳解】解：依據(jù)第（1）問可知，所以.18.已知數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由遞推關(guān)系取可求，當(dāng)時(shí)，取遞推關(guān)系中的可求，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，①②由①-②得，即.當(dāng)時(shí)也成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所?19.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿意，．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角恒等變換求出角的值，利用正弦定理求出的值，并求得的值，利用三角形的面積公式可求得的面積．【小問1詳解】解：由及正弦定理可得，，則，故，，，因此，.【小問2詳解】解：，所以，，即，即，，則，，則，由正弦定理可得，則，，因此，.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（），數(shù)列滿意．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意（為非零整數(shù)，），問是否存在整數(shù)，使得對(duì)隨意，都有．【答案】（1）證明見解析，（2）存在整數(shù)，使得對(duì)隨意，都有【解析】【分析】（1）依據(jù)求出，結(jié)合得到，從而得到是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，得到；（2）求出，，解出，分與兩種狀況，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求出，結(jié)合為非零整數(shù)，求出.【小問1詳解】證明：在中，令，得，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即．，∴，即當(dāng)時(shí)，，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．于是，∴；【小問2詳解】由，得，∴，，①當(dāng)，，2，3，時(shí)，①式即為，②依題意，②式對(duì)，2，都成立，∵單調(diào)遞增，∴即可，當(dāng)，，2，3，時(shí)，①式即為③，依題意，③式對(duì)，2，都成立，∵單調(diào)遞減，即可，，又，存在整數(shù)，使得對(duì)隨意，都有．21.已知函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間和最值；（3）若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，最大值為；（3）【解析】【分析】（1）求出然后利用和聯(lián)立方程組即可；（2）由（1）可得確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)在上的最值；（3）由題意可得，可得，所以將代入可得，再利用題意可得即可得到答案【小問1詳解】由可得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，所以，解得，所以；【小問2詳解】由（1）可知：，令，解得，所以，，的狀況如下表，0單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增由表格可知：在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，微小值也為最小值為，又，，故最大值為；【小問3詳解】由可得，由題意可知在上為單調(diào)減函數(shù)，所以恒成立，即，所以，所以，所以，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得上式成立，，所以的取值范圍是22.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）2個(gè)【解析】【分析】(1)對(duì)求導(dǎo)后,依據(jù)的正負(fù)對(duì)的正負(fù)進(jìn)行分狀況探討,得出對(duì)應(yīng)單調(diào)性即可;(2)方法一:對(duì)求導(dǎo)后,對(duì),,三種狀況,結(jié)合零點(diǎn)存性定理分別探討零點(diǎn)個(gè)數(shù);方法二:對(duì)求導(dǎo)后,對(duì),兩種狀況,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分別探討零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),其定義域?yàn)?,①當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí),令得,令得,所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.(2)方法一:由已知得,,則.①當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以在單調(diào)遞減,所以,所以在上無零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,,所以存在,使,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在遞減,遞增,且,所以,又因?yàn)?所以,所以在上存在一個(gè)零點(diǎn),所以上有