河北省唐山市2024-2025學年高二數學下學期期中試題含解析

Page12河北省唐山市2024-2025學年高二數學下學期期中試題本試卷分為卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．卷Ⅰ（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求．1.給出下列各量：①某機場候機室中一天的游客數量；②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數；③某同學離開自己學校的距離；④將要實行的繪畫競賽中某同學獲得的名次；⑤體積為8的正方體的棱長.其中是離散型隨機變量的是（）A.①②④ B.①②③ C.③④⑤ D.②③④【答案】A【解析】【分析】由離散型隨機變量的概念逐個推斷即可得解.【詳解】由題意，①②④是離散型隨機變量，③是連續(xù)型隨機變量，⑤中體積為8的正方體的棱長是一個常量，不是隨機變量.故選：A.2.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風的概率為，在下雨天里，刮風的概率為，則既刮風又下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據條件概率的定義即可求得兩事務同時發(fā)生的概率.【詳解】解析：記“該地區(qū)下雨”為事務A，“刮風”為事務B，則P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.故選：C.3.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8.在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是()A.0.72 B.0.8C.0.86 D.0.9【答案】A【解析】【分析】將所給數據代入條件概率公式計算而得.【詳解】設“種子發(fā)芽”為事務A，“種子成長為幼苗”為事務AB(發(fā)芽，并成活而成長為幼苗)，則P(A)＝0.9.又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.故選：A4.隨機變量ξ的全部可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，則a的值為（）A. B. C.110 D.55【答案】B【解析】【分析】依據隨機變量的概率和為1,列出方程即可求解【詳解】∵隨機變量ξ的全部可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故選：B.5.若的綻開式中全部二項式系數和為64，則綻開式中的常數項是（）A.240 B.－240 C.160 D.－160【答案】A【解析】【分析】依據二項式系數和公式可求得，再由二項定理綻開式的通項求得常數項.【詳解】由二項式定理性質可知，二項式系數和為，所以，依據二項綻開式的通項公式為，令，則，所以綻開式中的常數項為240.故選：A.6.下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由導數的運算法則及復合函數的導數依次推斷即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，因是常數，則，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤．故選：C7.若函數f（x）＝6lnx－x2＋x，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，解不等式可得.【詳解】f（x）定義域為，又，令，∵x＞0，∴，由解得或，則，即的單調減區(qū)間為．故選：B．8.某省進行高考綜合改革，要求學生從高二起先對課程進行選修，即從化學、生物、政治、地理四門課程中選擇兩科進行選修，則甲、乙兩人所選課程中至少有一科相同選法的種數是（）A.36 B.30 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】先計算兩人所選課程都不同選法，再算兩人各選兩科總的選法，然后可得.【詳解】甲、乙兩人所選課程都不同有種，甲、乙兩人各選兩科共有，所以甲、乙兩人所選課程中至少有一科相同的選法的種數為種.故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.－1是函數的微小值點B.－4是函數的微小值點C.函數在區(qū)間上單調遞減D.函數在區(qū)間上先增后減【答案】BC【解析】【分析】依據導函數圖象確定的單調性，由此確定正確選項.【詳解】由圖象可知，在上遞減，在上遞增，所以不是極值點，A選項錯誤；是微小值點，B選項正確；C選項正確；D選項錯誤.故選：BC10.已知曲線，則過點，且與曲線相切的直線方程可能為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】設出切點坐標，求出函數的導數，利用點斜式寫出方程，再代入計算作答.【詳解】設過點的直線與曲線相切的切點為，由求導得，于是得切線方程為，即，則，解得或，因此得切線方程為或，所以所求切線的方程是或.故選：AB11.已知，則下列結論正確的是（）A＝32 B.＝2C.＝－39 D.＝－15【答案】BCD【解析】【分析】分別令、和，可推斷A錯誤，B、C正確，結合二項綻開式的通項，可判定D正確.【詳解】令，則，故A錯誤，令，則，故B正確，令，則，兩式相減可得：，故C正確，綻開式中含x的項為，故，所以D正確.故選：BCD．12.設隨機變量的分布列為，則A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意結合離散型隨機變量分布列的性質可得，即可推斷A、D；由即可推斷B；由即可推斷C；即可得解.【詳解】隨機變量的分布列為,，解得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.故答案為：A、B、C.【點睛】本題考查了離散型隨機變量分布列的性質與應用，考查了運算求解實力，屬于基礎題.卷Ⅱ（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中橫線上．13.設隨機變量X的概率分布列為1234則________．【答案】【解析】【分析】先計算的值，再由解出，再求和.【詳解】由，解得，.故答案為：.14.已知，則______（填數字）．【答案】【解析】【分析】分別令、，將所得式子作和即可求得結果.【詳解】令得：；令得：；兩式作和得：，.故答案為：.15.若，則______.【答案】4【解析】【分析】依據題意和組合數的運算性質干脆計算即可.【詳解】由題意知，因為，所以或，解得(舍去)或.故答案為：416.將4名志愿者安排到3個不同的北京冬奧場館參與接待工作，每個場館至少安排一名志愿者的方案種數為________．（用數字作答）【答案】36【解析】【分析】先將4人分成2、1、1三組，再支配給3個不同的場館，由分步乘法計數原理可得.【詳解】將4人分到3個不同的體育場館，要求每個場館至少安排1人，則必需且只能有1個場館分得2人，其余的2個場館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對應3個場館，有種方法，則共有種安排方案.故答案為：36三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球.擲一枚質地勻稱的骰子，假如點數為1或2，從甲箱子隨機摸出1個球；假如點數為3，4，5，6，從乙箱子中隨機摸出1個球.求摸到紅球的概率.【答案】【解析】【分析】分別計算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【詳解】從甲箱中摸紅球：擲到點數為1或2的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，故從甲箱中摸到紅球的概率為；從乙箱中摸紅球：擲到點數為3，4，5，6的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，故從乙箱中摸到紅球的概率為；綜上所述：摸到紅球的概率為.18.名師生站成一排照相留念，其中老師人，男生人，女生人，在下列狀況下，各有多少種不同站法？（1）老師必需站在兩端；（2）名女生必需相鄰；（3）名男生互不相鄰；（4）名男生身高都不相等，從左向右看，名男生按從高到低的依次站．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）先支配老師，再支配學生，由分步乘法計數原理可求得結果；（2）采納捆綁法即可求得結果；（3）采納插空法即可求得結果；（4）依據男生定序，采納倍縮法可求得結果.【小問1詳解】先讓老師站在兩端，則有種站法；將學生支配在其余位置，有種站法；老師必需站在兩端，則有種站法.【小問2詳解】將名女生排在一起，有種站法；將名女生看作整體，與其余人排序，有種排法；名女生必需相鄰，則有種站法.【小問3詳解】將老師和名女生先排好序，有種站法；將名男生插空放入，有種站法；名男生互不相鄰，則有種站法.【小問4詳解】人站隊，共有種站法；名男生不考慮身高排序，則有種排法；從左向右看，名男生按從高到低的依次站共有種站法.19.設S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數m，n∈S.（1）設“使得m＋n＝0成立的有序數組(m，n)”為事務A，試列舉事務A包含的基本領件；（2）設ξ＝m2，求ξ分布列.【答案】（1）(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由不等式可得S＝{x|－2≤x≤3}，再由m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，可求出事務A包含的基本領件；（2）由題意可得ξ＝m2的全部不同取值為0，1，4，9，然后求出各自對應的概率，從而可得ξ的分布列【詳解】（1）由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}.由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以事務A包含的基本領件為：(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0).（2）由于m的全部不同取值為－2，－1，0，1，2，3，所以ξ＝m2的全部不同取值為0，1，4，9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列為：ξ0149P20.已知的一個極值點為2.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最值.【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；（2）最小值為，最大值為.【解析】【分析】（1）由題目極值點為2可以求得解析式中的值，并驗證確為極值點，則函數表達式確定，依據導數的正負推斷函數單調性即可（2）依據（1）中對函數單調性的探討，可以推斷在區(qū)間上的單調性，從而得出最大最小值【詳解】解:（1）因為，所以，因為的一個極值點為2，所以，解得，此時，，令，得或，令，得；令，得或，故函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間，上單調遞增.即適合題意所以，函數單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，（2）由（1）知，在上為增函數，在上為減函數，所以是函數的極大值點，又，，，所以函數在區(qū)間上的最小值為，最大值為.21.用0，1，2，3，4，5這6個數字．（1）能組成多少個無重復數的四位偶數？（2）能組成多少個奇數數字互不相鄰的六位數(無重復數字)?【答案】（1）156（2）132【解析】【分析】（1）依據個位是進行分類探討，由此求得“無重復數四位偶數”的個數.（2）結合插空法求得“奇數數字互不相鄰的六位數”的個數.【小問1詳解】符合要求的四位偶數可分為三類：第一類：0在個位時，有個；其次類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個(種)，十位和百位從余下的數字中選，有種，于是有個；第三類：4在個位時，與其次類同理，也有個．由分類加法計數原理得，共有＝156(個)．【小問2詳解】先排0，2，4，再讓1，3，5插空，總的排法共＝144(種)，其中0在