天津市南開(kāi)區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題

天津市南開(kāi)區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)一模試題第Ⅰ卷參考公式：錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高．假如事務(wù)A，B互斥，那么．假如事務(wù)A，B相互獨(dú)立，．對(duì)于事務(wù)A，B，，那么．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】B【解析】【分析】求出集合,依據(jù)集合的交集運(yùn)算,求得答案.【詳解】由題意，，則或，，故，故選：B2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【2題答案】【答案】A【解析】【分析】由，解得或，利用充分、必要條件的定義即可推斷出．【詳解】由，解得或，由“”可推出“”，而由“”推不出“”，∴“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【3題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式，利用，分別解除A、B、D項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，即函?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可解除A、B項(xiàng)；又因?yàn)?，可解除D項(xiàng)，故選：C.4.某區(qū)為了了解居民用水狀況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)依據(jù)，，…分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該區(qū)有40萬(wàn)居民，估計(jì)居民中月均用水量在的人數(shù)為（）A.4.8萬(wàn) B.6萬(wàn) C.6.8萬(wàn) D.12萬(wàn)【4題答案】【答案】B【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出可得答案.【詳解】由得，估計(jì)居民中月均用水量在的人數(shù)為萬(wàn)，故選：B.5.已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則m的值為（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】先由圓的方程求圓心和半徑，再由直線與圓相交的弦長(zhǎng)得到圓心到直線的距離，再用點(diǎn)到直線的距離可得出結(jié)果.【詳解】由得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，又直線與圓相交所得的弦，則圓心到直線的距離，即，解得.故選：D.6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷a,c的大小關(guān)系，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷b的大小范圍，由此可得答案.【詳解】由題意得：，，，且，故，故選：C7.已知雙曲線的與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為M．若拋物線的焦點(diǎn)為F，且，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【7題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意求出為M的坐標(biāo)代入雙曲線求出，利用點(diǎn)到直線距離公式可求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】依據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)?，且，所以，代入到拋物線中，得，所以，將代入到雙曲線中，得，即，設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線為，即，所以雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選：D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為C.函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D.函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間是【8題答案】【答案】C【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題可得，∴，為奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，故B正確；∴，當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；由，可得，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間是，故D正確.故選：C.9.已知函數(shù)．若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，作出直線，由圖象知只要直線與的圖象在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖象就經(jīng)過(guò)四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），因此求得直線的斜率，再求得直線與相切的切線斜率（留意取舍）即可得結(jié)論．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，作出直線，它過(guò)定點(diǎn)，由圖可得，只要直線與的圖象在軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則的圖象就經(jīng)過(guò)四個(gè)象限（時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)，時(shí)，的函數(shù)值有正有負(fù)），時(shí)，與軸的公共點(diǎn)為，，時(shí)，，由得，，解得或，由圖象知，切線的斜率為，所以時(shí)滿意題意．故選：A．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．請(qǐng)將答案填在題中橫線上．10.若復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部為_(kāi)_____．【10題答案】【答案】3【解析】【分析】首先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算公式，計(jì)算，即可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】,所以的虛部為.故答案為：11.的綻開(kāi)式中的項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)__________；【11題答案】【答案】【解析】【分析】在二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于1，求出的值，即可求得綻開(kāi)式中的系數(shù)．【詳解】解：，令，則，所以.故答案為：.12.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，繞最長(zhǎng)邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_(kāi)_____．【12題答案】【答案】##【解析】【分析】確定圓錐半徑和高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】在直角三角形中，設(shè)，，，則斜邊上的高為，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)底面重合的圓錐的組合體，且圓錐的半徑為，所以，旋轉(zhuǎn)體的體積為.故答案為：.13.若，，，，則的最小值為_(kāi)_____．【13題答案】【答案】##【解析】【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。【詳解】由題意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故的最小值為，故答案為：14.某質(zhì)檢員對(duì)一批設(shè)備的性能進(jìn)行抽檢，第一次檢測(cè)每臺(tái)設(shè)備合格的概率是0.5，不合格的設(shè)備重新調(diào)試后進(jìn)行其次次檢測(cè)，其次次檢測(cè)合格的概率是0.8，假如其次次檢測(cè)仍不合格，則作報(bào)廢處理．設(shè)每臺(tái)設(shè)備是否合格是相互獨(dú)立的，則每臺(tái)設(shè)備報(bào)廢的概率為_(kāi)_____；檢測(cè)3臺(tái)設(shè)備，則至少2臺(tái)合格的概率為_(kāi)_____．【14題答案】【答案】①.0.1②.0.972【解析】【分析】依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算，求得答案；求出每臺(tái)設(shè)備合格的概率，依據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，求得答案.【詳解】由題意可得，每臺(tái)設(shè)備報(bào)廢的狀況是第一次檢測(cè)不合格，其次次檢測(cè)仍不合格，則作報(bào)廢處理，故每臺(tái)設(shè)備報(bào)廢的概率為；每臺(tái)設(shè)備合格的概率為，故檢測(cè)3臺(tái)設(shè)備，則至少2臺(tái)合格的概率為，故答案為：0.1；0.97215.在△ABC中，，，，則______；若M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【15題答案】【答案】①.##②.##-0.25【解析】【分析】依據(jù)，得到D為AB的中點(diǎn)，再由，利用數(shù)量積運(yùn)算得到，然后利用數(shù)量積的幾何意義求解；建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)椋訢為AB的中點(diǎn)，又，且，所以，，則，所以，則；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，，則，所以，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故答案為：，三、解答題：（本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，，．（1）求c；（2）求的值；（3）求的值．【16題答案】【答案】（1）；（2）；（3）﹒【解析】【分析】(1)由余弦定理即可求c；(2)由正弦定理可求sinA，再求出cosA，依據(jù)余弦差角公式即可求；(3)cos(A－B－C)＝cos[A－(π－A)]＝－cos(2A)＝，再結(jié)合(2)sinA的值即可計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】由余弦定理得，∴．【小問(wèn)2詳解】由正弦定理，得，解得．∵，∴A為銳角，∴，∴．【小問(wèn)3詳解】由(2)可得，∵，∴．18.如圖，P，O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，，．

（1）求證：平面PBC；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）求平面POC與平面PBC夾角的余弦值．【18題答案】【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】(1)建立坐標(biāo)系，利用平面的法向量與的數(shù)量積為零可證明；(2)利用與平面的法向量可求解；(3)利用平面的法向量可求解.【小問(wèn)1詳解】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，

由上得，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則由得取，得，因?yàn)?，所以，又平面PBC，所以平面PBC．【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面PBC的法向量為，因?yàn)椋?，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．【小問(wèn)3詳解】明顯，平面POC的法向量為，由（1）知平面PBC的法向量為，設(shè)平面POC與平面PBC的夾角為，則．20.已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是6．過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在A，M之間，又線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的值．【20題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，求橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求，并求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橫坐標(biāo)表示的值.【小問(wèn)1詳解】由離心率，可得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)是6，所以，所以，，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．若直線軸，則直線l不與橢圓C相交，不合題意．當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為．由消去y得，．①由①的判別式，解得，．由，可得．將代入方程①，得，則，．所以．22.已知數(shù)列滿意，其前5項(xiàng)和為15；數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：；（3）比較和的大?。?2題答案】【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出等比數(shù)列的公比，可得其通項(xiàng)公式；（2）寫(xiě)出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，作差，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論；（3）利用錯(cuò)位相減法求得，化簡(jiǎn)，將兩式相減，依據(jù)差的結(jié)果，比較大小，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)榈那?項(xiàng)和為15，所以，所以，解得，所以．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意，，又，可得，解得，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以,故.【小問(wèn)3詳解】記，①②②-①得,,所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列的求和方法和有關(guān)和式的大小比較，涉及到二項(xiàng)式系數(shù)和，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要留意數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，比較大小時(shí)要留意二項(xiàng)式綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用.24.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若，求證：．【24題答案】【答案】（1）；（2）分類(lèi)探討，答案見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等正根．令，對(duì)a分類(lèi)探討，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不合題意．②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，且，由零點(diǎn)存在定理即可求出a的取值范圍；（3）利用分析法轉(zhuǎn)化為．令，利用導(dǎo)數(shù)證明出．令，利用導(dǎo)數(shù)證明出，得到，即可證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，依題意，，可得，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】由，得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，則有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根．令，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以沒(méi)有兩個(gè)不等正根，從而沒(méi)有兩個(gè)極值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以．由，得，又取，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在有一個(gè)零點(diǎn)；取，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在有一個(gè)零點(diǎn)．所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，從而有兩個(gè)極值點(diǎn)．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，不等式即為．因?yàn)?，的所以，故只需證明，即