2025屆新高考數(shù)學培優(yōu)專練專題17利用導數(shù)求函數(shù)的極值教師版

專題17利用導數(shù)求函數(shù)的極值一、多選題1．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和微小值的和為D．過的直線與函數(shù)有三個交點，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關系、指數(shù)函數(shù)的性質可求的范圍；利用指對數(shù)互化，結合對數(shù)的運算法求；利用導數(shù)確定零點關系，結合原函數(shù)式計算極值之和即可；由直線與有三個交點，即可知有兩個零點且不是其零點即可求斜率范圍.【詳解】A選項，由條件知且，所以，即；B選項，有，，而；C選項，中且開口向上，所以存在兩個零點且、，即為兩個極值點，所以；D選項，令直線為與有三個交點，即有三個零點，所以有兩個零點即可∴，解得故選：ACD【點睛】本題考查了指對數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)性質，利用導數(shù)探討極值，由函數(shù)交點狀況求參數(shù)范圍，屬于難題.2．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個不同的零點C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，依據(jù)導數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調區(qū)間和極值，可判定A正確；依據(jù)函數(shù)的單調性和，且時，，可判定B不正確；由函數(shù)的單調性，得到，再結合作差比較，得到，可判定C正確；分別參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當時，，因為在上單調遞增，所以函數(shù)在上只有一個零點，當時，可得，所以函數(shù)在上沒有零點，綜上可得函數(shù)在只有一個零點，所以B不正確；由函數(shù)在上單調遞減，可得，由于，則，因為，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設，則，令，即，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理實力與計算實力，對于恒成立問題，通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分別變量，構造新函數(shù)，干脆把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（）A．的單調減區(qū)間是B．的微小值是﹣6C．過點只能作一條直線與的圖象相切D．有且只有一個零點【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，即可得出其單調性和極值，從而推斷ABD的真假，再依據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程即可推斷C的真假．【詳解】因為，令，得或，則在，上單調遞增；令，得，則在上單調遞減．所以微小值為，極大值為，而，故存在唯一一個零點，A錯誤，B、D正確；設過點的直線與的圖象相切，切點為，因為，，所以切線方程為．將代入，得．令，則，所以在，上單調遞增，在上單調遞減．因為，，，所以方程只有一解，即過點只能作一條直線與的圖象相切，故C正確．故選：BCD．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性和極值，導數(shù)的幾何意義的應用，以及零點存在性定理的應用，意在考查學生的數(shù)學運算實力，屬于中檔題．4．材料：函數(shù)是描述客觀世界改變規(guī)律的重要數(shù)學模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學與數(shù)學分析教材中，對“初等函數(shù)”給出了準確的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成的，且能用一個式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復合而成的，即為初等函數(shù).依據(jù)以上材料，對于初等函數(shù)的說法正確的是（）A．無微小值 B．有微小值 C．無極大值 D．有極大值【答案】AD【分析】將函數(shù)的解析式變形為，利用復合函數(shù)的求導法則可求得，利用導數(shù)可求得函數(shù)的極值，由此可得出結論.【詳解】依據(jù)材料知：，所以，令得，當時，，此時函數(shù)單調遞增；當時，，此時函數(shù)單調遞減.所以有極大值且為，無微小值.故選：AD.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的極值，同時也考查了復合函數(shù)的求導法則的應用，考查計算實力，屬于中等題.5．設為函數(shù)的導函數(shù)，已知，，則下列結論不正確的是（）A．在單調遞增 B．在單調遞增C．在上有極大值 D．在上有微小值【答案】AC【分析】首先依據(jù)題意設，得到，再求出的單調性和極值即可得到答案.【詳解】由得，則即，設，即在單調遞增，在單調遞減即當時，函數(shù)取得微小值.故選：AC【點睛】本題主要考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性和極值，同時考查了構造函數(shù)，屬于中檔題.6．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列命題中真命題的為（）A．的單調減區(qū)間是B．的微小值是C．當時，對隨意的且，恒有（a）（a）D．函數(shù)有且只有一個零點【答案】BCD【分析】由，知，令，得，，分別求出函數(shù)的極大值和微小值，知錯誤，正確；由，且，令利用導數(shù)說明其單調性，再依據(jù)切割線的定義即可推斷，故正確；【詳解】解：，其導函數(shù)為．令，解得，，當時，即，或時，函數(shù)單調遞增，當時，即時，函數(shù)單調遞減；故當時，函數(shù)有微小值，微小值為，當時，函數(shù)有極大值，極大值為，故函數(shù)只有一個零點，錯誤，正確；令，則故在上，即在上單調遞增，依據(jù)切割線的定義可知，當時，對隨意的，恒有，即對隨意的，恒有，即，故正確；故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的單調區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應用，解題時要細致審題，細致解答，留意等價轉化思想和導數(shù)性質的敏捷運用．二、單選題7．設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中肯定成立的是（）A．有極大值 B．有微小值C．有極大值 D．有微小值【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象，可得時，；時，；時，.由此可得函數(shù)的單調性，則答案可求.【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示，∴時，；時，；時，.∴函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減.∴有極大值.故選：A.【點睛】本題考查依據(jù)導函數(shù)的相關圖象求函數(shù)的單調區(qū)間，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.8．下列關于函數(shù)的結論中，正確結論的個數(shù)是（）①的解集是；②是極大值，是微小值；③沒有最大值，也沒有最小值；④有最大值，沒有最小值；⑤有最小值，沒有最大值.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】干脆不等式可推斷①；對函數(shù)求導，求函數(shù)的極值，可推斷②；利用導數(shù)求函數(shù)的最值可推斷③④⑤【詳解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正確；由，得，令，則，解得或，當或時，，當時，，所以是微小值，是極大值，所以②錯誤；因為是微小值，且當時，恒成立，而是極大值，所以有最大值，沒有最小值，所以④正確，③⑤錯誤，故選：B【點睛】此題考查導數(shù)的應用，考查函數(shù)極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題9．函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調遞增；③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】依據(jù)導函數(shù)圖象可判定導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調性，得到極值點，以及依據(jù)導數(shù)的幾何意義可知在某點處的導數(shù)即為在該點處的切線斜率．【詳解】依據(jù)導函數(shù)圖象可知：當時，，在時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故②正確；則是函數(shù)的微小值點，故①正確；∵在上單調遞增，不是函數(shù)的最小值點，故③不正確；∵函數(shù)在處的導數(shù)大于，切線的斜率大于零，故④不正確.故選：A【點睛】方法點睛：本題考查導函數(shù)圖象在函數(shù)單調性和極值中的應用，考查導數(shù)的幾何意義，其中利用導函數(shù)推斷單調性的步驟為：1.先求出原函數(shù)的定義域；2.對原函數(shù)求導；3.令導數(shù)大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間；同理令導數(shù)小于零，得到減區(qū)間；4.若定義域在增區(qū)間內，則函數(shù)單增；若定義域在減區(qū)間內則函數(shù)單減，若以上都不滿意，則函數(shù)不單調．10．已知函數(shù)，函數(shù)零點的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，探討的取值范圍：當時或當時，可得或，探討的取值范圍，再利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，求出最值即可求解.【詳解】令，則，（1）當時，，即，即.當時，有一個解.當時，，，；，，且.當時，，而，所以方程無解.（2）當時，，由（1）知，即.當時，有一個解.當時，，所以無解.綜上，函數(shù)有兩個零點.故選：B.【點睛】本題考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的零點，考查了計算求解實力，屬于中檔題.11．設函數(shù)，則（）A．有極大值且為最大值 B．有微小值，但無最小值C．若方程恰有3個實根，則 D．若方程恰有一個實根，則【答案】C【分析】求導后求出函數(shù)的單調區(qū)間，再依據(jù)當時，；、，畫出函數(shù)圖象草圖后數(shù)形結合逐項推斷即可得解.【詳解】，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，，，再由，，可畫出函數(shù)圖象草圖，如圖，由圖象可知，為函數(shù)的極大值但不是最大值，故A錯誤；為函數(shù)的微小值，且為最小值，故B錯誤；若要使有3個實根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點，則，故C正確；若要使恰有一個實根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個交點，則或，故D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想和推理實力，屬于中檔題.三、解答題12．已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）探討函數(shù)的單調性.【答案】（1）微小值為，無極大值；（2）答案見解析.【分析】（1）當時，求得，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）求得，分和兩種狀況探討，分析導數(shù)的符號改變，由此可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當時，，所以，，列表；單調遞減微小單調遞增所以，在區(qū)間上的有微小值，無極大值；（2）函數(shù)的定義域為，.當時，，從而，故函數(shù)在上單調遞減；當時，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，無單調遞增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.【點睛】方法點睛：探討含參數(shù)函數(shù)的單調性，通常以下幾個方面：（1）求導后看函數(shù)的最高次項系數(shù)是否為，需分類探討；（2）若最高次項系數(shù)不為，且最高次項為一次，一般為一次函數(shù)，求出導數(shù)方程的根；（3）對導數(shù)方程的根是否在定義域內進行分類探討，結合導數(shù)的符號改變可得出函數(shù)的單調性.13．設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有2個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）微小值為；（2）.【分析】（1）當時，，對求導推斷單調性、即可求得極值；（2）對求導，利用導函數(shù)得符號推斷出的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，然后對參數(shù)進行分類探討，考慮函數(shù)得最小值，從而推斷函數(shù)零點的個數(shù)，找到函數(shù)有2個零點時實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域是，當時，，.令，得或（舍）.所以在上單調遞減，在上單調遞增，即在處取得微小值，微小值為.無極大值（2）函數(shù)的定義域為，令，則，所以當時，；當時，，所以的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.①令，得，當，的最小值為，即有唯一的零點；②當時，的最小值為，且，即不存在零點；③當時，的最小值，又，，所以函數(shù)在上有唯一的零點，又當時，，，令，則，解得，可知在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上有唯一的零點，所以當時，有2個不同的零點，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.14．（1）已知，，若，且圖象在點處的切線方程為，求的值.（2）求函數(shù)在上的極值.【答案】（1），，；（2）極大值為，微小值為.【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義結合切點在切線上，列方程即可得解；（2）對函數(shù)求導，求得函數(shù)的單調區(qū)間后，結合極值的概念即可得解.【詳解】（1）因為，所以即，由可得，因為圖象在點處的切線方程為，所以，，即，，所以，，；（2）由可得，所以當時，；當時，；所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上的極大值為，微小值為.15．已知函數(shù).(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在時恒成立，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）的極大值是，無極大值；（2）.【分析】（1）先寫函數(shù)并求導，再利用導數(shù)正負推斷單調性和極值即可；（2）先分別參數(shù)，再探討函數(shù)最大值得到的取值范圍，即得結果.【詳解】解：（1），定義域為，.；；當改變時，的改變狀況如下表:1-0+↘微小值↗由上表可得的極大值是，無極大值；（2）由在時恒成立，即，整理為在時恒成立.設，則，當時，，且，.當時，，設在上單調遞增，當時，；當時，，，使得∴當時，；當時，.∴當時，；當時，，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增..，，∴當時，，的最小值是.【點睛】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性和極值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導；②在定義域內，解不等式和③寫出單調區(qū)間，并推斷極值點.解決恒成立問題的常用方法：①數(shù)形結合法；②分別參數(shù)法；③構造函數(shù)法.16．已知函數(shù)，（其中）.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內有兩個零點，求正實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當時，.（說明：是自然對數(shù)的底數(shù)，）【答案】（1）微小值為，無極大值；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1），利用導數(shù)求出其單調性，然后可得極值；（2），利用導數(shù)求出其單調性，然后可建立不等式組求解；（3）問題等價于求證；設，利用導數(shù)求出其最大值，然后證明即可.【詳解】（1）∵，∴，由，得，由，得，故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的微小值為，無極大值.（2）函數(shù)，則，令，∵，解得，或（舍去），當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.函數(shù)在區(qū)間內有兩個零點，只需，即，∴，故實數(shù)的取值范圍是.（3）問題等價于，由（1）知的最小值為.設，，易知在上單調遞增，在上單調遞減.∴，∵，∴，∴，故當時，【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍時，須要結合函數(shù)的單調性和極值分析，然后建立不等式組求解.17．已知函數(shù)，．（1）設，求函數(shù)的極值；（2）若，試探討函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）微小值為，無極大值；（2）1個．【分析】（1）先求得，然后求，對分成和兩種狀況進行分類探討，結合單調性求得的極值.（2）首先推斷在上遞增，結合零點存在性定理推斷出的零點個數(shù).【詳解】（1），，，．，①當時，恒成立，在上是增函數(shù)，無極值．②當時，，當時，單調遞減；當時，單調遞增，的微小值，無極大值．（2）由（1）知，當時，的微小值，結合的單調性可知，即恒成立．在上是增函數(shù)，，，在中有一個零點，函數(shù)的零點個數(shù)為1個．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：1.先求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，依據(jù)函數(shù)的性質畫出圖像，然后將問題轉化為函數(shù)圖像與軸交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合的思想和分類探討的思想；2.構造新函數(shù)，將問題轉化為探討兩函數(shù)的圖像的交點問題；3.分別參變量，即由分別參變量，得，探討直線與的圖像的交點問題.18．已知函數(shù)，在時取得極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】（1）；（2）函數(shù)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.【分析】（1）利用極值定義，列式，求出值并驗證即可；（2）利用導數(shù)正負確定函數(shù)的單調區(qū)間即可.【詳解】解：（1）函數(shù)，則，函數(shù)在時取得極值，故，解得，此時，，函數(shù)的確在時取得微小值.故的值是；（2）因為，當時，當時，故函數(shù)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.19．已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求的表達式；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值，微小值.【分析】（1）求導，由得到的表達式，然后利用是奇函數(shù)求解.（2）由（1）知，求導，再利用極值的定義求解.【詳解】（1）函數(shù)，所以，所以，因為是奇函數(shù)，所以，所以，解得，所以的表達式為.（2）由（1）知，則，當或時，，遞減；當時，，遞增；所以當時，取得極大值，當時，取得微小值.【點睛】本題主要考查函數(shù)導數(shù)的求法，利用奇偶性求函數(shù)解析式以及函數(shù)極值的求法，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.20．已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）當時，求不等式的解集；（3）當時，若當，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）有微小值，無極大值；（2）；（3）.【分析】（1）先代入?yún)?shù)對函數(shù)求導，令，列表推斷單調性，即得極值狀況；（2）先代入?yún)?shù)，將不等式移項整理，構造函數(shù)求導，探討其單調性，再利用單調性解不等式，即得結果；（3）先代入?yún)?shù)，將恒成立式移項整理，構造函數(shù)求導，探討其單調性，再利用單調性推斷其最值滿意題意，即得結果；【詳解】（1）當，定義域令，得列表如下：-0+↘微小值↗∴當時，有微小值，無極大值；（2）當令令列表如下：1-0+↘微小值↗當時，有微小值，即在單調遞增，，故不等式即，故解集為；（3）當，當，恒有成立，即，恒有成立.令令，在單調遞增，①若，即，，即，即在單調遞增.成立.即時，當，恒有成立.②若，即，取在單調遞增，，使得，∵當，即，在上單調遞減，∴當時，不恒成立，即不恒成立.綜上：.【點睛】利用導數(shù)探討函數(shù)極值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導；②在定義域內，解不等式和③依據(jù)單調性推斷函數(shù)極值點.解決恒成立問題的常用方法：①數(shù)形結合法；②分別參數(shù)法；③構造函數(shù)法.21．已知函數(shù)(aR).（1）探討的極值；（2）若a＝2，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】(1)先寫定義域求導，對a分類探討探討函數(shù)導數(shù)的正負，即確定函數(shù)的單調性和極值狀況；(2)a＝2時令化簡不等式得，探討t進行參數(shù)分別，將不等式恒成立問題轉化成函數(shù)最值問題，即得結果.【詳解】解：（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且∴（i）當a=0時，恒成立，則在定義域上單調遞增，此時無極值；（ii）當a≠0時，，可令，解得，所以①當時，且當時，此時，即單調遞減；當時，此時，即單調遞增，則的微小值為=，無極大值；②當時，且當時，此時，即單調遞增；當時，此時，即單調遞減，則的極大值為=，無微小值；綜上所述，當a=0時，無極值；當時，有微小值，無極大值；當時，有極大值，無微小值.（2）若a＝2，，不等式化為則令，則不等式化為，所以①當時，參變分別得，設，，則在上單調遞增，∴.②當時，不等式化為0>-1，明顯成立.③當時，，則，可令，解得，且當時，，即單調遞增；當時，，即單調遞減，所以，所以.綜上所述，要使不等式恒成立，需實數(shù)m的取值范圍為.【點睛】利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性和極值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導；②在定義域內，解不等式和③寫出單調區(qū)間，并推斷極值點.解決恒成立問題的常用方法：①數(shù)形結合法；②分別參數(shù)法；③構造函數(shù)法.22．已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若函數(shù)在定義域內有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）極大值為，微小值為；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導，然后結合導數(shù)可分析函數(shù)的單調性，進而可求函數(shù)的極值；（2）“函數(shù)，在定義域內有三個零點”可以轉化為“方程有兩個非零實根”.構造函數(shù)，對其求導，然后結合導數(shù)及函數(shù)的性質可求.【詳解】解：由題意可知函數(shù)的定義域為R.（1）因為.所以，由，得，，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，因此，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有微小值，并且微小值為.（2）因為，所以為一個零點.所以“函數(shù)，在定義域內有三個零點”可以轉化為“方程有兩個非零實根”.令，則，所以，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增；當時，有最小值，時，，時，.若方程有兩個非零實根，則，即.若，方程只有一個非零實根，所以.綜上，.【點睛】本題考查函數(shù)極值的求解，利用導數(shù)探討函數(shù)零點的個數(shù)，考查化歸轉化思想和數(shù)學運算實力，是中檔題.23．函數(shù).（1）求的極大值和微小值；（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請說明理由.①；②；③【答案】（1）極大值25，微小值-7；（2）區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合，理由見解析.【分析】（1）先求解出，依據(jù)分析得到的單調性，從而的極值可求；（2）依據(jù)在所給區(qū)間上的單調性以及極值，分析得到的最大值，由此推斷所給區(qū)間是否符合條件.【詳解】(1)，令，或，當時，當時，當時，在和上單調遞減，在上單調遞增，的極大值為，微小值為(2)當區(qū)間為①時，在上遞減，在上遞增，，，所以，不符合；當區(qū)間為②時，在上遞減，在上遞增，，，所以，符合；當區(qū)間為③時，在上遞減，在上遞增，，，所以，不符合，綜上可知：區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求解函數(shù)最值的思路：（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，則只需對求導，并求在區(qū)間內的根，再計算使導數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；（2）若所給的區(qū)間含有參數(shù)，則需對求導，通過對參數(shù)分類探討，推斷函數(shù)的單調性，從而得到函數(shù)的最值.24．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的微小值；（2）關于的不等式在上存在解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，由此可求得函數(shù)的微小值；（2）由參變量分別法得出在區(qū)間上有解，令，可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，進而可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，.當時，；當時，.故在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)的微小值為；（2）由得，令，由在有解知，，，令，則.當時，；當時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，，所以，，使得，即，且當時，，，此時函數(shù)單調遞減，則；當時，，，此時函數(shù)單調遞增，則.所以，當時，，則.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的極值，同時也考查了利用導數(shù)求解函數(shù)不等式在區(qū)間上有解的問題，考查參變量分別法的應用，屬于中等題.25．已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間（Ⅱ）設，若函數(shù)在有兩個零點，求的取值范圍【答案】（Ⅰ）在單調遞增，在單調遞減；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負得函數(shù)的增減區(qū)間.（Ⅱ）分別常數(shù)轉化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，再利用求導求函數(shù)的值域，最終得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當時,則定義域為時，得，解得的單調增區(qū)間為時，得，解得的單調減區(qū)間為（Ⅱ）因為函數(shù)在有兩個零點所以在有兩個實根即在有兩個實根所以函數(shù)與圖象有兩個交點令解得當時，，單調遞增；當時，，單調遞減所以為極大值點，取得極大值，也是最大值又，因為函數(shù)與圖象有兩個交點所以所以.【點睛】本題求函數(shù)的單調區(qū)間和最值問題，都是利用導函數(shù)來解決.利用導數(shù)求單調區(qū)間和極值一般步驟為：求函數(shù)的定義域求導令導函數(shù)大于0.解得對應x范圍即為增區(qū)間；令導函數(shù)小于0.解得對應x范圍即為減區(qū)間最終推斷極值點求出極值求出特定區(qū)間的端點對應的函數(shù)值，與極值比較得最值.26．已知函數(shù)的極大值為2.（1）求a的值和的微小值；（2）求在處的切線方程.【答案】（1），微小值為；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導，解對應的不等式，求出單調區(qū)間，得出極大值，依據(jù)題中條件，求出，即可得出微小值；（2）依據(jù)（1）的結果，先得到，，再由導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】（1）由得，令或，令，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，故在處取極大值，即.則在處取得微小值；（2）由（1）知，故，由導數(shù)的幾何意義可得，在處的切線斜率為.故其切線方程為：，即.【點睛】思路點睛：導數(shù)的方法求函數(shù)極值的一般有以下幾個步驟：（1）對函數(shù)求導；（2）解導函數(shù)對應的不等式，得出單調區(qū)間；（3）由極值的概念，結合單調性，即可得出極值.27．已知函數(shù).（1）探討的極值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分為和兩種情形探討函數(shù)的單調性，進而得極值；（2）題意等價于在上有實數(shù)解，對函數(shù)進行求導，當時，恒成立；當時，通過推斷單調性及最值可得結果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，由已知可得.當時，，在上單調遞減.此時無極值；當時，令，解得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以有微小值，無極大值.綜上，當時，無極值；當時，的微小值為，無極大值.（2）令.方程在上有實數(shù)解，即在上有零點.當，時，，，所以，此時不存在零點.當時，.因為，所以，，所以，故在上單調遞增.所以，.所以要使在上有零點，則，即，解得.即的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決