2024年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)《函數(shù)的基本性質(zhì)》含答案解析

高中PAGE1高中專題05函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）（考點(diǎn)清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識回歸 2三、典型例題講與練 6考點(diǎn)清單01函數(shù)圖象識別與應(yīng)用 6【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識別 6考點(diǎn)清單02函數(shù)的單調(diào)性 7【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性 7【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 8【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 9【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 10考點(diǎn)清單03函數(shù)的奇偶性 10【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性 10【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值 11【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式 12考點(diǎn)清單04函數(shù)的對稱性和周期性 12【期末熱考題型1】函數(shù)的對稱性和周期性 12考點(diǎn)清單05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用 13【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用 13考點(diǎn)清單06利用函數(shù)奇偶性求解析式 14【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式 14考點(diǎn)清單07分段函數(shù)的單調(diào)性問題 14【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 14【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 15【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式 16考點(diǎn)清單08分段函數(shù)的值域或最值問題 16【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題 16考點(diǎn)清單09二次函數(shù)的最值問題 17【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 17【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 18考點(diǎn)清單10恒成立與能成立問題 19【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題 19考點(diǎn)清單11二元變量問題 20【期末熱考題型1】二元變量問題 20考點(diǎn)清單12抽函數(shù)函數(shù)的綜合問題 22【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題 22一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識回顧1：函數(shù)的圖象1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.1.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）知識回顧2：函數(shù)的單調(diào)性2.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).知識回顧3：函數(shù)的奇偶性3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).知識回顧4：函數(shù)奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)4.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識回顧5：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；5.2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)三、典型例題講與練01函數(shù)圖象識別與應(yīng)用【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識別【解題方法】特殊值法，單調(diào)性，奇偶性【典例1】（2023上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【典例2】（2023上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【專訓(xùn)1-1】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【專訓(xùn)1-2】（2023上·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

02函數(shù)的單調(diào)性【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性【解題方法】定義法【典例1】（2023上·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知，(1)求的解析式；(2)若，試用定義證明在其定義域上是單調(diào)函數(shù)．【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若（且），試討論函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.【專訓(xùn)1-2】（2023上·福建福州·高一福建師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)的值(2)判斷的單調(diào)性，并用定義證明：【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【典例1】（2022上·甘肅蘭州·高三蘭州市第五十五中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減；

（2）寫出的單調(diào)區(qū)間．【專訓(xùn)1-1】（2023上·江西撫州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】同增異減；【典例1】（2021上·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則的定義域是，單調(diào)遞減區(qū)間是．【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【專訓(xùn)1-2】4．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·福建福州·高一福州三中?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林長春·高一東北師大附中?？计谥校┤艉瘮?shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．03函數(shù)的奇偶性【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性【解題方法】定義法，圖象法【典例1】（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·河北石家莊·高一鹿泉區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-1】（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中既為減函數(shù)，又為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值【解題方法】奇偶性定義【典例1】（2023上·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）已知，若，則.【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，則（

）A．0 B． C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則．【專訓(xùn)1-3】（2023上·江西南昌·高一南昌二中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式【解題方法】奇偶性+單調(diào)性【典例1】（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則不等式的解集是．【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東臨沂·高一校考期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中?？计谥校┮阎?，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．04函數(shù)的對稱性和周期性【期末熱考題型1】函數(shù)的對稱性和周期性【解題方法】公式法【典例1】（多選）（2023上·安徽·高一和縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．D．【典例2】（多選）（2023上·浙江杭州·高二杭十四中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數(shù) D．的圖象關(guān)于對稱【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？计谥校┤羰嵌x在R上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則=．【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則.05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【解題方法】圖象法+公式+定義【典例1】（多選）（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足對任意的，都有，，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且對任意的，，，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．是偶函數(shù)C． D．【典例2】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當(dāng)，且時(shí)，都有，有下列命題：①；②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)．則以上結(jié)論正確的是．【專訓(xùn)1-1】（多選）（2023上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．在上為減函數(shù) D．【專訓(xùn)1-2】（多選）（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個(gè)周期為 B．是函數(shù)的一條對稱軸C．時(shí)， D．06利用函數(shù)奇偶性求解析式【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式【解題方法】奇偶性定義【典例1】（2023上·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．【典例2】（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┒x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【專訓(xùn)1-1】（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ惺形髦袑W(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，.【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)計(jì)算，；(2)求的解析式．07分段函數(shù)的單調(diào)性問題【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·河南信陽·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【專訓(xùn)1-1】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的遞減區(qū)間是.【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·云南大理·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇南京·高一南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-2】（2022上·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)滿足對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

） B． C． D．【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式【解題方法】圖象法【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則的解集為．【典例2】（2022上·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù),若，則的取值范圍是.【專訓(xùn)1-1】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津河北·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是.08分段函數(shù)的值域或最值問題【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谥校┙o定函數(shù).，用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（

）A．-3 B．2 C．3 D．【典例2】（2023上·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的一個(gè)可能取值為；實(shí)數(shù)的取值范圍是.【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【專訓(xùn)1-2】（2023上·貴州六盤水·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的值域.09二次函數(shù)的最值問題【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【解題方法】配方法+圖象法【典例1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【典例2】（2023上·北京·高一北京八中?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（

）A． B． C． D．或【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【解題方法】圖象法+分類討論【典例1】（2023上·湖北孝感·高一期中）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的值域．【典例2】（2023上·廣東廣州·高一廣州空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(1)求(2)求函數(shù)的解析式(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若函數(shù)在上不具有單調(diào)性，求的取值范圍：(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為或(1)求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)求函數(shù)在上的最小值.10恒成立與能成立問題【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題【解題方法】判別法+變量分離法【典例1】（2023上·河北邯鄲·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.【典例2】（2023上·北京·高一清華附中?？计谥校┮阎魏瘮?shù)最小值為，且是其一個(gè)零點(diǎn)，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)是否存在實(shí)數(shù)滿足：對，都有恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考期中）若二次函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都滿足，最小值為，且.(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上，的圖象恒在的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11二元變量問題【期末熱考題型1】二元變量問題【解題方法】變量分離法+最值法【典例1】（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且滿足.(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明：(2)設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【典例2】（2023上·重慶·高一重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知是定義在上的函數(shù)，若滿足且．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若對都有成立，求的取值范圍．【專訓(xùn)1-1】（2023上·青海海南·高一海南藏族自治州高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)若是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求函數(shù)的值域；(2)若對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【專訓(xùn)1-2】（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)(1)解不等式；(2)求在區(qū)間上的值域；(3)對任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍12抽函數(shù)函數(shù)的綜合問題【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題【解題方法】賦值法【典例1】（2023上·重慶·高一重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意的，都有；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立．(1)求；(2)判斷并證明的單調(diào)性；(3)若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【典例2】（2023上·河南鄭州·高一鄭州外國語學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢θ我舛加?，且時(shí)，．(1)求；(2)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)若，，解關(guān)于x的不等式．【專訓(xùn)1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足、，；，.(1)求的值；(2)證明是上的增函數(shù)；(3)若，求的取值范圍.

專題05函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性）（考點(diǎn)清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 3二、知識回歸 3三、典型例題講與練 7考點(diǎn)清單01函數(shù)圖象識別與應(yīng)用 7【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識別 7考點(diǎn)清單02函數(shù)的單調(diào)性 10【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性 10【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 13【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 15【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 17考點(diǎn)清單03函數(shù)的奇偶性 19【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性 19【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值 21【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式 22考點(diǎn)清單04函數(shù)的對稱性和周期性 24【期末熱考題型1】函數(shù)的對稱性和周期性 24考點(diǎn)清單05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用 26【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用 26考點(diǎn)清單06利用函數(shù)奇偶性求解析式 29【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式 29考點(diǎn)清單07分段函數(shù)的單調(diào)性問題 31【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 31【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 32【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式 34考點(diǎn)清單08分段函數(shù)的值域或最值問題 36【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題 36考點(diǎn)清單09二次函數(shù)的最值問題 39【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 39【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 41考點(diǎn)清單10恒成立與能成立問題 44【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題 44考點(diǎn)清單11二元變量問題 47【期末熱考題型1】二元變量問題 47考點(diǎn)清單12抽函數(shù)函數(shù)的綜合問題 51【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題 51一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識回顧1：函數(shù)的圖象1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.1.2、函數(shù)圖象的對稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）知識回顧2：函數(shù)的單調(diào)性2.1增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).2.2減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).知識回顧3：函數(shù)的奇偶性3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).知識回顧4：函數(shù)奇偶性的判斷4.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)4.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識回顧5：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；5.2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)三、典型例題講與練01函數(shù)圖象識別與應(yīng)用【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識別【解題方法】特殊值法，單調(diào)性，奇偶性【典例1】（2023上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】由已知，，則，故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故AD項(xiàng)錯(cuò)誤，應(yīng)選B.又設(shè)，且，則，故，則有，即，故在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)圖象的性質(zhì)與選項(xiàng)B中圖象表示函數(shù)的性質(zhì)基本一致.故選：B.【典例2】（2023上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】的定義域?yàn)镽.是偶函數(shù)，排除D；又，排除A；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，排除C．故選：B．【專訓(xùn)1-1】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【詳解】的定義域?yàn)?，又，故為奇函?shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，且，則；當(dāng)時(shí)，，且，則.故當(dāng)，，故排除A.故選：B.【專訓(xùn)1-2】（2023上·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】由于，所以，所以為偶函數(shù)，故排除AB,由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除D，故選：C02函數(shù)的單調(diào)性【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性【解題方法】定義法【典例1】（2023上·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知，(1)求的解析式；(2)若，試用定義證明在其定義域上是單調(diào)函數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）令，則，，因?yàn)?，所以，所?（2）由題意知，定義域?yàn)槿稳?，則，因?yàn)?，所以，所以，則，即，所以在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù).【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若（且），試討論函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．【答案】(1)(2)答案及證明見解析【詳解】（1）解：由題意，∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，則，∴.（2）證明：∵由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)且時(shí)，對，，∴，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，即，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，即，函數(shù)單調(diào)遞增；綜上知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.【答案】(1)(2)遞增，證明見解析【詳解】（1），且，，解得：；（2）由（1）得：在遞增，證明如下：設(shè)任意，則，，，，在上單調(diào)遞增.【專訓(xùn)1-2】（2023上·福建福州·高一福建師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)的值(2)判斷的單調(diào)性，并用定義證明：【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析【詳解】（1）由已知可得，.因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以有，即，所以有在上恒成立，所以，，.又，所以，所以.所以，.（2）在上單調(diào)遞增.，且設(shè)，則.因?yàn)?，且，所以，，，，所以，，所以，在上單調(diào)遞增.【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【典例1】（2022上·甘肅蘭州·高三蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對稱.當(dāng)時(shí)，，對稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減；

（2）寫出的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）函數(shù)在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；（2）單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．【詳解】（1）由函數(shù)圖象易知函數(shù)在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；（2）根據(jù)題意可知，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí);當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以可得先畫出其圖象如圖所示：由圖可知，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【專訓(xùn)1-1】（2023上·江西撫州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解析：，作出圖象，可以得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選：B.【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】，【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像對稱軸方程為，開口向下，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故答案為：，【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】同增異減；【典例1】（2021上·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【詳解】因?yàn)閺?fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而得，而在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)減區(qū)間即為的單調(diào)增區(qū)間，因?yàn)殚_口向下，對稱軸為，所以的單調(diào)增區(qū)間.則答案為：.【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則的定義域是，單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】【詳解】∵的定義域?yàn)?，∴，即，解得．故函?shù)的定義域?yàn)椋?，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：；.【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：【專訓(xùn)1-2】4．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【詳解】的定義域?yàn)?，解得，?求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)的減區(qū)間,,可知單調(diào)遞減區(qū)間為,綜上可得,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令,由,得或,函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí),內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù),而外層函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為:.【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【典例2】（2023上·福建福州·高一福州三中?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，對于任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，為一元二次函數(shù)，對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，解得，綜上，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林長春·高一東北師大附中校考期中）若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，且在上為減函數(shù)，所以，因?yàn)?，且在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，綜上，.故選：B.03函數(shù)的奇偶性【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性【解題方法】定義法，圖象法【典例1】（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，故在上不單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故滿足要求，D正確.故選：D【典例2】（2023上·河北石家莊·高一鹿泉區(qū)第一中學(xué)校考期中）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)；函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故C正確；函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò).故選：C.【專訓(xùn)1-1】（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，A不滿足條件；對于B選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，B滿足條件；對于C選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不滿足條件；對于D選項(xiàng)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D不滿足條件.故選：B.【專訓(xùn)1-2】（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中既為減函數(shù)，又為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】A選項(xiàng)，，因?yàn)椋什皇瞧婧瘮?shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由，可知不是減函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，，則，則是奇函數(shù)；由圖象可知既是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，由，則不是奇函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C.【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值【解題方法】奇偶性定義【典例1】（2023上·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由奇函?shù)的定義可知，則，則，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，滿足要求，所以.故選：A.【典例2】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）已知，若，則.【答案】0【詳解】令，，則，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，由，得，所以，則，所以.故答案為：0【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，則（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】令，，則，所以為奇函數(shù)，則，又，所以，即，所以，所以.故選：D【專訓(xùn)1-2】（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則．【答案】4【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，是偶函數(shù)，則，解得，可知，且，即，整理得，結(jié)合的任意性可得，即，所以.故答案為：4.【專訓(xùn)1-3】（2023上·江西南昌·高一南昌二中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】/0.5【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式【解題方法】奇偶性+單調(diào)性【典例1】（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，易知為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增.化簡，即，所以，解得，故選：C【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則不等式的解集是．【答案】【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且在上遞減，所以在上遞增，不等式等價(jià)于，所以，解得，所以不等式的解集是.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東臨沂·高一?？计谥校┮阎己瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)椋?，解得：．故選：A.【專訓(xùn)1-2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以可化為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹驮谏线f增，所以在上遞增，所以由，得在上恒成立，所以，化簡得在上恒成立，所以，解得，即的取值范圍為，故選：C04函數(shù)的對稱性和周期性【期末熱考題型1】函數(shù)的對稱性和周期性【解題方法】公式法【典例1】（多選）（2023上·安徽·高一和縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．D．【答案】BCD【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；因?yàn)?，代入中，得到，進(jìn)而，因此，故C正確；由此得到，所以，故D正確.故選：BCD.【典例2】（多選）（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數(shù) D．的圖象關(guān)于對稱【答案】ACD【詳解】對于A項(xiàng)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以有，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，無法求出的值，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以有.又函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以有，所以，，所以有，所以是以4為周期的函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?所以也是函數(shù)的對稱軸.又是以4為周期的函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)校考期中）若是定義在R上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則=．【答案】0【詳解】根據(jù)題意，是定義在R上的函數(shù)，由為偶函數(shù)，有，即，由為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，有，即，且，綜合得，變形可得，，故是周期為4的周期函數(shù)，則.故答案為：0.【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則.【答案】【詳解】是奇函數(shù)，故，且，偶函數(shù)，故，則，，函數(shù)周期為，，故，，即，，，，，故，.故答案為：.05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合應(yīng)用【解題方法】圖象法+公式+定義【典例1】（多選）（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足對任意的，都有，，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且對任意的，，，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．是偶函數(shù)C． D．【答案】AC【詳解】對于A、B項(xiàng)，由已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.又定義域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.由是奇函數(shù)，可得.又由已知可得，，所以有，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由可得，，所以有，所以的周期為4，所以.又是奇函數(shù)，所以.由代入可得，，所以，，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由的周期為4，可得.又的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，，所以，.由對任意的，，，都有，可得，.所以，，都有，所以，在上單調(diào)遞增.所以，，即有，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【典例2】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當(dāng)，且時(shí)，都有，有下列命題：①；②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)．則以上結(jié)論正確的是．【答案】①②【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；由得，即所以是函數(shù)的一條對稱軸；又由為奇函數(shù)，則，變形可得，則有，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，都有，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；據(jù)此分析選項(xiàng)：對于①，，則，，故①正確；對于②，是函數(shù)的一條對稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故②正確；對于③，函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)：分別為，，，0，2，4，6，故③錯(cuò)誤；對于④，在區(qū)間上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在上為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤；故答案為：①②．【專訓(xùn)1-1】（多選）（2023上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．在上為減函數(shù) D．【答案】AC【詳解】由，得，即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，對于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為2，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，由是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，得在上是減函數(shù)，故C正確；對于D，由的周期為2，在上是增函數(shù)，得，在上是增函數(shù).又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【專訓(xùn)1-2】（多選）（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（

）A．的一個(gè)周期為 B．是函數(shù)的一條對稱軸C．時(shí)， D．【答案】ABD【詳解】對于，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，，即，所以，令，則，所以，所以，故的一個(gè)周期為，故正確；對于，圖象關(guān)于直線對稱，的一個(gè)周期為，所以直線是函數(shù)的一個(gè)對稱軸，故正確；對于，，∵當(dāng)時(shí)，，，，又，所以，解得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故不正確；因?yàn)椋收_.故選：.06利用函數(shù)奇偶性求解析式【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式【解題方法】奇偶性定義【典例1】（2023上·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．【答案】【詳解】假設(shè)，則根據(jù)為奇函數(shù)，得：，又的定義域?yàn)?，，綜上可得：.故答案為：【典例2】（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┒x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得.設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，即當(dāng)時(shí)，.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海·高一上海市市西中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，.【答案】【詳解】設(shè)，則：，所以：，又因?yàn)椋菏嵌x在上的奇函數(shù)，所以：，所以：.故答案為：.【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)計(jì)算，；(2)求的解析式．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，．（2）令，則，則，又函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，所以．07分段函數(shù)的單調(diào)性問題【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·河南信陽·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】.因?yàn)椋?，所以的增區(qū)間是．故選：D【典例2】（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】和【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，可得，作出的圖象，

由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故答案為：和.【專訓(xùn)1-1】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的遞減區(qū)間是.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的遞減區(qū)間是.故答案為：.【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·云南大理·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，則，即，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D．【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】第一步：研究函數(shù)，的單調(diào)性易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．第二步：數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)在R上單調(diào)遞增進(jìn)行轉(zhuǎn)化在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象如圖所示．由圖象可知，函數(shù)的圖象始終在的下方，所以，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則．第三步：判斷充要關(guān)系因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．故選：A．【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇南京·高一南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則即，得，故選：C.【專訓(xùn)1-2】（2022上·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)滿足對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閷θ我獾?，都有，故為增函?shù).故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故，即.又當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，且對稱軸為，故，即.又當(dāng)時(shí)，，即.綜上有.故選：A【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式【解題方法】圖象法【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則的解集為．【答案】【詳解】的圖象如下，

依題意，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，令，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故．故答案為：.【典例2】（2022上·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù),若，則的取值范圍是.【答案】【詳解】（i）當(dāng)，即時(shí)，，，由得，即，因?yàn)?，所以恒成立，所以；（ii）當(dāng)，即時(shí)，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）當(dāng)，即時(shí)，，，由得，即，所以，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：【專訓(xùn)1-1】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不成立；當(dāng)時(shí)，，由，得，得，與矛盾，舍去，當(dāng)時(shí)，，由，得，則，得．綜上，滿足的的取值范圍是．故選：B．【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津河北·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，解得，即，故滿足的的取值范圍是，故答案為：08分段函數(shù)的值域或最值問題【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題【解題方法】圖象法【典例1】（2023上·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）給定函數(shù).，用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（

）A．-3 B．2 C．3 D．【答案】B【詳解】令，解得，

所以，

由圖象可得：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的最大值為.故選：B.【典例2】（2023上·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的一個(gè)可能取值為；實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】（只需滿足即可）【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，函數(shù)不存在最小值，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若函數(shù)存在最小值，則，即，解得，此時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，若函數(shù)存在最小值，則，即，該不等式無解.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：（只需滿足即可）；.【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由在上遞減，在上遞增，若，則最小值為，不滿足題設(shè)，所以，在上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以最小值，則，可得.綜上，.故答案為：【專訓(xùn)1-2】（2023上·貴州六盤水·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)圖象見解析；(2).【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是拋物線在的部分，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是直線在的部分，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是拋物線在的部分，如圖，（2）當(dāng)時(shí)，的取值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，所以函數(shù)的值域?yàn)?09二次函數(shù)的最值問題【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【解題方法】配方法+圖象法【典例1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【詳解】

函數(shù)對稱軸為，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象可知，，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：B.【典例2】（2023上·北京·高一北京八中?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【詳解】由函數(shù)，對稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，可函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，解得或（舍去）.故選：C.【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，，開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，結(jié)合對稱性，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為5，所以的取值范圍為.故選：C.【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題【解題方法】圖象法+分類討論【典例1】（2023上·湖北孝感·高一期中）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可得，，所以，又因?yàn)?，所以二次函?shù)的對稱軸為，解得，所以.（2）由（1）知，，對稱軸，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值；所以，（i）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，；（iii）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以；綜上，的值域?yàn)?【典例2】（2023上·廣東廣州·高一廣州空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(1)求(2)求函數(shù)的解析式(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，.（2）設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，則時(shí)，，所以.（3）當(dāng)時(shí)，，所以，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；綜上所述，.【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若函數(shù)在上不具有單調(diào)性，求的取值范圍：(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)(3)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立方程，解得：或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為和.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又函數(shù)在上不具有單調(diào)性，所以，即.（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，的最小值．當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，的最小值．當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,的最小值．當(dāng),的最小值．當(dāng),的最小值．當(dāng),的最小值．【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┮阎P(guān)于x的不等式的解集為或(1)求實(shí)數(shù)b，c的值；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由已知得關(guān)于的方程的兩根1，3，由韋達(dá)定理，，∴.（2）由（1）得，圖象的對稱軸直線，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴；當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（或由二次函數(shù)的性質(zhì)得）∴；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴；綜上，.10恒成立與能成立問題【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題【解題方法】判別法+變量分離法【典例1】（2023上·河北邯鄲·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)最大值為3，最小值為2(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，則，，開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)也就是取得最小值，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，.（2）在上恒成立，即，令，